《微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件05-第5講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件05-第5講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 腳本編寫(xiě)、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛(ài)珍 劉開(kāi)宇 孟益民 第 二 章 數(shù) 列 的 極 限 與 常 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)的含義。和極限。正確理解語(yǔ)言描述數(shù)列的會(huì)用了解數(shù)列極限的概念， N N 念和性質(zhì)。量的概收斂準(zhǔn)則。熟悉無(wú)窮小熟悉數(shù)列極限的性質(zhì)和。極限或簡(jiǎn)單的極限證明限運(yùn)算法則計(jì)算數(shù)列的以及極式”法、“夾逼定理”能熟練運(yùn)用“放大不等性質(zhì)。件以及收斂級(jí)數(shù)的基本必要條性質(zhì)。掌握級(jí)數(shù)收斂的理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念和別法。收斂判判別法。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)熟悉常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂級(jí)數(shù)的斂散性。數(shù)、熟悉等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)P本章學(xué)習(xí)要求： 一 . 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 概 念二 . 級(jí) 數(shù) 收 斂 的
2、 必 要 條 件三 . 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) 一 .無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 概 念1.無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 定 義設(shè) 有 數(shù) 列 un: u1 , u2 , , un , nn n uuuu 211為 一 個(gè) 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) , 簡(jiǎn) 稱 為 級(jí) 數(shù) .稱 u n 為 級(jí) 數(shù) 的 一 般 項(xiàng) 或 通 項(xiàng) .則 稱 表 達(dá) 式 . , 1 數(shù)則 稱 該 級(jí) 數(shù) 為 常 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 均 為 常 數(shù)的 每 一 項(xiàng)若 級(jí) 數(shù) nn n uu . )( ),( : 1數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 為 函則 稱 級(jí) 數(shù)函 數(shù) 一 個(gè) 變 量 的若 級(jí) 數(shù) 的 每 一 項(xiàng) 均 為 同 n nnn xuxuu 下 列
3、 各 式 均 為 常 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ; 214121211 nn n ; 211 nnn ; )1(1111)1( 11 1 nn n . cos2cos1coscos1 nnn例1 下 列 各 式 均 為 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ,)1(1)1( 1121 11 nnn nn xxxx .Rx,22100 nnn nn xaxaxaaxa .1| x,sin2sinsinsin1 nxxxnxn .Rx例2 2. 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 定 義無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 1n nu 的 前 n 項(xiàng) 之 和 ： ,211 nnk kn uuuuS 稱 為 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 .若 SS nn lim 存
4、 在 , 則 稱 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 .S 稱 為 級(jí) 數(shù) 的 和 ： . 1 Sun n 若 nn Slim 不 存 在 ( 包 括 為 ) ,1n nu 發(fā) 散 .則 稱 級(jí) 數(shù) 討 論 等 比 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 . 1 1n nar等 比 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 為 ： nk kn arS 1 1當(dāng) 公 比 | r | 1 時(shí) , . 1 )1(limlim rraS nnnn當(dāng) 公 比 r =1時(shí) , . limlim naS nnnSn= a, n為 奇 數(shù)0, n為 偶 數(shù)當(dāng) 公 比 | r | 1 時(shí) , 等 比 級(jí) 數(shù) 收 斂 ；當(dāng) 公 比 r = 1時(shí) ,當(dāng) 公
5、 比 | r | 1 時(shí) , 等 比 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 .綜 上 所 述 , . lim , 不 存 在故 nn S 討 論 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 . 1 )12)(12( 1n nn 12 112 121)12)(12( 1 nnnn 12 112 12171512151312131121 nnS n 12 1121 n解 例4 而 12 1121limlim nS nnn故 21)12)(12( 11 n nn 21即 該 級(jí) 數(shù) 收 斂 , 其 和 為 . 21S 二 . 級(jí) 數(shù) 收 斂 的 必 要 條 件若 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 , 則 必 有 . 0lim nn u定 理 )(
6、limlim 1 nnnnn SSu 1limlim nnnn SS 0 SS證 設(shè) ,1 Sun n . lim SSnn 則 由 于 ,1 1)1( lim |lim 1 n nu nnnn故 該 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 . ,0lim nn u解例5 . 1)1( 1 1 的 斂 散 性判 別 級(jí) 數(shù) n n nn 證 明 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 是 發(fā) 散 的 :調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 有 ：， 1 1 S ，211122 SS 4131211 224 SS 證 21211 ，221 20例6 . ,11121調(diào) 和 中 項(xiàng) 的與為則 稱若 cab bca 1 .1312111n nn 328
7、 SS 231 817161514131211 817161514131211 2121211 ? 212 kS k 由 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 , 得，212 kS k k = 0, 1, 2, 而 21lim kk故 nn Slim 不 存 在 , 即 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 . 三 .無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) 有 相 同 的 斂 散 性 , 且 . 11 n nn n uccu若 c 0 為 常 數(shù) , 則 1n ncu1n nu 與1. 性質(zhì) 1 證 1n nu 的 部 分 和 為 ， nk kn uS 11n ncu 的 部 分 和 為 ,11 nnk knk kn cSucc
8、uS 故 nnnnnn SccSS limlimlim 同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 ,即 與1n nu 1n ncu且 有 .11 n nn n uccu 2. 性質(zhì) 2 , , 2111 SSvu n nn n 和其 和 分 別 為收 斂與若 且也 收 斂則 級(jí) 數(shù) , )( 1 n nn vu 211 )( SSvun nn .11 n nn n vu 證 1 )(n nn vu 的 部 分 和 為 ： nk kkn vuS 1 )( )()( 2121 nn vvvuuu 故 )(limlim 21 nnnnn SSS nn SS 21 )()()( 2211 nn vuvuvu
9、 2121 limlim SSSS nnnn 即 級(jí) 數(shù) 1 )(n nn vu 收 斂 , 且 21111 )( SSvuvu n nn nn nn 因 為 等 比 級(jí) 數(shù) , 31 21 11 收 斂與 n nn n所 以 級(jí) 數(shù) . 31211 也 收 斂 n nn例7 問(wèn) 題 一 個(gè) 收 斂 級(jí) 數(shù) 與一 個(gè) 發(fā) 散 級(jí) 數(shù) 的 和 是收 斂 的 還 是 發(fā) 散 的 ？是 發(fā) 散 的 問(wèn) 題 兩 個(gè) 發(fā) 散 的 級(jí) 數(shù)之 和 是 收 斂 的 還 是 發(fā)散 的 ？ 不 一 定 . )1( )1( 1 11 之 和與看 看 n nn n 在 一 個(gè) 級(jí) 數(shù) 的 前 面 加 上 或 者 去
10、掉有 限 項(xiàng) 后 , 所 得 到 的 新 的 級(jí) 數(shù) 與 原 級(jí)數(shù) 的 斂 散 性 相 同 .3. 性質(zhì) 3 kmmmk uuuS 21 kmmmm uuuuuu 2121 )( mkm SS 證 )( 21 muuu 設(shè) 級(jí) 數(shù) 1n nu 的 部 分 和 為 Sn , 去 掉 級(jí) 數(shù) 的 前面 m 項(xiàng) 后 得 到 的 級(jí) 數(shù) 1mk ku 的 部 分 和 為 :kS mkmkkk SSS limlim由 于 Sm 當(dāng) m 固 定 時(shí) 為 一 常 數(shù) , 所 以故 級(jí) 數(shù) 1n nu 與 級(jí) 數(shù) 1mk ku . 有 相 同 的 斂 散 性 級(jí) 數(shù) 仍 然 收 斂 , 且 其 和 不 變 .
11、對(duì) 收 斂 的 級(jí) 數(shù) 加 括 號(hào) 后 所 得 到 的 新 在 級(jí) 數(shù) 運(yùn) 算 中 , 不 能 隨 意 加 上 或 去 掉 括 號(hào) , 因 為 這 樣 做 可 能 改 變 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 .4. 性質(zhì) 4 問(wèn) 題 收 斂 的 級(jí) 數(shù) 去 掉括 號(hào) 后 所 成 的 級(jí) 數(shù) 仍收 斂 嗎 ？ 不 一 定 )11()11( 看 看 問(wèn) 題 發(fā) 散 的 級(jí) 數(shù) 加 括號(hào) 后 所 成 的 級(jí) 數(shù) 是 否仍 發(fā) 散 ？ 不 一 定 1111 看 看 問(wèn) 題 如 果 加 括 號(hào) 后 的級(jí) 數(shù) 仍 發(fā) 散 , 原 級(jí) 數(shù)是 否 也 發(fā) 散 ？原 級(jí) 數(shù) 也 發(fā) 散加 括 號(hào) 可 引 起 收 斂 ,去 括 號(hào) 可 引 起 發(fā) 散 .
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