微積分學PPt標準課件37-第37講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

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1、高 等 院 校 非 數(shù) 學 類 本 科 數(shù) 學 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 七 章 常 微 分 方 程本 章 學 習 要 求 ：n了 解 微 分 方 程 、 解 、 通 解 、 初 始 條 件 和 特 解 的 概 念 .n了 解 下 列 幾 種 一 階 微 分 方 程 ： 變 量 可 分 離 的 方 程 、 齊 次 方 程 、 一 階 線 性 方 程 、 伯 努 利 （ Bernoulli） 方 程 和 全 微 分 方 程 .熟 練 掌 握 分 離 變 量 法 和 一 階 線 性 方 程 的 解 法 .n會 利 用 變 量 代 換 的 方 法 求

2、 解 齊 次 方 程 和 伯 努 利 方 程 .n知 道 下 列 高 階 方 程 的 降 階 法 ： .)()( xfy n ),( yxfy ),( yyfy n了 解 高 階 線 性 微 分 方 程 階 的 結(jié) 構(gòu) ， 并 知 道 高 階 常 系 數(shù) 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .n熟 練 掌 握 二 階 常 系 數(shù) 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .n掌 握 自 由 項 （ 右 端 ） 為 多 項 式 、 指 數(shù) 函 數(shù) 、 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 以 及 它 們 的 和 或 乘 積 的 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .

3、第 四 節(jié) 二 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程一 、 高 階 線 性 微 分 方 程 的 一 般 理 論二 、 二 階 常 系 數(shù) 齊 線 性 微 分 方 程 的 解三 、 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 一 、 高 階 線 性 微 分 方 程 的 一 般 理 論 n 階 線 性 方 程 的 一 般 形 式 為 )()()()( 1)1(1)( 。xfyxpyxpyxpy nnnn 0)( 階 齊 線 性 微 分 方 程 ；時 ， 稱 為當 nxf 0)( 階 非 齊 線 性 微 分 方 程 ；時 ， 稱 為當 nxf ) ,2 ,1 ( )( 數(shù) 方 程

4、；均 為 常 數(shù) 時 ， 稱 為 常 系當 nixpi ) ,2 ,1 ( )( 系 數(shù) 方 程 。不 全 為 常 數(shù) 時 ， 稱 為 變當 nixpi 二 階 線 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 為 )()()( 。xfyxqyxpy : 0)( 時 ， 方 程 稱 為 齊 方 程當 xf 0)()( 。 yxqyxpy ) 1 ( )2(通 常 稱 ( 2 ) 為 ( 1 ) 的 相 對 應(yīng) 的 齊 方 程 。 我 們 討 論 二 階 線 性 方 程 的 一 般 理 論 ， 所 得 結(jié) 論 可自 然 推 廣 至 n 階 線 性 方 程 中 。 1. 二 階 齊 次 線 性 微 分

5、方 程 的 性 質(zhì) 和 解 的 結(jié) 構(gòu)(1) 疊 加 原 理 是 二 階 齊 線 性 微 分 方 程和若 )( )( 21 xyxy 0)()( yxqyxpy的 解 ， 則 它 們 的 線 性 組 合 )()( 2211 xycxyc 也 是 方 程 (2) 的 解 ， )2( ) ( 21 。不 一 定 相 互 獨 立為 任 意 常 數(shù)、其 中 cc你 打 算 怎 么 證 明 這 個 原 理 ？ 證 )2( )()()( 2211 中 ， 得， 代 入 方 程令 xycxycxy )()()()()( 22112211 xycxycxpxycxyc )()()( 2211 xycxycxq

6、 )()()()()( 22112211 xycxycxpxycxyc )()()( 2211 xycxycxq )()()()()( 1111 xyxqxyxpxyc )()()()()( 2222 xyxqxyxpxyc 000 ， )2( )()()( 2211 的 解 。為 方 程即 xycxycxy 0)()()( 1)1(1)( yxpyxpyxpy nnnn ) .,2 ,1 ( )( 階 齊 線 性 微 分 方 程是若 nnixyi 的 解 ， 則 它 們 的 線 性 組 合 ni ii xycxy 1 )()(也 是 方 程 (2) 的 解 。 ) ( ) ,2 ,1 ( 。

7、不 一 定 相 互 獨 立為 任 意 常 數(shù)其 中 nici )2( 在 什 么 情 況 下 ， 疊 加 所 得 可 以 成 為 方 程 (2) 的 通 解 ？ (2) 線 性 無 關(guān) 、 線 性 相 關(guān) )()( 21 上 有 定 義 。在 區(qū) 間、設(shè) 函 數(shù) Ixyxy 21 ， 使 得和若 存 在 不 全 為 零 的 常 數(shù) cc 0)()( 2211 ，Ixxycxyc )( )( 21 上 是 線 性 相 關(guān) 的 。在 區(qū) 間與則 稱 函 數(shù) Ixyxy )( )( 21 上 是 線 性 無 關(guān) 的 。在 區(qū) 間與否 則 稱 函 數(shù) Ixyxy 時 ， 才 有當 且 僅 當 0 21

8、 cc 0)()( 2211 ，Ixxycxyc )( )( 21 上 線 性 無 關(guān) 。在 區(qū) 間與則 Ixyxy 例證 sin cos 線 性 無 關(guān) 的 。在 任 何 一 個 區(qū) 間 上 均 為與證 明 ： xx sin cos 全 為 零上 線 性 相 關(guān) ， 則 存 在 不在 某 區(qū) 間與若 Ixx )0( 221 ， 使不 妨 設(shè)，的 常 數(shù) ccc 0sincos 21 ，Ixxcxc tan 21 。即 Ixcccx 由 三 角 函 數(shù) 知 識 可 知 ， 這 是 不 可 能 的 ， 故 sin cos 線 性 無 關(guān) 的 。在 任 何 一 個 區(qū) 間 上 均 為與 xx 例證

9、 1sin cos 22 線 性 相 關(guān) 的 。在 任 何 區(qū) 間 上 均 為與證 明 ： xx ) ,( 1 21 時 ， 有， 則 當取 xcc 01sincos)1(sincos 222221 ， xxxcxc 1sin cos 22 線 性 相 關(guān) 的 。在 任 何 區(qū) 間 上 均 為與故 xx 朗 斯 基 ( Wronsky ) 行 列 式 )()( 21 上 有 定 義 ， 且 有 一 階在 區(qū) 間、設(shè) 函 數(shù) Ixyxy )()( )()( )(),( 21 2121 xyxy xyxyxyxyW )()( 21 上 的 朗 斯 基 行 列 式 。在 區(qū) 間、稱 為 函 數(shù) Ix

10、yxy 導 數(shù) ， 則 行 列 式朗 斯 基 行 列 式 可 以 推 廣 到 n 個 函 數(shù) 的 情 形 。 0)(),( 21 ，若 IxxyxyW )()( 21 上 線 性 無 關(guān) 。在，則 函 數(shù) Ixyxy 例 )2 ,0( 1 cossin sincos sin,cos 。 xxx xxxxW )2 ,0( sin cos 上 線 性 無 關(guān) 。在 區(qū) 間與故 xx (3) 二 階 齊 線 性 微 分 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) )()( 21 是 二 階 齊 線 性 方 程、若 xyxy (2) 0)()( yxqyxpy的 兩 個 線 性 無 關(guān) 的 解 ， 則 )()()( 22

11、11 xycxycxy 是 方 程 (2) 的 通 解 。 0)()()( ， 則 方 程若 xqxpxh 0)()()( yxqyxpyxh 。必 有 一 解 xey )()( ， 即 可 得 證 。的 特 點 ：由 函 數(shù) xxxx eeee 例解 0)1( 的 通 解 。求 方 程 yyxyx 01)1( ， 所 以 ，因 為 xx xey 是 原 方 程 的 一 個 解 。又 容 易 看 出 ： 也 是 原 方 程 的 一 個 解 。xy 而 )1( 1 , ， xeeexexW xxxx 0, 1 線 性 無 關(guān) 。與， 從 而 ， 故由 題 意 xx exexWx 由 疊 加 原

12、理 ， 原 方 程 的 通 解 為 21 。xeCxCy )()( 21 線 性 無 關(guān)、 xyxy )( )( 21 常 數(shù)xy xy 0)()( )( 1 的 一 個 解 ，是 方 程如 果 已 知 yxqyxpyxy ? )( )( 21 xyxy 線 性 無 關(guān) 的 解如 何 求 出 方 程 的 一 個 與 0)()( )( 1 的 一 個 非 零 解 。是 方 程如 果 已 知 yxqyxpyxy ),()( )( )( )( 1212 則線 性 無 關(guān) 的 解 ：是 方 程 的 與若 xcxy xyxyxy )()()( 12 ，xyxcxy 代 入 方 程 中 ， 得 0)()(

13、)(2()()()( 111111 。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1 是 方 程 的 解 ， 故 得因 為 y 0)()()(2( 111 。 xcyxcyxpy )( xc關(guān) 鍵 是 求 出怎 么 做 ？ )( ， 則 有令 xcz 0)(2( 111 。 zyxpyzy 關(guān) 于 z 的 一 階 線 性 方 程 即 0 )(2 1 11 。 zy yxpyz故 有 1)( d)(2d)(2 1 11 ， xxpxy yxpy eyexcz兩 邊 積 分 ， 得 d1)( d)(2 ， xeyxc xxp )( 1 線 性 無 關(guān) 的 解與 xy d )()()()( 2 d)(1

14、12 。 xyexyxyxcxy xxp 0)()( 的 通 解 為從 而 ， 方 程 yxqyxpy )()( 2211 。xyCxyCy 關(guān) 于 z 的 一 階 線 性 方 程 劉 維 爾 公 式 0)()( )( 1 的 一 個 非 零 解 ，是 方 程若 yxqyxpyxy d )()( 2 d)(12 xyexyxy xxp )( 1 線 性 無 關(guān) 的 解 ， 且是 方 程 的 與 xy )()( 2211 xyCxyCy 為 原 方 程 的 通 解 。則 例解 02 的 通 解 。求 方 程 yyy 0121 ， 所 以 ， 方 程 有 解因 為 系 數(shù) 滿 足 ： )(1 。x

15、exy 由 劉 維 爾 公 式 d)()( 2d)2(2 ，xx xx xexeeexy 故 原 方 程 的 通 解 為 )( 2121 。xCCeexCeCy xxx 2. 二 階 非 齊 線 性 微 分 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu)(1) 解 的 性 質(zhì) 是 方 程若 )(* xy )()()( xfyxqyxpy )( 1 是 其 對 應(yīng) 的 齊 方 程的 一 個 特 解 ， 而 xy 0)()( yxqyxpy的 一 個 特 解 ， 則 )(*)(1 xyxyy 是 原 方 程 的 一 個 特 解 。 是 方 程若 )( 1 xy )()()( 1 xfyxqyxpy )( 2 是 方 程的

16、 一 個 特 解 ， 而 xy )()()( 2 xfyxqyxpy 的 一 個 特 解 ， 則 )()( 21 xyxyy 是 方 程 )()()()( 21 xfxfyxqyxpy 的 一 個 特 解 。 是 方 程與若 )( )( 21 xyxy )()()( xfyxqyxpy 的 任 意 兩 個 特 解 ， 則 )()( 21 xyxyy 是 其 對 應(yīng) 的 齊 方 程 0)()( yxqyxpy的 一 個 特 解 。 是 方 程若 )(i)(* 21 xyxyy )(i)()()( 21 xfxfyxqyxpy )()()( 1 xfyxqyxpy 的 一 個 特 解 。 )( 1

17、 是 方 程的 一 個 特 解 ， 則 xy )( 2 是 方 程的 一 個 特 解 ； xy )()()( 2 xfyxqyxpy *Re 1yy 實 部 *mI 2yy 虛 部 可 以 直 接 驗 證 性 質(zhì) 1性 質(zhì) 4 。 是 方 程若 )(* xy )()()( xfyxqyxpy )( 是 其 對 應(yīng) 的 齊 方 程的 一 個 特 解 ， 而 xy 0)()( yxqyxpy的 通 解 ， 則 )(*)( xyxyy 是 方 程 (1) 的 通 解 。 ) 1 ( )2(由 性 質(zhì) 1 以 及 通 解 的 概 念 立 即 可 以 得 知 該 定 理 成 立 。 )(* )()()(

18、 xyxfyxqyxpy 的 特 解求 方 程 )(* )()()( xyxfyxqyxpy 的 特 解求 方 程 )()()( 2211 是 齊 方 程 的 通 解 ：設(shè) xyCxyCxy 0)()( 。 yxqyxpy )2( )( )( 2211 為 待 定 的 可 微 函 數(shù) 。，令 xCCxCC )()()()()( 2211 是 非 齊 方 程 的 解 ：設(shè) xyxCxyxCxy )()()( ，xfyxqyxpy ) 1 (則 有 )()()()()()()()( 22221111 ，xyxCxyxCxyxCxyxCy 令 0)()()()( 2211 ， xyxCxyxC )3

19、( 于 是 )()()()( 2211 。xyxCxyxCy 對 上 式 兩 邊 關(guān) 于 x 求 導 ， 得 )()()()()()()()( 22221111 。xyxCxyxCxyxCxyxCy ) 1 ( 式 ， 得的 表 達 式 代 入、將 yyy )()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxCxyxC )()()()()( 2211 xyxCxyxCxp )()()()()()( 2211 xfxyxCxyxCxq 這 兩 部 分為 零 。即 )()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC )4( 聯(lián) 立 (3)、 (4) 構(gòu) 成 方 程 組 0

20、)()()()( 2211 ， xyxCxyxC )()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC )( 2 ， 則和 xC解 此 方 程 組 ， 再 積 分 ， 并 取 積 分 常 數(shù) 為 零 ， 即 可 得 到 )(1 xC )()()()()(* 2211 xyxCxyxCxy )()()( 的 一 個 特 解 。為 方 程 xfyxqyxpy 例解 22 的 通 解 。求 方 程 xxeyyy 該 方 程 所 對 應(yīng) 的 齊 方 程 為 02 。 yyy它 就 是 我 們 剛 剛 講 過 的 例 題 ， 由 劉 維 爾 公 式 得 其 通 解 為 21 。xx exCeCy 由

21、常 數(shù) 變 易 法 ， 解 方 程 組 0 )( )( 21 ， xx xexCexC 2)( )( 21 。xxxx exexexCexC 21 xxexy ey ) 1 ( )2( ) 1 ()2( ， 得 2)( 2 ，xxC 兩 邊 積 分 ， 取 積 分 常 數(shù) 為 零 ， 得 )( 22 。xxC ) 1 ( 式 ， 得代 入 2)( 21 ，xxC 兩 邊 積 分 ， 取 積 分 常 數(shù) 為 零 ， 得 32)( 31 。xxC 故 原 方 程 有 一 特 解 3132)()(* 3232211 ，xxx exxexexyxCyxCy 從 而 ， 原 方 程 的 通 解 為 31* 321 。xxx exxeCeCyyy 0 )( )( 21 xx xexCexC 在 這 一 節(jié) 中 所 講 述 的 理 論 均 可 推 廣 到 n 階 線 性 微 分 方 程 中 去 。 參 考 書 ：北 京 大 學 、 復 旦 大 學 、 中 山 大 學 等 編 寫 的 常 微 分 方 程 教 材