微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件01-第1講集合與映射

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1、高 等 院 校 非 數(shù) 學(xué) 類 本 科 數(shù) 學(xué) 課 程 腳 本 編 寫 、 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 彭 亞 新 鄧 愛(ài) 珍 劉 開(kāi) 宇 孟 益 民 第 一 章 集 合 與 函 數(shù)本 章 學(xué) 習(xí) 要 求 ： 正 確 理 解 函 數(shù) 概 念 ， 能 熟 練 求 出 函 數(shù) 的 定 義 域 。 掌 握 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 、 有 界 性 、 奇 偶 性 、 周 期 性 的 分 析 表 示 和 圖 形 特 征 。 正 確 理 解 初 等 函 數(shù) 、 復(fù) 合 函 數(shù) 概 念 ， 能 正 確 將 復(fù) 合 函 數(shù) 進(jìn) 行 分 解 。 會(huì) 求 函 數(shù) （ 包 括 分 段 函 數(shù) ） 的 反 函 數(shù)

2、 。 了 解 “ 取 整 函 數(shù) ” 和 “ 符 號(hào) 函 數(shù) ” 。 能 對(duì) 常 見(jiàn) 的 實(shí) 際 問(wèn) 題 進(jìn) 行 分 析 ， 建 立 函 數(shù) 關(guān) 系 。 第 一 節(jié) 集 合 與 映 射一 、 集 合 的 基 本 概 念二 、 集 合 的 基 本 運(yùn) 算三 、 映 射 的 基 本 概 念四 、 實(shí) 數(shù) 、 區(qū) 間 、 鄰 域 一 、 集 合 的 基 本 概 念 集 合 論 是 現(xiàn) 代 數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 。 集 合 論 的 創(chuàng) 始 人 是 丹 麥 人康 托 爾 （ 猶 太 人 ） ， 他 在 柏 林 大 學(xué) 學(xué) 習(xí) （ 工 科 ） 期 間 受 大數(shù) 學(xué) 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 的 影 響 ，

3、 轉(zhuǎn) 而 攻 讀 數(shù) 學(xué) ， 最 后 成 為 一名 數(shù) 學(xué) 家 。 他 于 1847年 提 出 集 合 論 ， 解 決 了 當(dāng) 時(shí) 一 系 列 懸而 未 決 的 問(wèn) 題 ， 奠 定 了 現(xiàn) 代 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) 。 但 康 托 爾 創(chuàng) 建 集 合論 的 過(guò) 程 是 十 分 艱 難 的 ， 為 此 他 幾 乎 獻(xiàn) 出 了 生 命 。 這 也 說(shuō)明 如 何 一 件 新 生 事 物 的 出 現(xiàn) 往 往 都 不 是 一 帆 風(fēng) 順 的 。 康 托 爾 將 集 合 定 義 為 ： 所 謂 集 合 是 把 我 們 直 觀 和 思 維 中 確 定 的 、 相 互 間有 明 確 區(qū) 別 的 那 些 對(duì) 象 （

4、這 些 對(duì) 象 稱 為 元 素 ） 作 為 一個(gè) 整 體 來(lái) 考 慮 的 結(jié) 果 。1. 集 合 , ?；?， 記 為集 合 不 屬 于； 元 素， 記 為屬 于 集 合元 素 。哪 些 元 素 不 屬 于 集 合 屬 于 集 合， 也 就 是 規(guī) 定 哪 些 元 素定 義 一 個(gè) 集 合 放 在 一 起 就 構(gòu) 成 集 合 。簡(jiǎn) 言 之 ， 把 考 察 的 對(duì) 象AxAxA xAxAx A AA 關(guān) 于 集 合 的 幾 點(diǎn) 注 意 ：v 集 合 的 元 素 是 確 切 定 義 的 ， 不 能 含 糊 不 清 。v 集 合 中 的 元 素 互 不 相 同 。v 當(dāng) 只 研 究 一 個(gè) 集 合 時(shí)

5、 ， 則 可 不 考 慮 其 結(jié) 構(gòu) ， 視 集 合 中 的 元 素 一 律 平 等 。 2. 集 合 的 表 示 法(1) 列 舉 法 ： 將 集 合 A的 所 有 元 素 一 一 列 舉 出 來(lái) ， 并 用 花 括 號(hào) 括 上 。表 示 集 合 的 方 法 有 兩 種 : )( | )( )2( 。具 有 特 性來(lái) 表 示 如 下 列 出所 具 有 的 特 性中 元 素將 集 合描 述 法 ： xpxxA xpxA注 意 ： 不 論 用 那 一 種 方 法 表 示 集 合 ， 集 合 中 的 元 素 不 得 重 復(fù) 出 現(xiàn) 。 01 | 1 1, ) ( 1 | ),( ,3 ,2 ,1

6、222 。 ；平 面 上 的 單 位 圓 周；東 ， 南 ， 西 ， 北； xxH xyyxyxGBA 有 些 集 合 可 以 用 兩 種 表 示 法 表 示 ， 此 時(shí) 可 根 據(jù)需 要 選 擇 其 中 的 一 種 方 法例 1 3. 子 集 、 集 合 相 等 )1( 。的 子 集 ， 記 為為， 則 稱若 BABABaAa )2( 。相 等 ， 記 為與， 則 稱 集 合且若 BABAABBA ) ( )3( 的 元 素 。中 至 少 存 在 一 個(gè) 不 屬 于此 時(shí) ， 的 真 子 集 。為， 則 稱且若 AB BABABA 規(guī) 定 ： 空 集 是 不 含 任 何 元 素 的 集 合

7、， 記 為 。 空 集 是 任 何 一 個(gè) 集 合 的 子 集 ： 。， 則 AA )( 2 )4( 。或記 為 的 冪 集 ，稱 為的 所 有 子 集 組 成 的 集 合非 空 集 合 AP AAA 5 3 1 4 2 4 3 2 1 ， BAG 086 | 2 ， 則 xxxC ；， CAGAGG );5 ( GGB 因 為但 ) 2 ( 4,3,2,1 ,4,3,2 ,4,3,1 ,4,2,1 ,3,2,1 ,4,3 ,4,2 ,3,2 ,4,1 ,3,1 ,2,1 ,4 ,3 ,2 ,1 , 2 4 項(xiàng)共 計(jì)。G 想 到 什 么 沒(méi) 有 ？例 2 4. 有 限 集 、 無(wú) 限 集 ：含

8、 有 有 限 個(gè) 元 素 的 集 合 稱 為 有 限 集 ；含 有 無(wú) 限 個(gè) 元 素 的 集 合 成 為 無(wú) 限 集 。 2 2 項(xiàng) 。含 有個(gè) 元 素 ， 則 它 的 冪 集含 有如 果 有 限 集 nAnA空 集 是 任 何 一 個(gè) 非 空 集 合 的 冪 集 的 元 素 ： 2 。， 則 AA 二 、 集 合 的 基 本 運(yùn) 算 。成 的 集 合 ， 稱 之 為 全 集 象 （ 元 素 ） 的 全 體 所 構(gòu)來(lái) 表 示 所 考 慮 的 某 種 對(duì)或 便 ， 我 們 常 常 用 記 號(hào)為 了 研 究 和 敘 述 上 的 方 X 也 有 一 些 書 將 全 集 稱 為 “ 空 間 ” 、

9、“ 原 集 合 ” 、 “ 萬(wàn) 有 集 合 ” 等 。在 wen圖 中 ， 用 矩 形 表 示 全 集 。1. 集 合 運(yùn) 算 的 概 念 ， 則，設(shè) 有 集 合 BA ) ( | | | ?；?記 為的 補(bǔ) 集 （ 或 余 集 ） ： ；且的 差 ：與 ；且的 交 ：與 ；或的 并 ：與 CAAAA BxAxxBABABA BxAxxBABA BxAxxBABA ? )( ABBA A BBA A BBAA B ABA )AB( | BxAxxBABA 或的 并 ：與 A B A B A B BA BA BA )AB( | BxAxxBABA 且的 交 ：與 互 斥與稱 BA A BAA C

10、ABBAAB 時(shí) ， )BA(ABA BA B BABBA (A B) B = A? | BxAxxBABABA 且的 差 ：與 ) ( 的 余對(duì)稱 為 AB 一 般 說(shuō) 來(lái) , ABB)(A A BA B ABB)( 僅 當(dāng) B A 時(shí) , 才 有 ABB)(A A BBA ABB)(A AA AA ) ( CAAAA 或 記 為的 補(bǔ) 集 （ 或 余 集 ） ： = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 。B = 4, 5, 6, 7, 8, 9 ，設(shè) A = 1, 2, 3, 4, 5 ，則 BA例 3 B = 6, 7, 8 ，= 0, 1, 2, 6, 7, 8 .設(shè)

11、A = 0, 1, 2 ，則 BA例 4 A = x | x2 2x 3 0 ，= x | 1 x 3 . B = x | x = 1, 3 ，設(shè)則 BA例 5 6 ,5 ,4 ,3 3 ,2 ,1 ， 則，設(shè) BA , 2 ,1 BA 6 ,5 ,4 ,3 2 ,1 )( BBA 。A 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 例 6 = x | 1 x 1 或 2 x 3 。 故 B = x | x 2 ，解 不 等 式 得 ,023|B 2 xxxA = x | 1 x 3 ，BA例 7 0,32|A 2 xxx設(shè) . BA 求 交 換 律 結(jié) 合 律分 配 律對(duì) 偶 律2.集 合 的 運(yùn) 算

12、性 質(zhì)冪 等 律吸 收 律 設(shè) 有 集 合 A、 B、 C 及 全 集 ， 則交 換 律 ：結(jié) 合 律 ： CB)(AC)B(A CB)(AC)B(A 分 配 律 ： C)(AB)(AC)(BA C)(AB)(AC)(BA 對(duì) 偶 律 ： BABA BABA AAAA AA 冪 等 律 ：吸 收 律 ： AB)A(AA B)A(A AA A AA A AA AA C)(BC)(ACB)(A B)(ACBA)(C 其 它 ： 三 、 映 射 的 基 本 概 念1. 映 射 ， 按 照 某 種是 兩 個(gè) 非 空 集 合 ， 若，設(shè) AxBA fByf 與 之 對(duì) 應(yīng) ， 則 稱有 唯 一 確 定

13、的確 定 的 法 則 ， 或 記 為：的 一 個(gè) 引 映 射 ， 記 為到為 從 BAfBA 。， 習(xí) 慣 上 也 記 為，： AxxfyAxyxf )( 下在 映 射稱 為下 的 像 ，在 映 射稱 為其 中 ， fyxfxy 中記 為的 定 義 域稱 為 映 射的 一 個(gè) 原 像 AfDfA );( , , 的 值 域 ，為的 全 體 所 構(gòu) 成 的 集 合 稱的 像所 有 元 素 fyx ， 即或記 為 )( )( AffR ),( | )()( ;)( 。AxxfyyAffR AfD 注 意 ：1) 映 射 是 集 合 間 的 一 種 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 . 集 合 X 、 Y中 所 含

14、的 元 素 不 一 定 是 數(shù) ， 可 以 是 其 它 的 一些 對(duì) 象 ( 或 事 物 )。2) 對(duì) 每 一 個(gè) x X， 只 有 唯 一 的 一 個(gè) y Y 值 與 之對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 不 一 定 就 是 映 射 。對(duì) 應(yīng) ， 這 一 點(diǎn) 很 重 要 ， 它 說(shuō) 明 集 合 間 元 素 的 3) 映 射 的 定 義 不 排 除 幾 個(gè) 不 同 的 x 值 與 同 一 個(gè) y 值 對(duì) 應(yīng) 。RfX Yf y2x1x2x3 y1. . 設(shè) f 為 集 X 到 集 Y 的 一 個(gè) 映 射 。 如 果 x X， 存 在 唯 一 的 y = f ( x ) Y 與 之 對(duì) 應(yīng) ；反 過(guò) 來(lái) , 若 y

15、 Y, 存 在 唯 一 的 x X 使 得 y = f ( x ), 則 稱 f 是 X 到 Y 的 一 一 對(duì) 應(yīng) 。2. 一 一 對(duì) 應(yīng) 一 一 對(duì) 應(yīng) 的 實(shí) 質(zhì) 是 什 么 ？ 一 一 對(duì) 應(yīng) 的 實(shí) 質(zhì) 的 一 一 對(duì) 應(yīng) ， 則到是如 果 YXf )()( )1( 22112121 ；， 則， 若， yxfxfyxxXxx ) )( ( )2( ?；?YXfYRf 其它內(nèi)容請(qǐng)同學(xué)們自己看書 1. 實(shí) 數(shù) 集 與 數(shù) 軸實(shí) 數(shù) 集 為 有 理 數(shù) 集 與 無(wú) 理 數(shù) 集 的 并 .實(shí) 數(shù) 具 有 稠 密 性 和 連 續(xù) 性 .aR， 必 n Z， 使 n a n+1.實(shí) 數(shù) 與 數(shù)

16、軸 上 的 點(diǎn) 一 一 對(duì) 應(yīng) .四 、 實(shí) 數(shù) 、 區(qū) 間 、 鄰 域 2. 絕 對(duì) 值 、 距 離任 一 實(shí) 數(shù) a 的 絕 對(duì) 值 | a | 定 義 為 ： 。 0 , , 0 , | aa aaa數(shù) 軸 上 任 意 兩 點(diǎn) a， b 之 間 的 距 離 為 d = | a b | 。 絕 對(duì) 值 常 用 的 性 質(zhì) ： ;| ,| )1 2 aaaaa ;0)( | | ,| )2 a ababbaba .| ,|)3 babababa 3. 區(qū) 間(1) 閉 區(qū) 間 a, b = x | a x b a b xO(2) 開(kāi) 區(qū) 間 (a, b) = x | a x b a bO x

17、。 。 ( ) (a, b = x | a x b (稱 為 左 開(kāi) 右 閉 區(qū) 間 )a, b) = x | a x a ,( , b = x | x b , ( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR a (+)O x a, +) (5) 區(qū) 間 長(zhǎng) 度有 限 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 = 右 端 點(diǎn) 值 左 端 點(diǎn) 值 不 論 是 閉 區(qū) 間 、 開(kāi) 區(qū) 間 、 半 開(kāi) 閉 區(qū) 間 ， 其 長(zhǎng) 度 計(jì) 算 均 按 此 式 進(jìn) 行 。 所 有 無(wú) 窮 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 = + 區(qū) 間 ( , 2 與 (1, +) 的 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 均 為 +.區(qū)

18、 間 1, 4 與 ( 1, 4) 的 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 均 為4 ( 1) = 5例 8 U( x0 , ) = x | | x x0 | 0 x0+o ( )x0 x0 xx U( x 0 , ) | x x0 | ),( U 00 ：鄰 域的點(diǎn) xx4. 鄰 域 U( x0 , ) = x | 0 | x x0 | 0 x0 + o ( )x0 x0 xx U( x0 , ) 0 | x x0 | ),(U 00 ：鄰 域的 去 心點(diǎn) xx 點(diǎn) 的 某 鄰 域 ， 記 為 U(x0) .0 x點(diǎn) 的 某 去 心 鄰 域 ， 記 為 (x0) . 0 x U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 ) 點(diǎn) x0 = 3 的 = 0.1 鄰 域 為點(diǎn) x0 = 3 的 去 心 = 0.1 鄰 域 為 ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 )= ( 2.9, 3.1 )例 9