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1、第 九 節(jié) 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 一 、 型 二 、 型 三 、 小 結(jié) )()( xPexf mx xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( )(xfqyypy 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 ,0 qyypy通 解 結(jié) 構(gòu) ,yYy 常 見 類 型 ),(xPm ,)( xm exP ,cos)( xexP xm ,sin)( xexP xm 難 點(diǎn) ： 如 何 求 特 解 ？ 方 法 ： 待 定 系 數(shù) 法 .)()( xPexf mx一 、 型 設(shè) 非 齊 方 程 特 解 為 xexQy )( 代 入 原 方
2、程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不 是 特 征 方 程 的 根 ，若 )1( ,02 qp),()( xQxQ m可 設(shè) 是 特 征 方 程 的 單 根 ，若 )2( ,02 qp ,02 p),()( xxQxQ m可 設(shè) ;)( xm exQy ;)( xm exxQy 是 特 征 方 程 的 重 根 ，若 )3( ,02 qp ,02 p),()( 2 xQxxQ m可 設(shè)綜 上 討 論 ,)(xQexy mxk 設(shè) 是 重 根是 單 根不 是 根2 ,10k注 意 上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性微 分 方 程 （ k
3、是 重 根 次 數(shù) ） . .)(2 xm exQxy 特 別 地 xAeqyypy 是 特 征 方 程 的 重 根是 特 征 方 程 的 單 根不 是 特 征 方 程 的 根 x x xexA xepA eqpAy 22 2 ,2 , .23 2 的 通 解求 方 程 xxeyyy 解對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr ,221 xx eCeCY 是 單 根 ，2 ,)( 2xeBAxxy 設(shè)代 入 方 程 , 得 xABAx 22 ,121 BAxexxy 2)121( 于 是原 方 程 通 解 為 .)121( 2221 xxx
4、 exxeCeCy 例 1 型二 、 sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx sincos)( xPxPexf nlx 22 ieePeePe xixinxixilx xinlxinl eiPPeiPP )()( )22()22( ,)()( )()( xixi exPexP ,)( )( xiexPqyypy 設(shè) ,)(1 ximk eQxy 利 用 歐 拉 公 式 ,)( )( xiexPqyypy 設(shè) ,)(2 ximk eQxy ximximxk eQeQexy ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRex mmxk 次 多 項(xiàng) 式 ，是其 中 mxRxR mm
5、 )(),( )2()1( nlm ,max,10 是 單 根不 是 根 iik注 意上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 . .sin4 的 通 解求 方 程 xyy 解 對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 輔 助 方 程 ,4 ixeyy ,是 單 根i ,* ixAxey 故代 入 上 式 ,42 Ai ,2iA ,)cos2(sin22* ixxxxixey ix 所 求 非 齊 方 程 特 解 為 ,cos2 xxy 原 方 程 通 解 為 .cos2sincos 21 xxxCxCy （ 取 虛 部 ）例 2
6、 .2cos 的 通 解求 方 程 xxyy 解 對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 輔 助 方 程 ,2ixxeyy ,2 不 是 特 征 方 程 的 根i ,)( 2* ixeBAxy 設(shè) 代 入 輔 助 方 程 13 034 A BAi ,9431 iBA ，,)9431( 2* ixeixy 例 3 )2sin2)(cos9431( xixix 所 求 非 齊 方 程 特 解 為 ,2sin942cos31 xxxy 原 方 程 通 解 為 .2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31
7、ixxxxxx （ 取 實(shí) 部 ）注 意 xAexAe xx sin,cos .)( 的 實(shí) 部 和 虛 部分 別 是 xiAe 例 4 一 鏈 條 懸 掛 在 一 釘 子 上 ， 啟 動(dòng) 時(shí) 一 端 離 開 釘子 8m 另 一 端 離 開 釘 子 12m ， 分 別 在 以 下 兩 種 情 況下 求 鏈 條 滑 下 來 所 需 要 的 時(shí) 間 ： （ 1） 若 不 計(jì) 釘 子 對(duì) 鏈 條 所 產(chǎn) 生 的 摩 擦 力 ； （ 2） 若 摩 擦 力 為 1m長 的 鏈 條 的 重 量 .解 (1)以 釘 子 處 為 原 點(diǎn) , s 軸 豎 直 向 下 ， 設(shè) 在 t 時(shí) 刻 ， 鏈 條 較 長
8、一 段 下 垂 s m， 且 設(shè) 鏈 條 的 密 度 均勻 分 布 為 ， 則 向 下 拉 鏈 條 下 滑 的 作 用 力 為 gsgsgsf )10(2)20( 得 微 分 方 程 初 始 問 題于 是 由 maf 0)0(,12)0( )10(220 22 ss sgdtsd 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 為 gsgdtsd 1022特 征 方 程 及 特 征 根 為 10,010 2,12 grgr tgtg eCeCs 1.021.01 10a,0* 代 入 原 方 程 得， 則設(shè) ssas 101.021.01 tgtg eCeCs代 入 初 始 條 件 得 101.01.0 tgtg
9、 ees 即 15252ln10 2ssgt當(dāng) s =20m 時(shí) ， 鏈 條 全 部 滑 下 ， 需 時(shí) )(625ln10 sgt ggsgsf )20()2( gsgs 05.110 同 理 可 解 得 )(3 22419ln10 sgt 例 5 設(shè) 函 數(shù) 連 續(xù) ， 且 滿 足)(x xxx dttxdtttex 00 )()()( 求 )(x解 對(duì) 積 分 方 程 兩 邊 求 導(dǎo) xx dttex 0 )()( 再 求 導(dǎo) 得 xexx )()( 初 始 條 件 為 1)0(,1)0( 特 征 方 程 和 特 征 根 為 irr 2,12 ,01 xCxCx sincos)( 21
10、由 于 自 由 項(xiàng) 1,)( xexf 不 是 特 征 根 ， 故 設(shè)xx aexxaex )()(,)( * 解 得 a =1/2 2/sincos)( 21 xexCxCx 再 代 入 初 始 條 件 可 得 )sin(cos21)( xexxx 三 、 小 結(jié) 可 以 是 復(fù) 數(shù) ） (),()()1( xPexf mx );(xQexy mxk ,sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ;sin)(cos)( )2()1( xxRxxRexy mmxk (待 定 系 數(shù) 法 )只 含 上 式 一 項(xiàng) 解 法 ： 作 輔 助 方 程 ,求 特 解 , 取特 解 的 實(shí)
11、 部 或 虛 部 , 得 原 非 齊 方 程 特 解 . 思 考 題寫 出 微 分 方 程 xexyyy 22 8644 的 待 定 特 解 的 形 式 . 思 考 題 解 答設(shè) 的 特 解 為2644 xyyy *1yxeyyy 2844 的 特 解 為 *2y*2y*1* yy 則 所 求 特 解 為 0442 rr 特 征 根 22,1 rCBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （ 重 根 ）*2y*1* yy CBxAx 2 .22 xeDx 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 xeyay 2 ； 2、 xxeyyy 323 ； 3、 xxyy cos4 ；
12、4、 xyy 2sin . 二 、 求 下 列 各 微 分 方 程 滿 足 已 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 0,1,54 00 xx yyyy ； 2、 xx exeyyy 2 , 1,1 11 xx yy ； 3、 )2cos(214 xxyy , 0,0 00 xx yy . 練 習(xí) 題 三 、 含 源在 CLR , 串 聯(lián) 電 路 中 ,電 動(dòng) E勢(shì) 為 的 電 源 對(duì)電 充 電容 器 C .已 20E知 伏 , 微 法2.0C ,亨1.0L , 歐1000R ,試 求 合 上 開 后關(guān) K 的 電及流 )(ti )(tuc電 壓 . 四 、 設(shè) )(x函 數(shù) 連 續(xù) ,且
13、 滿 足 xxx dttxdtttex 00 )()()( , )(x求 . 練 習(xí) 題 答 案 一 、 1、 221 1sincos aeaxCaxCy x ； 2、 )323( 2221 xxeeCeCy xxx ； 3、 xxxxCxCy sin92cos312sin2cos 21 ； 4、 212cos10121 xeCeCy xx . 二 、 1、 xey x 45)511(161 4 ； 2、 xxx exexexeey 26)121(612 23 ； 3、 )2sin1(812sin161 xxxy . 三 、 )105sin(104)( 31052 3 teti t (安 ), 105sin()105cos(2020)( 33105 3 ttetu tc (伏 ). 四 、 )sin(cos21)( xexxx .
常系數(shù)非齊次線性方程
