清華微積分(高等數(shù)學)課件微積分(一)期末小結

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1、2021-4-26 1 微積分期末考試時間：2002年1月5日 下午：2:304:30地點:(1) 二教401 結11、結12、水工13學號279288 (2) 二教402 水工11、水工12、 水工13學號289298 (3) 二教403 結13、結14、文9、 水工13學號299308、其他 2021-4-26 2 期末考試答疑時間: 2002年1月3日下午、 1月4日上、下午 上午：8:30 11:30 下午：2:30 5:30地點：三教 1109 2021-4-26 3 微積分 (一)期末小結 2021-4-26 4 一.函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)3.非初等函數(shù)*分段函數(shù)*參數(shù)方

2、程表示的函數(shù)*變限定積分*隱函數(shù)方程4.函數(shù)的初等性質(zhì) 2021-4-26 5 二.極限定義極限的 ,.1 N極限的性質(zhì).2極限的有關定理.3求極限的方法.4基本公式等價無窮小替換羅必達法則 泰勒公式 2021-4-26 6 三.連續(xù)函數(shù)1.連續(xù)的基本概念2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性零點定理介值定理最值定理 一致連續(xù)性 2021-4-26 7 四.導數(shù)與微分 0 00 0 )()(lim)( )()(:.1 0 xx xfxfxf xxfxfy xx 點的導數(shù)：在，設定義dxxfdy xdxxfy xxf )( )()()( 000 微分為點可微：在 2021-4-26 8 導數(shù)與微分的計

3、算.2基本公式四則運算法則復合函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法反函數(shù)求導法對數(shù)微分法 參數(shù)方程求導法 2021-4-26 9 五.導數(shù)應用(一)微分學基本定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理(二)函數(shù)性態(tài)的研究增減性、極值凸性、拐點 漸近線(三)不等式的證明 2021-4-26 10 (五)泰勒公式1.皮亞諾型余項的泰勒公式有時則當階導數(shù)，到存在在點假設函數(shù), 1)(0 0 xx nxxf )()(!1 )(!21)()()( 000)( 200000 nnn xxoxxxfn xxxfxxxfxfxf (四)羅必達法則 2021-4-26 11 2.拉格朗日型余項的泰勒公式 之間的某個點。與是介于其中有數(shù)

4、，則 階導到有在點假設函數(shù) xx xxfn xxxfn xxxfxxxfxfxf bax nbaxxf nn nn0 10)1( 00)( 200000 0 )()!1( 1 )(!1 )(!21)()()( ),( 11),()( 2021-4-26 12 3.常用的麥克勞林公式)(!1!211)1 2 nnx xoxnxxe )()!12()1(!5!3sin)2 212153 kkk xokxxxxx )()!2()1(!4!21cos)3 2242 kkk xokxxxx )0( 0，皮亞諾型余項x 2021-4-26 13 )(! )1()1()1( !2 )1(1)1()5 2 n

5、n xoxn nxxx )(!)1(32)1ln()4 132 nnn xonxxxxx )(11 1)6 2 nn xoxxxx 2021-4-26 144.利用泰勒公式證明不等式5.利用泰勒公式作近似計算 要求1.掌握函數(shù)在一點的泰勒公式2.會用直接展開或間接展開的方法求 函數(shù)的泰勒公式3.能利用泰勒公式求某些函數(shù)的極限6.利用泰勒公式進行級數(shù)判斂 2021-4-26 15 六.不定積分(一)基本概念1.原函數(shù)上的一個原函數(shù)。在區(qū)間是，則稱上若在區(qū)間Ixf xFxfxFI)( )()()( 2.不定積分 CxFdxxf xf CCxFxf )()( )( )()(記作在區(qū)間上的不定積分，任

6、意常數(shù)）稱為為，（的全體原函數(shù) 2021-4-26 16 (二)基本性質(zhì) CxFdxxF )()(.1 )()(.2 xfdxxf dxxfdxxfd )()(.3 0,)()(.4 kdxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf )()()()(.5 2021-4-26 17 (三)基本公式)1(1 1.1 1 Cxdxx Cxdxx ln1.2 Cedxe xx .3 Cxxdx cossin.5 Cxxdx sincos.6 )1,0(ln1.4 aaCaadxa xx 2021-4-26 18 Cxxdx tansec.7 2 Cxxdx cotcsc.8 2 Cxdxx arc

7、tan1 1.9 2 Cxdxx arcsin1 1.10 2 Cxxdxx secsectan.11 Cxxdxx csccsccot.12 2021-4-26 19 )0(arctan11.13 22 aCaxadxxa )0(arcsin1.14 22 aCaxdxxa Cxxxdx sectanlnsec.15 Cxxxdx csccotlncsc.16 Cxa xaadxxa ln211.17 22 2021-4-26 20 Cxaxdxxa )ln(1.18 2222 Cchxshxdx .19 Cshxchxdx .20(四)計算方法利用基本公式.1 2021-4-26 21Cx

8、FCtF dtttfdxxf tx )()( )()()(.3 1)( 令變量置換法 vduuvudv分部積分法.4 )()()()()(.2 xdxgdxxxgdxxf 湊微分法 2021-4-26 22 七.定積分(一)基本概念1.定義 則稱此極存在如果極限令及劃分的任意對上有定義在設,)(lim )(max),2,1( ,),2,1(, : ,)( 10 111 2100 knk k knkkkk kkk nnkk xf xnkxxx nkxx bxxxxax babaxf 2021-4-26 23 .,)( )(lim)( ,)( 10上可積在此時稱上的定積分，記作在限值為baxf x

9、fdxxf baxf nk kkba 2.定積分的幾何意義. ,)()(之間所圍面積的代數(shù)和軸及直線與表示bx axxxfdxxfba 2021-4-26 24 (二)函數(shù)的可積性. ,)(,)(.1上有界在上可積，則在baxfbaxf . ,)(,)(.2可積上在，則若baxfbaCxf .,)(,)(.3上可積在間斷點，則上有界，只有有限個在若baxfbaxf 2021-4-26 25 ., )(,)(.4上可積在上單調(diào)有界，則在若ba xfbaxf .)(inf,)(sup , ,limlim, ,)(.5 11 11 000 xfmxfM xmsxMS Ssx babaxf kkkk

10、xxxkxxxk nk kknk kk nkk 其中有劃分的任意對上可積在 2021-4-26 26 (三)定積分的性質(zhì).,)()(1為常數(shù)）kdxxfkdxxkf baba bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()(2） abba dxxfdxxf )()(4）0)(3 dxxfaa） bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(5） 2021-4-26 27 .)()( )()(,)()( ;)()( ,)()(6 baba baba dxxgdxxf xgxfbaCxgxf dxxgdxxf baxxgxf則、若則）若dxxfdxxf baba )()(7）)(

11、)()( ,)(8 abMdxxfabm Mxfm ba 則若）估值定理 2021-4-26 28 ).)()( ,)(9 abfdxxf babaCxf ba 使得則存在若）中值定理.)()()()( , ,)(,)(10 b aba dxxgfdxxgxf ba babaRxgbaCxf 使得則存在上不變號且在若）廣義中值定理 2021-4-26 29 (四)變上限定積分稱為變上限定積分。設)(, )()(,)( xFbax dxxfxFbaRxf xa ., )()(,)(1上連續(xù)在則）若ba dxxfxFbaRxf xa ).()(),( )()(,)(2 xfxFba dxxfxFb

12、aCxf xa 且，內(nèi)可導在則）若 2021-4-26 30 (五)牛頓-萊布尼茲公式)()()()( )()(,)( aFbFxFdxxf xfxFbaCxf baba 則，原函數(shù)的一個是設(六)定積分計算 dtttfdxxf tbtab atxbaCxf ba )()()( )(,)(),( ),()(,)(.1連續(xù)，則滿足設變量置換法 2021-4-26 31 baba ba xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(.2分部積分法3.特殊函數(shù)的積分性質(zhì) 為奇函數(shù)，為偶函數(shù)則）設)(0 )(,)(2)( ,)(1 0 xf xfdxxfdxxf baCxf aaa .,)()

13、( ,)(2 0 Radxxfdxxf Txf TTaa 則周期為為連續(xù)的周期函數(shù)）設 2021-4-26 32 為奇數(shù)為偶數(shù)）nnnnn nnnnn xdxxdx nn 132231 221231 cossin3 2020 區(qū)間上的符號。在積分）要注意被積函數(shù)中的 ,4 2021-4-26 33 (七）定積分應用可加性。對區(qū)間具有所求量依賴于區(qū)間，并 ）積分求結果（）分小取微分（量求出其微分通過分析未知函數(shù)的增21微元分析法解決問題的方法：定積分應用問題的特征 2021-4-26 34 應用問題平面圖形的面積間體體積平行截面面積已知的空旋轉(zhuǎn)體體積平面曲線的弧長旋轉(zhuǎn)面的面積重心質(zhì)量 引力轉(zhuǎn)動慣

14、量動能變力作功 2021-4-26 35 (八)廣義積分1.無窮區(qū)間上的廣義積分(1)定義 否則發(fā)散。此時稱廣義積分收斂，記作上的廣義積分在則稱此極限為存在若設.)(lim)( ,),)( ,)(lim),)( axa BaB dxxfdxxf axf dxxfaCxf 2021-4-26 36 (2)判斂法則比較判斂法比階判斂法絕對值判斂法柯西判斂準則2.無界函數(shù)的廣義積分 baba babx dxxfdxxf baxf dxxfxf baCxf )(lim)( ,)( ,)(lim,)(lim ),0(,)(:)1( 0 0記作上的廣義積分在此極限為則稱存在若設定義 2021-4-26 3

15、7 (2)判斂法則比較判斂法比階判斂法柯西判斂準則絕對值判斂法3.兩個重要的例發(fā)散。收斂，11),0(1)1( ppadxxa p發(fā)散。收斂，11,)( 1)2( ppdxaxba p 2021-4-26 38 要求1.掌握定積分的概念及性質(zhì)2.了解定積分存在的條件與可積函數(shù)類3.能利用定積分性質(zhì)對問題進行分析 與證明4.掌握變上限積分求導5.掌握牛頓萊布尼茲公式 2021-4-26 39 6.掌握定積分的變量置換法與分部積 分法8.會用定積分解決幾何與物理的簡單 問題9.掌握廣義積分的概念及判斂法則7.掌握弧長的微分與曲率的計算 2021-4-26 40 八.無窮級數(shù)(一)數(shù)項級數(shù)的概念 發(fā)

16、散。稱級數(shù)不收斂若即且和為收斂則稱級數(shù)存在極限部分和。若數(shù)列項稱為級數(shù)的記設級數(shù) 111 11 , .lim, , n nn nnn nn n n nk knn n uS SSuSu SS nuSu 2021-4-26 41 (二)級數(shù)的基本性質(zhì).0lim.1 1 nnn n uu收斂，則若 12111 21 11 )( ,.2 n nnn nn n nn n vkukvkuk vu n收斂，則設數(shù)的斂散性。，不改變級級數(shù)去掉或加上有限項.3 2021-4-26 42 且其和不變。組成的新級數(shù)仍收斂，收斂，則任意加括號后若1.4 n nu(三)柯西收斂準則 mnnn n uuu NnmNu 2

17、11 ,0,0有收斂 2021-4-26 43 2.比階判斂法3.達朗貝爾判斂法4.柯西根式判斂法5.柯西積分判斂法(四)正項級數(shù)的判斂法則1.比較判斂法 2021-4-26 44條件收斂。則稱收斂，而發(fā)散絕對收斂；若 1 11 ,n n n nn nu uu 2.絕對收斂、條件收斂收斂則稱級數(shù)若任意項級數(shù) 11 , n nn n uu(五)任意項級數(shù)的判斂法則1.交錯級數(shù)的萊布尼茲判斂法 2021-4-26 45 (六)重要級數(shù)發(fā)散。收斂1,1,.1 1 rrrn n發(fā)散。收斂1,1,1.2 1 ppnn p 2021-4-26 46 要求1. 掌握級數(shù)的概念和性質(zhì)2. 掌握正項級數(shù)的比較、比階、 比值和根值判定準則3. 掌握任意項級數(shù)的絕對收斂和 條件收斂4. 交錯級數(shù)的萊布尼茨判定準則