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1、一 階 線 性 微 分 方 程 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 第 四 節(jié) 一 、 一 階 線 性 微 分 方 程二 、 伯 努 利 方 程 第 十 二 章 一 、 一 階 線 性 微 分 方 程一 階 線 性 微 分 方 程 標 準 形 式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy若 Q(x) 0, 稱 為 非 齊 次 方 程 .1. 解 齊 次 方 程分 離 變 量 xxPyy d)(d 兩 邊 積 分 得 CxxPy lnd)(ln 故 通 解 為 xxPeCy d)(稱 為 齊 次 方 程 ; 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回
2、結 束 對 應 齊 次 方 程 通 解 xxPeCy d)(齊 次 方 程 通 解 非 齊 次 方 程 特 解 xxPCe d)(2. 解 非 齊 次 方 程 )()(dd xQyxPxy 用 常 數(shù) 變 易 法 : ,)()( d)( xxPexuxy 則 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ故 原 方 程 的 通 解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(y即 即 作 變 換 xxPeuxP d)()( xxPexQxu d)()(dd CxexQu xxP d)( d)(兩 端 積 分 得 機 動 目 錄
3、上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 1. 解 方 程 .)1(12dd 25 xx yxy解 : 先 解 ,012dd x yxy 即 1d2d x xyy積 分 得 ,ln1ln2ln Cxy 即 2)1( xCy用 常 數(shù) 變 易 法 求 特 解 . 令 ,)1()( 2 xxuy 則)1(2)1( 2 xuxuy代 入 非 齊 次 方 程 得 21)1( xu解 得 Cxu 23)1(32故 原 方 程 通 解 為 Cxxy 232 )1(32)1( 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 2. 求 方 程 的 通 解 .解 : 注 意 x, y 同 號 , ,d2d,0 x
4、xxx 時當 yyxyx 2dd2 yyP 21)( yyQ 1)( 由 一 階 線 性 方 程 通 解 公 式 , 得ex yy2d ey1 yy2d Cx lnd 故 方 程 可變 形 為 0d2d 3 yyxyyxxy y1 y1 lnd Cy所 求 通 解 為 )0( CCey yx yCy ln這 是 以 x 為 因 變 量 , y為 自 變 量 的 一 階 線 性 方 程 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 在 閉 合 回 路 中 , 所 有 支 路 上 的 電 壓 降 為 0例 3. 有 一 電 路 如 圖 所 示 , ,sin tEE m 電 動 勢 為 電 阻 R
5、 和 電.)(ti L ER K解 : 列 方 程 .已 知 經(jīng) 過 電 阻 R 的 電 壓 降 為 R i 經(jīng) 過 L的 電 壓 降 為 tiLdd因 此 有 ,0dd iRtiLE 即 L tEiLRti m sindd 初 始 條 件 : 00 ti由 回 路 電 壓 定 律 :其 中 電 源求 電 流感 L 都 是 常 量 , 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 L ER K解 方 程 : L tEiLRti m sindd 00 ti CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(由 初 始 條 件 : 00 ti 得 222 LR LEC m)(ti dtLRe t
6、LEm sin tLRm eCtLtRLR E )cossin(222 te tLR dd C利 用 一 階 線 性 方 程 解 的 公 式 可 得 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 tLRm eLR LEti 222)( )cossin(222 tLtRLR Em tLRm eLR LEti 222)( )sin(222 tLR Em暫 態(tài) 電 流 穩(wěn) 態(tài) 電 流則令 ,arctan RL L ER K因 此 所 求 電 流 函 數(shù) 為解 的 意 義 : 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 二 、 伯 努 利 ( Bernoulli )方 程 伯 努 利 方 程 的
7、 標 準 形 式 : )1,0()()(dd nyxQyxPxy nny以 )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 則 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求 出 此 方 程 通 解 后 ,除 方 程 兩 邊 , 得換 回 原 變 量 即 得 伯 努 利 方 程 的 通 解 .解 法 : (線 性 方 程 ) 伯 努 利 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 4. 求 方 程 2)ln(dd yxaxyxy 的 通 解 .解 : 令 ,1 yz 則 方 程 變 形 為xaxzxz lndd 其 通 解 為 ez 將 1 yz
8、 1)ln(2 2 xaCxy xx d1 exa )ln( xx d1 Cxd 2)ln(2 xaCx 代 入 , 得 原 方 程 通 解 : 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 內 容 小 結1. 一 階 線 性 方 程 )()(dd xQyxPxy 方 法 1 先 解 齊 次 方 程 , 再 用 常 數(shù) 變 易 法 .方 法 2 用 通 解 公 式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(,1 nyu 令 化 為 線 性 方 程 求 解 .2. 伯 努 利 方 程 nyxQyxPxy )()(dd )1,0( n 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 思
9、考 與 練 習判 別 下 列 方 程 類 型 :xyyxyxyx dddd)1( )ln(lndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxy dd)2ln()5( 提 示 : xxyyy dd1 可 分 離 變 量 方 程xyxyxy lndd 齊 次 方 程221dd 2xyxxy 線 性 方 程221dd 2yxyyx 線 性 方 程2sin2dd yx xyxxy 伯 努 利方 程 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 P281 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 7 (3) , (5)
10、 作 業(yè) 第 五 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 備 用 題1. 求 一 連 續(xù) 可 導 函 數(shù) )(xf 使 其 滿 足 下 列 方 程 :ttxfxxf x d)(sin)( 0 提 示 : 令 txu uufxxf x d)(sin)( 0則 有 xxfxf cos)()( 0)0( f利 用 公 式 可 求 出 )sin(cos21)( xexxxf 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 2. 設 有 微 分 方 程 ,)(xfyy 其 中)(xf 10,2 x1,0 x試 求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件 00 xy 的 連 續(xù) 解 .解 : 1) 先 解
11、 定 解 問 題 10,2 xyy 00 xy利 用 通 解 公 式 , 得 xey d 1d d2 Cxe x )2( 1Cee xx xeC 12利 用 00 xy 得 21 C故 有 )10(22 xey x 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 2) 再 解 定 解 問 題 1,0 xyy 11 22)1( eyy x此 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 為 )1(2 xeCy x利 用 銜 接 條 件 得 )1(22 eC因 此 有 )1()1(2 xeey x3) 原 問 題 的 解 為y 10),1(2 xe x 1,)1(2 xee x 機 動 目 錄 上 頁 下
12、頁 返 回 結 束 ( 雅 各 布 第 一 伯 努 利 ) 書 中 給 出 的 伯 努 利 數(shù) 在 很 多 地 方 有 用 , 伯 努 利 (1654 1705)瑞 士 數(shù) 學 家 , 位 數(shù) 學 家 . 標 和 極 坐 標 下 的 曲 率 半 徑 公 式 , 1695年 版 了 他 的 巨 著 猜 度 術 ,上 的 一 件 大 事 , 而 伯 努 利 定 理 則 是 大 數(shù) 定 律 的 最 早 形 式 . 年 提 出 了 著 名 的 伯 努 利 方 程 , 他 家 祖 孫 三 代 出 過 十 多 1694年 他 首 次 給 出 了 直 角 坐 1713年 出 這 是 組 合 數(shù) 學 與 概 率 論 史此 外 , 他 對雙 紐 線 , 懸 鏈 線 和 對 數(shù) 螺 線 都 有 深 入 的 研 究 .
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