第05章 市場風(fēng)險：風(fēng)險價值VaR

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1、王 鵬 博士西南財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院Chapter 05 市場風(fēng)險：風(fēng)險價值VaR Copyright Wang Peng，20102/64 引言v金融機構(gòu)的投資組合價值往往取決于成百上千個市場變量。v某些用于考察某些特殊市場變量對于投資組合價值影響的度量指標(biāo)，如Delta、Gamma、Vega等，盡管這些風(fēng)險度量很重要，但并不能為金融機構(gòu)高管和監(jiān)管人員提供一個關(guān)于整體風(fēng)險的完整圖像。 Copyright Wang Peng，20103/64 引言v風(fēng)險價值VaR （Value at Risk）是試圖對金融機構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個單一風(fēng)險度量，這一度量能夠體現(xiàn)金融機構(gòu)所面臨的整體風(fēng)險。vVaR最早由

2、J. P. Morgan投資銀行提出，隨即被各大銀行、基金等金融機構(gòu)采用。 Copyright Wang Peng，20104/64 引言v目前，VaR已經(jīng)被巴塞爾委員會用來計算世界上不同地區(qū)銀行的風(fēng)險資本金，包括針對市場風(fēng)險、信用風(fēng)險和操作風(fēng)險的資本金。v本章內(nèi)容： VaR的概念 VaR的計算例子 VaR與ES VaR與資本金 VaR中的參數(shù)選擇 后驗分析（Backtesting analysis） Copyright Wang Peng，20105/64 5.1 VaR的定義vVaR：我們有X的把握，在未來T 時期內(nèi)，資產(chǎn)組合價值的損失不會大于V。vV ：資產(chǎn)組合的VaRvVaR是兩個變量

3、的函數(shù)：持有期T 和置信度X%vVaR可以由投資組合收益（Profit）的概率分布得出，也可以由投資組合損失（Loss）的概率分布得出。 Copyright Wang Peng，20106/64 5.1 VaR的定義v當(dāng)采用收益分布時，VaR等于收益分布第(100-X) %分位數(shù)的負(fù)值 Copyright Wang Peng，20107/64 5.1 VaR的定義v當(dāng)采用損失分布時，VaR等于損失分布第X% 分位數(shù)。v例：當(dāng)T =5，X =97%時，VaR對應(yīng)于投資組合在5天后收益分布的3分位數(shù)的負(fù)值，也對應(yīng)于投資組合在5天后損失分布的97分位數(shù)。 Copyright Wang Peng，20

4、108/64 5.2 VaR的計算例子vExample 1v假定一個交易組合在6個月時的收益服從正態(tài)分布，分布的均值為2（單位：百萬美元），標(biāo)準(zhǔn)差為10。v由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，收益分布的1分位數(shù)為 2-2.3310，即-21.3。v因此，對于6個月的時間期限，在99置信度下的VaR為21.3（百萬美元）。 Copyright Wang Peng，20109/64 5.2 VaR的計算例子vExample 2v假定一個1年期項目的最終結(jié)果介于5000萬美元損失和5000萬美元收益之間，中間的任意結(jié)果具有均等的可能性。v項目的最終結(jié)果服從由-5000萬美元到+5000萬美元的均勻分布，損失大于4

5、900萬美元的可能性為1。v因此，在1年后，基于99置信度的VaR為4900萬美元。 Copyright Wang Peng，201010/64 5.2 VaR的計算例子vExample 3v一個1年期項目，有98的概率收益200萬美元，1.5的概率損失400萬美元，0.5的概率損失1000萬美元。 Copyright Wang Peng，201011/64 5.2 VaR的計算例子v在這樣的累積分布下，對應(yīng)于99累積概率的損失為400萬美元。vVaR400萬美元v可以這樣描述：我們有99的把握認(rèn)為在未來1年后該項目損失不會超過400萬美元。 Copyright Wang Peng，20101

6、2/64 5.2 VaR的計算例子vExample 4v續(xù)上例，試求99.5置信度下的VaRv上圖顯示，介于400萬美元和1000萬美元中的任何損失值出現(xiàn)的可能性都不超過99.5。vVaR在這一情形下不具備唯一性v一個合理選擇：將VaR設(shè)定為這一區(qū)間的中間值，即99.5%置信度下的VaR為700萬美元。 Copyright Wang Peng，201013/64 5.3 VaR與ESv在應(yīng)用VaR時，實際上是在問“最壞的情況將會是怎樣”，這一問題是所有金融機構(gòu)高級管理任意都應(yīng)關(guān)心的問題。vVaR將資產(chǎn)組合價值對各種不同類型市場變量的敏感度壓縮成一個數(shù)字，這使管理人員的工作大為簡化。v另外，Va

7、R也比較容易進(jìn)行后驗分析（Backtesting analysis）。 Copyright Wang Peng，201014/64 5.3 VaR與ESv然而，VaR卻有會使交易員有冒更大風(fēng)險的缺陷。v例如，一家銀行限定某個交易員的投資組合在未來一天內(nèi)99的VaR額度為1000萬美元，該交易員可以構(gòu)造某一資產(chǎn)組合，該組合有99.1的可能每天的損失小于1000萬美元，但有0.9的可能損失5000萬美元。v這一組合滿足了銀行的監(jiān)管規(guī)定，但很明顯，交易員使銀行承擔(dān)了不可接受的風(fēng)險。 Copyright Wang Peng，201015/64 5.3 VaR與ESv交易員所追求的概率分布： Copyr

8、ight Wang Peng，201016/64 5.3 VaR與ESv許多交易員喜歡承擔(dān)更大的風(fēng)險，以期得到更大的收益。v某交易員：“我還從來沒有碰到過一種風(fēng)險控制系統(tǒng)會使我的交易無法進(jìn)行”。 Copyright Wang Peng，201017/64 5.3 VaR與預(yù)期損失v預(yù)期損失ESv一種比VaR更能使交易員產(chǎn)生合理交易動機的風(fēng)險測度為預(yù)期損失ES（Excepted shortfall），有時又被稱為“條件VaR”（conditional VaR）、“條件尾部期望（conditional tail expectation）”、“尾部損失”（tail loss）。vES：超過VaR的損

9、失期望值 1q qt t t t tES E r r VaR Copyright Wang Peng，201018/64 5.3 VaR與預(yù)期損失vES也是兩個變量的函數(shù)：持有期T 和置信度X。v例如，當(dāng)X 99，T 10天時，VaR6400萬美元的ES是指在10天后損失超過6400萬美元時的期望值。vES比VaR更符合風(fēng)險分散原理。 Copyright Wang Peng，201019/64 5.3 VaR與預(yù)期損失vES的缺陷：形式較為復(fù)雜且不如VaR更為直觀；較難進(jìn)行后驗分析。vES也已在監(jiān)管機構(gòu)和風(fēng)險管理人員中得到了廣泛應(yīng)用。 Copyright Wang Peng，201020/64

10、 5.4 VaR和資本金vVaR被監(jiān)管機構(gòu)用來確定資本金的持有量。v對于市場風(fēng)險，監(jiān)管機構(gòu)往往要求資本金等于在未來10天99VaR的若干倍數(shù)；v對于信用風(fēng)險和操作風(fēng)險，監(jiān)管機構(gòu)往往要求在資本金計算中，要采用1年的持有期和99.9的置信度。 Copyright Wang Peng，201021/64 5.4 VaR和資本金v對于99.9的置信度和1年時間，某個組合的VaR為5000萬美元，這意味著在極端條件下（理論上，每1000年出現(xiàn)一次），該組合在1年時間內(nèi)的損失會超過5000萬美元。v也就是說，我們有99.9的把握認(rèn)為，持有該組合的金融機構(gòu)不會在1年內(nèi)完全損失所持有的資本金。v如果要確定資本

11、金數(shù)量，VaR是最好的風(fēng)險測度選擇嗎？ Copyright Wang Peng，201022/64 5.4 VaR和資本金vArtzner等（1999）認(rèn)為，一個好的風(fēng)險測度應(yīng)該滿足：v（1）單調(diào)性（Monotonicity）：如果在任何條件下，A組合的收益均低于B組合，那么A組合的風(fēng)險測度值一定要大于B組合的風(fēng)險測度值； 含義：如果一個組合的回報總是比另一個組合差，那么第一個組合的風(fēng)險一定要高，其所需要的資本金數(shù)量更大。 Copyright Wang Peng，201023/64 5.4 VaR和資本金v（2）轉(zhuǎn)換不變性（Translation invariance）：如果在交易組合中加入K

12、 數(shù)量的現(xiàn)金，則風(fēng)險測度值必須減少K； 含義：如果在組合中加入K 數(shù)量的現(xiàn)金，則該現(xiàn)金可以為損失提供對沖，相應(yīng)的準(zhǔn)備金要求也應(yīng)該可以減少K。 Copyright Wang Peng，201024/64 5.4 VaR和資本金v（3）同質(zhì)性（Homogeneity）：如果一個資產(chǎn)組合所包含的資產(chǎn)品種和相對比例不變，但資產(chǎn)數(shù)量增至原來數(shù)量的n （n 0）倍，則新組合的風(fēng)險測度值應(yīng)該原組合風(fēng)險測度值的n倍； 含義：如果將某交易組合放大兩倍，相應(yīng)的資本金要求也應(yīng)該放大兩倍。 Copyright Wang Peng，201025/64 5.4 VaR和資本金v（4）次可加性（Sub-additivity

13、）：由兩種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的風(fēng)險測度值應(yīng)小于等于兩種資產(chǎn)各自風(fēng)險測度值之和。 含義：該條件與“不要把雞蛋放在同一個籃子里”的經(jīng)典風(fēng)險管理思想一致，即分散化投資的風(fēng)險一定要小于等于集中化投資的風(fēng)險。vVaR滿足條件（1）、（2）、（3），但并不永遠(yuǎn)滿足條件（4）。 Copyright Wang Peng，201026/64 5.4 VaR和資本金vExample 5v假定兩個獨立的貸款項目在1年內(nèi)均有2的概率損失1000萬美元，同時均有98的概率損失100萬美元，因此，任意一個單筆貸款在期限為1年、置信度為97.5下的VaR均為100萬美元。v將兩個貸款疊加產(chǎn)生一個資產(chǎn)組合，組合有0.020.

14、020.0004的概率損失2000萬美元，有20.020.980.0392的概率損失1100萬美元，有0.980.980.9604的概率損失200萬美元。 Copyright Wang Peng，201027/64 5.4 VaR和資本金v在時間期限為1年，97.5的置信度下，貸款組合的VaR為1100萬美元，單筆貸款對應(yīng)的VaR之和為200萬美元。v貸款組合的VaR比貸款VaR的總和高900萬美元v違反次可加性 Copyright Wang Peng，201028/64 5.4 VaR和資本金vExample 6v考慮兩筆期限均一年，面值均為1000萬美元的貸款，每筆貸款的違約率均為1.25

15、。v當(dāng)其中任何一筆貸款違約時，收回本金的數(shù)量不定，但回收率介于0100的可能性均等。v當(dāng)貸款沒有違約時，每筆貸款盈利均為20萬美元。 Copyright Wang Peng，201029/64 5.4 VaR和資本金v假定如果任意一筆貸款違約，那么另一筆貸款一定不會違約。v首先考慮單筆貸款，違約可能為1.25。如果發(fā)生違約，損失均勻地介于01000萬美元，這意味著損失大于零的概率為1.25；損失大于500萬的概率為0.625；損失大于1000萬的概率為零。 0 1000概率：1.25 Copyright Wang Peng，201030/64 5.4 VaR和資本金v1年期99的VaR是多少？

16、v要求99的VaR，需要找出概率為1的損失值。v設(shè)該損失值為X，有：v解得：X200。 對單筆貸款， VaR200 （萬美元）1000 1.25% 1%1000X Copyright Wang Peng，201031/64 5.4 VaR和資本金v綜合考慮兩筆貸款。v由于每筆貸款的違約概率均為1.25，且兩筆貸款不可能同時違約，所以兩筆貸款中有一筆貸款違約出現(xiàn)的概率為2.5。v違約觸發(fā)的損失介于01000萬美元的概率為均等。 Copyright Wang Peng，201032/64 5.4 VaR和資本金v貸款組合99的VaR是多少？v要求99的VaR，需要找出概率為1的損失值。v設(shè)該損失值

17、為X，有：v解得：X600（萬美元）1000 2.5% 1%1000X Copyright Wang Peng，201033/64 5.4 VaR和資本金v由于一筆貸款違約時，另外一筆貸款會盈利20萬美元，因此將這一盈利考慮在內(nèi)，可得貸款組合1年期99的VaR580萬美元。v單筆貸款的VaR之和200200400（萬美元）v這一結(jié)果再次與“貸款組合會帶來風(fēng)險分散效應(yīng)”的論斷相悖。 Copyright Wang Peng，201034/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v滿足單調(diào)性、轉(zhuǎn)換不變性、同質(zhì)性、次可加性等四個條件的風(fēng)險測度被稱為“一致性風(fēng)險測度”vVaR不是一致性風(fēng)險測度，而ES是一

18、致性風(fēng)險測度vExample 7v繼續(xù)考慮例5。每筆貸款的VaR均為100萬美元，現(xiàn)在要計算置信度為97.5的尾部期望損失。 Copyright Wang Peng，201035/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v在2.5的尾部概率中，有2的概率損失1000萬美元，有0.5的概率損失100萬美元。v因此，在2.5的尾部分布范圍內(nèi)，有80的可能損失1000萬美元，有20的可能損失100萬美元。v預(yù)期損失ES為0.8100.218.2（百萬美元） Copyright Wang Peng，201036/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v將兩個貸款項目結(jié)合到一起時，在2.5的尾部概率中，有

19、0.04的概率損失2000萬美元，有2.46的概率損失1100萬美元。v因此，在2.5的尾部分布內(nèi)，預(yù)期損失ES為(0.04/2.5) 20(2.46/2.5)11=11.144（百萬美元）v28.2 11.144，故該例中，ES滿足次可加性。 Copyright Wang Peng，201037/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v一個風(fēng)險測度可被理解為分位數(shù)的某種加權(quán)平均v就損失分布而言，VaR對第X 個分位數(shù)設(shè)定了100的權(quán)重，而對其它分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重；vES對高于X 分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定了相同的權(quán)重，但對低于X 分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重。v基于這一思想，我們可以對損失（收

20、益）分布中的所有分位數(shù)賦予不同權(quán)重，并由此定義“光譜型風(fēng)險測度”（Spectral risk measure）。 Copyright Wang Peng，201038/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v當(dāng)光譜型風(fēng)險測度對第q 個分位數(shù)的權(quán)重為q 的非遞減函數(shù)時，這一光譜型風(fēng)險測度一定滿足次可加性，進(jìn)而滿足一致性條件。vES滿足以上要求，但VaR不滿足，因為VaR對高于X %分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定的權(quán)重小于對X 分位數(shù)所設(shè)定的權(quán)重。 Copyright Wang Peng，201039/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量v研究人員提出其它風(fēng)險測度，這些風(fēng)險測度中，第q 個分位數(shù)的權(quán)重隨

21、著q 的改變而有較大的變化。v例如，使第q 個分位數(shù)所對應(yīng)的權(quán)重wq與e-(1-q)/成比例，這里的為常數(shù)，這種風(fēng)險測度被稱為指數(shù)光譜型風(fēng)險測度（exponential spectral risk measure）。例如： (1 ) 11 qq ew e Copyright Wang Peng，201040/64 5.5 滿足一致性條件的風(fēng)險度量 0.9 1.0圖5-1 權(quán)重作為分位數(shù)函數(shù)的3種情形ES 0.05 0.15權(quán)重累積概率612 Copyright Wang Peng，201041/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v計算VaR時，需要預(yù)先設(shè)定兩個參數(shù)：持有期和置信度v通常假設(shè)：（1

22、）資產(chǎn)價格變化（收益率）服從正態(tài)分布；（2）收益率的期望值為零v基于以上兩個假定：v其中，X 為置信度，為對應(yīng)于持有期內(nèi)資產(chǎn)組合的波動率（連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差），N -1( ) 為累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)（Excel命令：NORMSINV）。 1 11VaR N X N X (5-1) Copyright Wang Peng，201042/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v對任何持有期和置信度，VaR都與成正比。v假設(shè)某資產(chǎn)組合在10天持有期上的價值變化服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為2000萬美元的正態(tài)分布v10天持有期、99置信度下的VaR為：2000N -1(0.99)4653（萬美元） C

23、opyright Wang Peng，201043/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v持有期的選擇v持有期的選擇要視具體情況而定v銀行交易賬戶當(dāng)中的頭寸往往流通性較好，管理人員的交易行為也往往比較活躍，因此銀行計算每天的VaR就非常有意義。v當(dāng)VaR超出一定界限時，管理人員就需對組合進(jìn)行調(diào)整。v銀行計算較長時間的VaR沒有太大意義，因為在一個較長的時期內(nèi)，組合內(nèi)的資產(chǎn)往往會有較大變化。 Copyright Wang Peng，201044/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v對于養(yǎng)老基金投資組合，管理人員往往會選擇一個較長的持有期計算VaR。因為這類資產(chǎn)組合的交易往往不是太活躍，而且資產(chǎn)的流動性

24、不太好。v這類資產(chǎn)組合的VaR往往每個月計算一次。v對于任何投資組合，往往首先需要計算未來1天的VaR，然后采用以下公式計算未來T 天的VaR： T days 1 dayVaR VaR T (5-2) Copyright Wang Peng，201045/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v上式的正確性建立在 （1）資產(chǎn)價格的每天變化均獨立 （2）價格變化服從正態(tài)分布 （3）期望值為零 的基礎(chǔ)上。v如果以上條件不符合，(5-2)式就只是一個近似式。 Copyright Wang Peng，201046/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v自相關(guān)性的影響v實際上，資產(chǎn)價格每天的變化之間并非完全相互獨

25、立v將資產(chǎn)組合第i天的價格變化定義為Pi，假設(shè)Pi與Pi-1的相關(guān)系數(shù)為，對于任意i ， Pi的方差均為2，則Pi+Pi-1的標(biāo)準(zhǔn)差為： 2 2 22 Copyright Wang Peng，201047/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇v同理，可以計算T 天內(nèi)的價格變化的標(biāo)準(zhǔn)差：v由上式可以看出，當(dāng)價格變化存在自相關(guān)性時，式(5-2)將會低估VaR。 2 1 1 2 1 2 2 2T Tiistd P T T T Copyright Wang Peng，201048/64 5.6 VaR中的參數(shù)選擇T=1 T=2 T=5 T=10 T=50 T=2500 1.0 1.41 2.24 3.16

26、 7.07 15.810.05 1.0 1.45 2.33 3.31 7.43 16.620.1 1.0 1.48 2.42 3.46 7.80 17.47 0.2 1.0 1.55 2.62 3.79 8.62 19.35表5-1 當(dāng)存在一階自相關(guān)性時T天VaR與1天VaR的比率 Copyright Wang Peng，201049/64 5.7 后驗分析v將VaR與實際損失進(jìn)行對照的過程，稱為后驗分析（backtesting analysis）。v如果我們計算了持有期為1天、置信度為99的VaR，則首先要找出組合每天的損失中有多少次超過了這一VaR值，并將超過的情形稱為exception。

27、v如果exception出現(xiàn)的天數(shù)占整體天數(shù)的1左右，則說明VaR計算模型表現(xiàn)良好。 Copyright Wang Peng，201050/64 5.7 后驗分析v如果exception的比例較大，說明VaR值偏低，而這將導(dǎo)致資本金數(shù)量偏低。v如果exception的比例較小，說明VaR值偏高，而這將導(dǎo)致資本金數(shù)量偏高。v一般的，如果VaR的持有期為1天，置信度為X%，如果VaR模型準(zhǔn)確無誤，則損失超出VaR的概率應(yīng)為p=1-X%v假定共有n個觀察日，其中有m天的損失超出VaR Copyright Wang Peng，201051/64 5.7 后驗分析v假定m/n p，說明VaR估計偏低，但

28、我們是否應(yīng)該拒絕這一VaR計算模型？v正式的統(tǒng)計檢驗：vH0：對于任意一天，exception發(fā)生的概率為pvH1：對于任意一天，exception發(fā)生的概率大于pv損失超過VaR的天數(shù)大于等于m的概率為： knknmk ppknk n )1()!(! ! (5-3) Copyright Wang Peng，201052/64 5.7 后驗分析v假設(shè)該檢驗所選定的檢驗水平為5v如果由式(5-3)所計算的概率小于5，則可以拒絕H0，即可以認(rèn)為exception發(fā)生的概率大于p，從而拒絕該VaR計算模型。v反之不能拒絕。 Copyright Wang Peng，201053/64 5.7 后驗分析

29、vExamplev采用600天的數(shù)據(jù)來計算VaR，置信度為99%，在600天中共發(fā)現(xiàn)了9個exception。vException期望發(fā)生次數(shù)為6，是否該拒絕這一VaR計算模型？v計算大于等于9個exception發(fā)生概率的Excel命令：1BINOMDIST(8, 600, 0.01, TRUE)=0.152 Copyright Wang Peng，201054/64 5.7 后驗分析v如果采用5的檢驗水平，則不應(yīng)該拒絕該模型。v假如我們發(fā)現(xiàn)exception的次數(shù)為12，則可計算出exception大于等于12的概率為0.020，若再采用5的檢驗水平，就應(yīng)該拒絕該模型。v實際上，若采用5的

30、檢驗水平，當(dāng)exception次數(shù)超出11次時，就應(yīng)該拒絕該VaR計算模型。 Copyright Wang Peng，201055/64 5.7 后驗分析v當(dāng)exception的個數(shù)m小于理論值時，可以將式(5-3)改為：v其它步驟與m大于理論值的情況相同knkmk ppknk n )1()!(! !0 (5-4) Copyright Wang Peng，201056/64 5.7 后驗分析v上述檢驗均為單尾檢驗，Kupiec提出雙尾檢驗：v變量：v服從自由度為1的卡方分布，即2(1)v當(dāng)基于實際數(shù)據(jù)的式(5-4)值大于給定置信度的 2(1)分布的理論值時，可以拒絕該VaR模型。 2ln 1

31、2ln 1n m n m mmp p m n m n (5-4) Copyright Wang Peng，201057/64 5.7 后驗分析v獨立性檢驗v當(dāng)投資組合每天的價格變化獨立，那么exception的發(fā)生應(yīng)該比較均勻地分布在樣本區(qū)間內(nèi)。v現(xiàn)實中，exception的發(fā)生往往聚集在一起vChristofferson（1998）提出了檢驗VaR獨立性的方法 Copyright Wang Peng，201058/64 5.7 后驗分析vChristofferson獨立性檢驗v狀態(tài)0：某一天沒有exception發(fā)生v狀態(tài)1：某一天 有 exception 發(fā)生vu ij：在某天我們處于狀態(tài)

32、i且在第二天處于狀態(tài)j的次數(shù) Copyright Wang Peng，201059/64 5.7 后驗分析v定義統(tǒng)計量C：v其中： 0000 10 10 01 11 01 1101 01 11 112ln 1 2ln 1 1uu u uu u uu 01 11 00 01 10 11u uu u u u 0101 00 01uu u 1111 10 11uu u (5-5) Copyright Wang Peng，201060/64 5.7 后驗分析v當(dāng)組合價格的每天變化都獨立時，統(tǒng)計量C服從自由度為1的卡方分布。v當(dāng)基于實際數(shù)據(jù)的式(5-5)值大于給定檢驗水平的2(1)分布的理論值時，可以拒絕價格變化獨立的原假設(shè)。 王 鵬 博士西南財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院