土木工程制圖第四章,直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,教學(xué)提示：,在空間中，直線與平面之間和兩平面之間的相對位置可分為,平行、相交,及,垂直3,種情況。,學(xué)習(xí)要求：,掌握直線與平面之間和兩平面之間3種相對位置關(guān)系的判定條件以及求其交點、交線的作法。,第四章 直線與平面、平面 與平面的相對位置,4.1 直線與平面、平面與平面平行,直線,L,與,P,平面內(nèi)的直線,AB,平行，則,L,平行于平面,P,。反之，如果直線,L,平行于,P,平面，則在平面,P,可以找到與直線,L,平行的直線。,檢查一平面是否平行于一已知直線，只要看能否在該面上作一直線與已知直線平行。,一、

2、直線與一般平面平行,【例1】過,C,點作平面平行于已知直線,AB,。,【分析】如圖所示，過,C,點作,CD,/,AB,，即,cd,/ab,cd,/,a,b,，再過點,C,任作一直線,CE,，即,ce,，,ce,，則,CD、CE,相交決定的平面為所求。,a,b,c,c,a,b,X,O,O,X,b,a,c,c,b,a,d,e,e,d,二、直線與投影面垂直面平行,直線和投影面垂直面平行，則該直線的同面投影與該投影面垂,直面的積聚投影平行。,【例2】過,E,點作直線平行于平面ABCD,。,【分析】過,e,作,ef/ad,，過,f,向上作連系線，則過,e,與連系線相交的直線都為所求，此處我們?nèi)∑渲幸粭l，

3、即過,e,作,cd,的平行線，與連系線相交于一點即為,f。,b,a,c,d,a,d,c,b,e,b,a,c,d,a,d,c,b,e,f,e,e,f,O,X,O,X,三、兩一般平面相互平行,若一個平面上的一對相交直線，分別與另一個平面上的一相交直線互相平行，則這兩個平面互相平行。,【例3】已知,A,點和,DEF,，過,A,作一平面平行于,DEF,。,【分析】如圖4.6（,b,）所示，過,A,點作兩條直線,AB,和,AC,，使,AB,/,DE,AC,/,DF,即,a,b/,de,，,ab,/,de,ac,/,df,ac,/,d f,，則,AC,和,AB,所決定的平面即為所求。,X,O,O,X,a,

4、d,e,f,b,c,c,b,a,d,e,f,f,e,d,f,e,d,a,a,四、兩投影面垂直面相互平行,當(dāng)兩個投影面垂直面,P,與,Q,相互平行時，它們的積聚投影，即它們與該投影面的交線，也相互平行。,【例4】過線段,AB,作平面平行于平面,CDE,。,【分析】由已知可得，,CDE,為鉛垂面，且,ab/cde,，過,a,作,am/cd,連 接,bm,，則,AMB,即為所求。,a,b,b,a,c,c,d,d,e,e,a,b,b,a,c,c,d,d,e,e,m,m,X,O,X,O,一、直線和一般平面垂直,4.2 直線與平面、平面與平面垂直,直線與平面垂直的幾何條件是：,若直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直

5、線，則該直線與平面垂直。,反之，若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。,注意：,在投影圖上作平面的垂線時，可作出,平面上的正平線和水平線,作為面上的相交二直線。,根據(jù)兩直線垂直的直角投影特性可知，所作垂線與正平線所夾的直角，在,V,面投影仍反映為直角。垂線與水平線所夾的直角，在H面投影仍反映為直角,。,【例5】如圖4.10（,a,）所示，過,E,點作平面,Q,的垂線。,【分析】,如圖4.10（,b,）所示，要過,E,作平面,Q,的垂線，可先作出,Q,平面上正平線,AB,和水平線,CD,的兩面投影,ab,，,cd,，,ab,，,cd,；,過,e,，,e,分別垂作,eh,cd,，,eh

6、,a,b,，,EH,即為所求垂線。,e,e,q,q,e,b,a,d,c,c,d,a,b,e,h,h,q,q,二、直線和投影面垂直面垂直,直線垂直于投影面垂直面時，它必然是一條投影面平行線，平行于該平面所垂直的投影面，該面的積聚投影與該垂線的同面投影相互垂直。,【例6】過,E,點作平面,ABCD,的垂線。,【分析】如圖所示，平面,ABCD,為鉛垂面，在,H,面積聚為一條線段，要作鉛垂面的垂線，只需作出其,H,面投影的垂線即可。與鉛垂面垂直的直線均為水平線，因此，所求垂線的,V,面投影一定為平行于,OX,軸直線。,b,a,c,d,a,d,c,e,e,b,作圖步驟：,過,e,點作,em,ad,，則,

7、em,即為所求垂線的,H,面投影。過,e,作,OX,軸的平行 線，過,m,向上作連系線，兩者交于一點,m,，則,em,即為所求垂線的,V,面投影。,b,a,c,d,a,d,c,b,e,m,e,m,【例7】作正垂面垂直于正平線,CD,。,【分析】,要作正垂面垂直于正平線，只需在,V,投影面作,cd,的垂線，在此垂線上我們 定點,a、b、m,，向下作連系線，可確定平面,ABM,即為所求正垂面。,d,c,d,c,d,c,d,c,a,m,b,a,b,m,三、,兩平面相互垂直,兩平面垂直的幾何條件是：若一平面上有一直線與另一平面垂直，則兩平面相互垂直。如圖所示，因,P,平面中一條直線,L,垂直于平面,Q

8、,則,P,Q,。,在特殊情況下，當(dāng)兩平面都是同一投影面的垂直面時，則兩平面的垂直關(guān)系可直接在兩平面的積聚投影中表現(xiàn)出來。,【例8】過點,A,作平面,ABC,垂直于,DEF,且平行于,MN,。,【分析】,作平面垂直于已知平面時，需先作一直線垂直于已知平面，然后包含所作垂線作平面即可。因又要求平面平行于直線,MN,，故作另一直線平行于,MN,即可,。,d,e,f,d,e,a,c,k,m,n,g,h,g,h,X,a,c,f,k,m,n,o,作圖步驟：,過,A,點作直線垂直于,DEF,。先在,DEF,內(nèi)作水平線,DG,和正平線,EH,，然后過,A,作直線,AK,與水平線和正平線垂直，即,ak,fg,，

9、,ak,dh,。則,AK,即與,DEF,垂直。,包含,AB,作平面平行于,MN,。即作一直線,AC,，使,ac,/,mn,ac,/,mn,則直線,AK,與,AC,所組成的平面平行于直線,MN,。,4.3,直線與平面、平面與平面相交,直線與平面相交于一點，該點稱為,交點,，,交點是平面與直線的共有點，它既在直線上又在平面上。,平面與平面相交于一條直線，該直線稱為,交線,，,交線是兩平面的共有線，它應(yīng)同屬于兩平面。,直線與平面、平面與平面相交的求解方法一般有兩種。,（1）,積聚投影法,：當(dāng)直線或平面有積聚投影時，可利用積聚投影來求交點或交線。,（2）,輔助面投影法,：當(dāng)直線或平面均無積聚投影時，可

10、利用輔助平面來求交點或交線。交點、交線是互相聯(lián)系的，為敘述方便起見，先介紹幾種特殊情況，然后再討論一般的作圖方法。,一、一般位置直線與特殊位置平面相交,由于平面處于特殊位置時，其某一投影具有積聚性因此可利用其積聚投影來求交點，并判別可見性。,如圖所示，一般線,AB,與鉛垂面,P,相交，交點,K,既在,AB,上又在,P,平面上。,【,例9,】求直線,AB,與平面,P,的交點,K,，并判別可見性。,b,a,p,X,O,p,a,b,【分析】平面,P,為鉛垂面，因此直線,AB,與平面,P,的交點的投影必在平面,P,的,H,面積聚線段上，又因為交點是兩者的公共點，所以,p,與,ab,的交點,k,既為所求

11、交點的,H,面投影，由此作連系線，再與,ab,交得,k,。,X,O,p,a,p,a,b,b,1,2,k,1(2),k,作圖步驟：,1、判斷交點的H面投影位置。,2、作出交點的V面投影。,3、判斷交點兩側(cè)直線的可見性。,（1）可見部分與不可見部分的分界點為交點,K,，從水平投影中可以看出，在,k,點的右邊，,ab,在,p,的前面，因此,k,的右邊,ka,為可見，左邊,kb,為不可見。,（2）也可用重影點來判斷，即取,AB,與平面,P,邊線的重影點,1,（2,），,其在,H,面上的投影1在2的前方，故由前向后看，2點不可見，其所在的直線段2,k,不可見，因而2,k,畫為虛線。）,二、投影面垂直線與

12、一般位置平面相交,由于直線具有積聚性，因此可利用其積聚投影來求交點，并判別可見性。,如圖所示，鉛垂線,AB,與平面,CDE,相交，交點,K,既在,AB,上又在,CDE,平面上。,【例10】求直線,AB,與,CDE,的交點,K,，并判別可見性。,b,k,c,e,d,e,d,c,a,O,X,1,3,2,2(3),k,1,作圖步驟：,（1）求交點,因直線,AB,在,H,面積聚成一點，則交點,k,必在其上，且交點,K,又在,CDE,上，可根據(jù)平面上取點的方法作輔助線,D,I,然后求出,k,。,（2）判斷可見性,取交叉兩直線的重影點II、III，從,H,面可知，2在前，3在后，在,V,投影面上為2（3）

13、。因II在,CDE,上，而III在直線,AB,上，故,kb,不可見，應(yīng)畫虛線。,三、兩特殊位置平面相交,當(dāng)兩平面均垂直于某投影面時，它們的交線也垂直于該投影面。可利用兩平面的積聚投影求交線，并判別可見性。,【例11】求,ABC,與平面,P,的交線,MN,，并判別可見性。,p,a,c,p,b,c,a,O,X,1,2,m(n),1(2),n,m,作圖步驟：,（1）求交點,如圖所示，因,ABC,與平面,P,均垂直于,H,面，故交線必為鉛垂線，且積聚于一點,m(n),，然后作出此交線的,V,面投影,mn,，它的長度僅為兩平面在,V,面的,共有部分,。,（2）判斷可見性,在,V,面投影中，取交叉兩直線的

14、任一重影點I、II，判斷可見性1（2），從,H,面可知，1在前，2在后，因1在,ABC,上,而2在平面,P,上，故,an,可見為實線。這時交線,mn,為可見與不可見的分界線。,四、一般位置平面與特殊位置平面相交,一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性投影,求交線，并判斷可見性。,鉛垂面,P,與,ABC,相交，由于,P,面的,H,面投影積聚為,p,，交線,MN,的,H,投影,mn,在,p,上；交線,MN,既在,ABC,上又在平面,P,上。利用平面的積聚投影求交線，并判別可見性。,【例12】求,ABC,與平面,P,的交線,MN,，并判別可見性。,1,2,m,n,m,n,1(2)

15、,作圖步驟：,如圖所示，因平面,P,垂直,H,面，故交線,mn,必在,p,上，為,abc,與,p,的公共部分，交點為,mn,利用交線,MN,在,ABC,上，由,mn,求,mn,。利用,V,面的重影點1（2）來判別可見性。,m,1(2),m,n,b,a,c,p,a,c,p,b,n,1,2,X,O,五、一般位置直線與一般位置平面相交,直線與一般位置平面相交。由于一般位置直線、平面的投影沒有積聚性，因此，在投影圖中不能直接求出它們的交點。,直線,AB,與平面,CDE,相交，由于交點,K,是平面與直線的共有點，故過,K,點可在平面,CDE,內(nèi)任作一直線,MN,，直線,MN,與已知直線,AB,可構(gòu)成一個

16、輔助平面,R,，而,MN,就是輔助平面與已知平面的交線。,MN,與直線,AB,的交點,K,即為已知直線與平面的交點。,由此可得出利用輔助平面求一般位置的直線與平面交點的作圖方法：,(1)包含,AB,直線作一輔助平面,R,;,(2)求輔助平面,R,與己知平面,CDE,的交線,MN,；,(3)求,AB,直線與交線,MN,的交點,K,。,【例13】已知直線,DE,和,ABC,的兩投影，試求,DE,和,ABC,的交點。,作圖步驟：,過,DE,作鉛垂面,P,?？稍谕队皥D上延長,de,，加上標(biāo)記,P,H,。,求,P,和,ABC,的交線,FG,fg,和,f,g,即為交線的兩面投影。,f,g,與,d,e,相交于點,k,，從,k,引鉛直連線與,de,相交于,k,，則,k、k,即為所求交點的兩面投影。,判別可見性,整理如圖。,六、,一般位置平面與一般位置平面相交,兩一般位置平面相交。求兩一般位置平面的交線時，可選其中一個平面內(nèi)的任一直線，求出它與另一平面的交點，即得交線上的一個點。用同樣方法求出另一個點，兩點連線即為兩平面的交線。,【例14】求兩一般位置平面,ABC,與,DEF,的交線。,e,f,d,c,