7.1平面向量的概念及線性運算

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1、【課題】7.1 平面向量的概念及線性運算【教學(xué)目標(biāo)】知識目標(biāo)：（1）了解向量的概念；（2）理解平面向量的線性運算；（3）了解共線向量的充要條件能力目標(biāo)：（1）能將生活中的一些簡單問題抽象為向量問題；（2）正確進行平面向量的線性運算，并作出相應(yīng)的圖形；（3）應(yīng)用共線向量的充要條件判斷兩個向量是否共線；（4）通過相關(guān)問題的解決，培養(yǎng)計算技能和數(shù)學(xué)思維能力情感目標(biāo)：（1）經(jīng)歷利用有向線段研究向量的過程，發(fā)展“數(shù)形結(jié)合”的思維習(xí)慣（2）經(jīng)歷合作學(xué)習(xí)的過程，樹立團隊合作意識【教學(xué)重點】向量的線性運算 【教學(xué)難點】已知兩個向量，求這兩個向量的差向量以及非零向量平行的充要條件【教學(xué)設(shè)計】從“不同方向的力作用

2、于小車，產(chǎn)生運動的效果不同”的實際問題引入概念向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向教材中用有向線段來直觀的表示向量，有向線段的長度叫做向量的模，有向線段的方向表示向量的方向數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，記號“ab”沒有意義，而“ab”才是有意義的.教材通過生活實例，借助于位移來引入向量的加法運算向量的加法有三角形法則與平行四邊形法則.向量的減法是在負(fù)向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法來定義的.即a-b=a+(-b)，它可以通過幾何作圖的方法得到，即a-b可表示為從向量b 的終點指向向量a的終點的向量.作向量減法時，必須將兩個向量平移至同一起點.實數(shù)乘以非零向量a，是數(shù)

3、乘運算，其結(jié)果記作，它是一個向量，其方向與向量a相同，其模為的倍由此得到對向量共線的充要條件，要特別注意“非零向量a、b”與“ ”等條件.【教學(xué)備品】教學(xué)課件【課時安排】2課時【教學(xué)過程】教 學(xué) 過 程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時間*揭示課題7.1 平面向量的概念及線性運算*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入如圖71所示，用100N的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎？ 圖71介紹播放課件引導(dǎo)分析了解觀看課件思考自我分析從實例出發(fā)使學(xué)生自然的走向知識點03*動腦思考 探索新知【新知識】在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等既有大小，又有方向的量叫

4、做向量（矢量），例如力、速度、位移等我們經(jīng)常用箭頭來表示方向，帶有方向的線段叫做有向線段通常使用有向線段來表示向量線段箭頭的指向表示向量的方向，線段的長度表示向量的大小如圖7-2所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點以A為起點，B為終點的向量記作也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應(yīng)在字母上面加箭頭，記作 aAB 圖72平面內(nèi)的有向線段表示的向量稱為平面向量向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次記作，模為零的向量叫做零向量記作0，零向量的方向是不確定的模為1的向量叫做單位向量總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生分析引導(dǎo)式啟發(fā)學(xué)生

5、得出結(jié)果10*鞏固知識 典型例題例1 一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機從A處朝北偏東45方向飛行200km， 兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移解 位移是向量雖然這兩個向量的模相等，但是它們的方向不同，所以兩架飛機的位移不相同兩架飛機位移的有向線段表示分別為圖7-3中的有向線段a 與babA 圖7-3說明強調(diào)引領(lǐng)講解說明強調(diào)含義觀察思考主動求解通過例題進一步領(lǐng)會13*運用知識 強化練習(xí) KTK圖74ABCDEFHGMNQPLZ說出下圖中各向量的模，并指出其中的單位向量 (小方格為1) 提問巡視指導(dǎo)思考口答及時了解學(xué)生知識掌握得情況18*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入觀

6、察圖74中的向量與，它們所在的直線平行，兩個向量的方向相同；向量與所在的直線平行，兩個向量的方向相反播放課件質(zhì)疑引導(dǎo)分析觀看課件自我分析從實例出發(fā)使學(xué)生自然的走向知識點20*動腦思考 探索新知【新知識】方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量向量與向量b平行記作/b規(guī)定：零向量與任何一個向量平行由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量【想一想】圖74中，哪些向量是共線向量？ 總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)23*動腦思考 探索新知【新知識】圖74中的平行向量與，方向相同，模相等；平行向量與，方向相反，模相等我們所研究的向量只有

7、大小與方向兩個要素當(dāng)向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a = b 也就是說，向量可以在平面內(nèi)任意平移，具有這種性質(zhì)的向量叫做自由向量與非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的負(fù)向量，記作規(guī)定：零向量的負(fù)向量仍為零向量顯然，在圖74中，= ，= 總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶思考?xì)w納理解記憶28*鞏固知識 典型例題例2 在平行四邊形ABCD中（圖75），O為對角線交點ADCB圖75O（1）找出與向量相等的向量；（2）找出向量的負(fù)向量；（3）找出與向量平行的向量分析 要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進行分析兩個向量相等，它們必須是方向相同，模相等；兩個向量互為

8、負(fù)向量，它們必須是方向相反，模相等；兩個平行向量的方向相同或相反解 由平行四邊形的性質(zhì)，得（1）=；（2）=,；（3）/,/，/說明強調(diào)引領(lǐng)講解說明引領(lǐng)強調(diào)含義說明觀察思考主動求解觀察思考求解領(lǐng)會思考求解通過例題進一步領(lǐng)注意觀察學(xué)生是否理解知識點反復(fù)強調(diào)+33*運用知識 強化練習(xí) 1 如圖，ABC中，D、E、F分別是三邊的中點，試寫出（1）與相等的向量；（2）與共線的向量FADBEC（練習(xí)題111第2題圖）第1題圖EFABCDO（圖18）第2題圖2如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心，試寫出（1）與相等的向量； （2）的負(fù)向量； （3）與共線的向量啟發(fā)引導(dǎo)提問巡視指導(dǎo)思考了解動手求解可以交給

9、學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)歸納38*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500 m到達(dá)超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60角方向行走200 m到達(dá)學(xué)校（C處）（如圖76）王濤同學(xué)這兩次位移的總效果是從家（A處）到達(dá)了學(xué)校（C處） ABC圖76500m200m播放課件質(zhì)疑引導(dǎo)分析觀看課件自我分析從實例出發(fā)使學(xué)生自然的走向知識點42*動腦思考 探索新知位移叫做位移與位移的和，記作=+圖77ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A(如圖76)，依次作=a, =b，則向量叫做向量a與向量b的和，記作ab ，即 ab = （71）求向量的和的運算叫做向量的加

10、法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則觀察圖77可以看到：依照三角形法則進行向量a與向量b的加法運算，運算的結(jié)果仍然是向量，叫做a與b的和向量其和向量的起點是向量a的起點，終點是向量b 的終點【做一做】給出兩個不共線的向量a和b，畫出它們的和向量【想一想】（1）ab與ba相等嗎？請畫出圖來說明（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)50*動腦思考 探索新知如圖79所示， ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得圖79ADCB=這說明，在平行四邊形ABCD中， 所表示的向量就是與的和這種求和方法叫做向量加法的平行四

11、邊形法則平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：（1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba；（3）（ab） c = a （bc）總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)55*鞏固知識 典型例題例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5 km/h，求該船的實際航行速度ABDC圖710解 如圖710所示，表示船速，為水流速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然=13又，利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線(水流方向)的夾角約*例4 用兩條同樣的繩子掛一個物

12、體（圖711）設(shè)物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小分析 由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是，所以解決問題不考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以.解 利用平行四邊形法則，可以得到F1F2k圖711，所以 【想一想】根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(如圖712)，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？ 圖7-12說明強調(diào)引領(lǐng)講解說明引領(lǐng)分析講解說明觀察思考主動求解觀察思考求解領(lǐng)會思考求解注意觀察學(xué)生是否理解知識點反復(fù)強調(diào)62*運用知識 強化練習(xí)練習(xí)7.1.21 如圖，已知a，b，求ab（圖115）bbaa（1） （2）第1題圖2填空（向量如圖所

13、示）：（1）ab =_ ,（2）bc =_ ,（3）abc =_ 3計算： （1）； （2）啟發(fā)引導(dǎo)提問巡視指導(dǎo)思考了解動手求解可以交給學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)歸納65*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入在進行數(shù)學(xué)運算的時候，減去一個數(shù)可以看作加上這個數(shù)的相反數(shù)質(zhì)疑引導(dǎo)分析思考參與分析引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考66*動腦思考 探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差即a b = a(b)設(shè)a，b ，則即 = （72）觀察圖713可以得到：起點相同的兩個向量a、 b，其差ab仍然是一個向量，叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點 aAa-bBbO圖713總結(jié)歸納仔

14、細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)68*鞏固知識 典型例題例5 已知如圖714（1）所示向量a 、b ，請畫出向量abBbOaAba（1）（2）圖714解 如圖714（2）所示，以平面上任一點O為起點，作=a，=b，連接BA，則向量為所求的差向量，即= ab 【想一想】 當(dāng)a與 b共線時，如何畫出ab 強調(diào)含義說明思考求解領(lǐng)會思考求解注意觀察學(xué)生是否理解知識點70*運用知識 強化練習(xí)1填空：（1）=_，（2）=_，（3）=_2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)= a,= b，試用a, b表示向量、啟發(fā)引導(dǎo)提問巡視指導(dǎo)思考了解動手求解可以交給學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)歸納72*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入觀察

15、圖715可以看出，向量與向量a共線，并且3aaaaaOABC圖715質(zhì)疑引導(dǎo)分析思考參與分析引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考74*動腦思考 探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為 （73）若0，則當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有 （74）一般地，有 0a= 0, 0 = 0 數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于任意向量a, b及任意實數(shù)，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：【做一做】請畫出圖形來，分別驗證這些法則向量加法及數(shù)乘運算在形式上與實數(shù)的有關(guān)運算規(guī)律相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同

16、類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運算中但是，要注意向量的運算與數(shù)的運算的意義是不同的總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語思考?xì)w納理解記憶理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生分析引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論78*鞏固知識 典型例題例6 在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖716，a ，b，試用a, b表示向量、分析 因為,，所以需要首先分別求出向量與.圖716解 ab,b a，因為O分別為AC，BD的中點，所以（ab）ab，（b a）a+b例6中，ab和a+b都叫做向量a，b的線性組合，或者說，、可以用向量a，b線性表示一般地，ab叫做a, b的一個線性組合（其中,均為系數(shù)）如果l a b，則稱l可以用a，b線性表示 向量的

17、加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算 強調(diào)含義說明思考求解領(lǐng)會思考求解注意觀察學(xué)生是否理解知識點81*運用知識 強化練習(xí)1 計算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）2設(shè)a, b不共線，求作有向線段，使（ab）3. 在正方形ABCD中，。（1）用、表示向量；（2）用、表示向量。啟發(fā)引導(dǎo)提問巡視指導(dǎo)思考了解動手求解可以交給學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)歸納83*理論升華 整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：向量、向量的模、向量相等是如何定義的？結(jié)論：當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次記作，

18、a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a = b 質(zhì)疑歸納強調(diào)回答及時了解學(xué)生知識掌握情況85*歸納小結(jié) 強化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點和難點各是什么？引導(dǎo)回憶*自我反思 目標(biāo)檢測 本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？計算： （1）； （2）提問巡視指導(dǎo)反思動手求解檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果88*繼續(xù)探索 活動探究(1)讀書部分：教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題71 A組（必做）；71 B組（選做）(3)實踐調(diào)查：試著用向量的觀點解釋生活中的一些問題說明記錄分層次要求90【教學(xué)反思】項目反思學(xué)生知識、技能的掌握情況學(xué)生是否真正理解有關(guān)知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學(xué)生的情感態(tài)度學(xué)生是否參與有關(guān)活動；在數(shù)學(xué)活動中，是否認(rèn)真、積極、自信；遇到困難時，是否愿意通過自己的努力加以克服；學(xué)生思維情況學(xué)生是否積極思考；思維是否有條理、靈活；是否能提出新的想法；是否自覺地進行反思；學(xué)生合作交流的情況學(xué)生是否善于與人合作；在交流中，是否積極表達(dá)；是否善于傾聽別人的意見；學(xué)生實踐的情況學(xué)生是否愿意開展實踐；能否根據(jù)問題合理地進行實踐；在實踐中能否積極思考；能否有意識的反思實踐過程的方面；第7章 平面向量（教案）