高中數學 第二章 基本初等函數Ⅰ2.1 指數函數 2.1.2 指數函數及其性質 第2課時 指數函數及其性質的應用學案 新人教A版必修1

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1、 第2課時　指數函數及其性質的應用 學習目標：1.掌握指數函數的性質并會應用，能利用指數函數的單調性比較冪的大小及解不等式．(重點)2.通過本節(jié)內容的學習，進一步體會函數圖象是研究函數的重要工具，并能運用指數函數研究一些實際問題．(難點) [合 作 探 究攻 重 難] 利用指數函數的單調性比較大小 　比較下列各組數的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1). 【導學號：37102243】 [解]　(1)1.52.5,1.53.2可看作

2、函數y＝1.5x的兩個函數值，由于底數1.5>1，所以函數y＝1.5x在R上是增函數，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函數y＝0.6x的兩個函數值， 因為函數y＝0.6x在R上是減函數， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指數函數性質得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1. (4)當a>1時，y＝ax在R上是增函數，故a1.1>a0.3； 當0

3、的方法 (1)同底數冪比較大小時構造指數函數，根據其單調性比較. (2)指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數圖象，當x取相同冪指數時可觀察出函數值的大小. (3)底數、指數都不相同時，取與其中一底數相同與另一指數相同的冪與兩數比較，或借助“1”與兩數比較. (4)當底數含參數時，要按底數a>1和0

4、x的圖象，再分別取x＝，x＝，比較對應函數值的大小，如圖)， 故有3<<<2. 利用指數函數的單調性解不等式 　(1)解不等式3x－1≤2； (2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范圍. 【導學號：37102244】 [解]　(1)∵2＝－1，∴原不等式可以轉化為3x－1≤－1. ∵y＝x在R上是減函數， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情況討論： ①當00，a≠1)在R上是減函數， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根據相應二次函數

5、的圖象可得x<－1或x>5； ②當a>1時，函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函數， ∴x2－3x＋15；當a>1時，－15－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍． [解]　因為ax＋1>5－3x，所以ax＋1>a3x－5， 當a>1時，y＝ax為增函數，可得x＋1>3x－5，所以x<3； 當03. 綜上，當a>1時

6、，x的取值范圍為(－∞，3)；當00，且a≠1)的單調性與y＝－x2的單調性存在怎樣的關系？ 提示：分兩類：(1)當a>1時，函數y＝a－x2的單調性與y＝－x2的單調性一致； (2)當0

7、y＝a－x2的單調性與y＝－x2的單調性相反． 　判斷f(x)＝x2－2x的單調性，并求其值域. 【導學號：37102245】 思路探究：―→―→ [解]　令u＝x2－2x，則原函數變?yōu)閥＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上遞減， ∴y＝x2－2x在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)， ∴0

8、 [解]　函數y＝2－x2＋2x的定義域是R. 令u＝－x2＋2x，則y＝2u. 當x∈(－∞，1]時，函數u＝－x2＋2x為增函數，函數y＝2u是增函數， 所以函數y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數． 當x∈[1，＋∞)時，函數u＝－x2＋2x為減函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是減函數． 綜上，函數y＝2－x2＋2x的單調減區(qū)間是[1，＋∞)，單調增區(qū)間是(－∞，1]． 2．把本例函數改為“f(x)＝ax2－2x，且f(x)有最大值9”，求a的值． [解]　令g(x)＝ax2－2x，則f(x)＝g(x)， 由于f(x)的最大值為

9、9，所以g(x)的最小值為－2. ①當a＝0時，f(x)＝－2x，無最大值． ②當a≠0時，由題意可知 解得a＝， 所以，當f(x)的最大值為9時，a的值為. [規(guī)律方法]　函數y＝af(x)(a>0，a≠1)的單調性的處理技巧 (1)關于指數型函數y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0

10、達 標固 雙 基] 1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函數， ∴x＋1<0，∴x<－1.] 2．下列判斷正確的是(　　) 【導學號：37102246】 A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 D　[∵y＝0.9x在定義域上是減函數，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.] 3．函數y＝1－x的單調增區(qū)間為(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(1，

11、＋∞) D．(0,1) A　[令u(x)＝1－x，則u(x)在R上是減函數，又y＝u(x)是減函數，故y＝1－x在R上單調遞增，故選A.] 4．已知a＝，函數f(x)＝ax，若實數m，n滿足f(m)>f(n)，則m，n的大小關系為________. 【導學號：37102247】 mf(n)，∴m0且a≠1)的圖象經過點. (1)比較f(2)與f(b2＋2)的大??； (2)求函數g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域． [解]　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因為f(x)＝x在R上遞減，則2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)． (2)因為x≥0，所以x2－2x≥－1，所以x2－2x≤3， 即函數g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域為(0,3]． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375