高考數學大一輪復習 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第四節(jié) 數系的擴充與復數的引入教師用書 理

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1、第四節(jié)數系的擴充與復數的引入2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.理解復數的基本概念；2.理解復數相等的充要條件；3.了解復數的代數表示法及其幾何意義；4.會進行復數代數形式的四則運算；5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。2016，全國卷，2,5分(復數的四則運算)2016，全國卷，1,5分(復數的幾何意義)2016，全國卷，2,5分(復數的四則運算)2015，全國卷，1,5分(復數的乘除，模)2015，全國卷，2,5分(復數的乘法，相等)每年平均有一個小題，難度較低，重點考查復數的代數形式的四則運算(特別是乘、除法)，也涉及復數的概念及幾何意義等知識。微知識小題練自|主|排

2、|查1復數的有關概念(1)復數的概念：形如abi(a，bR)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b0，則abi為實數；若b0，則abi為虛數；若a0，且b0，則abi為純虛數。(2)復數相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)。(3)共軛復數：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)。(4)復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸除去原點叫做虛軸。實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數。(5)復數的模：向量的模r叫做復數zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|。2復數

3、的幾何意義(1)復數zabi復平面內的點Z(a，b)(a，bR)。(2)復數zabi平面向量(a，bR)。3復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)則：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)。(2)復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。微點提醒1i的乘方具有周期性in(kZ)。2復數的模與共軛復數的關系：z|

4、z|2|2。3兩個注意點：(1)兩個虛數不能比較大小。(2)利用復數相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件。小|題|快|練一 、走進教材1(選修22P106A組T2改編)若復數(a23a2)(a1)i是純虛數，則實數a的值為()A1B2C1或2D1【解析】依題意，有解得a2。故選B。【答案】B2(選修22P112A組T5(3)改編)復數2的共軛復數是()A2i B2iC34i D34i【解析】22(2i)234i所以其共軛復數是34i。故選C?！敬鸢浮緾二、雙基查驗1(2016全國卷)已知z(m3)(m1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是()A(3,1)

5、B(1,3)C(1，) D(，3)【解析】由已知可得復數z在復平面內對應的點的坐標為(m3，m1)，所以解得3m1。故選A?！敬鸢浮緼2已知aR，i為虛數單位，若(12i)(ai)為純虛數，則a的值等于()A6 B2C2 D6【解析】由(12i)(ai)(a2)(12a)i是純虛數，得由此解得a2。故選B?！敬鸢浮緽3若a，bR，i為虛數單位，且(ai)ibi，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】由(ai)ibi，得1aibi，根據兩復數相等的充要條件得a1，b1。故選D?！敬鸢浮緿4若復數z滿足2i，則z對應的點位于第_象限?！窘馕觥縵2i(1i)22i，因此z

6、對應的點為(2,2)，在第二象限內?！敬鸢浮慷?若復數z滿足zi，則|z|_?！窘馕觥恳驗閦i13ii14i，則|z|?！敬鸢浮课⒖键c大課堂考點一 復數的有關概念【典例1】(1)設xR，則“x1”是“復數z(x21)(x1)i為純虛數”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)若abi(i是虛數單位，a，bR)，則ab()A2B1C1D2(3)設復數z1i(i為虛數單位)，z的共軛復數為，則|(1z)|()A. B2 C. D1【解析】(1)由純虛數的定義知：x1，故選C。(2)abi12i，所以a1，b2，ab2。故選A。(3)依題意得(1z)(2i)

7、(1i)3i，則|(1z)|3i|。故選A?！敬鸢浮?1)C(2)A(3)A反思歸納1.復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可。2解題時一定要先看復數是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部?！咀兪接柧殹?1)設i是虛數單位，若復數a(aR)是純虛數，則a的值為()A3 B1 C1 D3(2)若復數z1i(i為虛數單位)，是z的共軛復數，則z22的虛部為()A0 B1 C1 D2【解析】(1)aa(a3)i為純虛數，a30，即a3。故選D。(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虛

8、部為0。故選A?！敬鸢浮?1)D(2)A考點二 復數的幾何意義【典例2】(1)(2016太原模擬)復數z(i為虛數單位)，z在復平面內所對應的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2015陜西高考)設復數z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.【解析】(1)因為zi，所以z在復平面內所對應的點在第一象限。故選A。(2)由|z|1知復數z在復平面內對應的點構成的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內部，右圖中陰影部分表示在圓內(包括邊界)且滿足yx的區(qū)域，該區(qū)域的面積為11，故滿足yx的概率為。故選D?！敬鸢浮?1)A(2)D反

9、思歸納1.復數z、復平面上的點Z及向量一一對應，即zabi，(a，bR)Z(a，b)。2由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀?！咀兪接柧殹?1)如圖，若向量對應的復數為z，則z表示的復數為()A13i B3iC3i D3i(2)已知復數zxyi(x，yR，x0)且|z2|，則的取值范圍為_?！窘馕觥?1)由圖可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i。故選D。(2)因為|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23。設k，則ykx。聯立化簡為(1k2)x24x10。因為直線yk

10、x與圓有公共點，所以164(1k2)0，解得k，所以的取值范圍為，?！敬鸢浮?1)D(2)，考點三 復數的運算【典例3】(1)(2016全國卷)若z43i，則()A1 B1C.i D.i(2)(2016全國卷)若z12i，則()A1 B1 Ci Di(3)(2016全國卷)設(1i)x1yi，其中x，y是實數，則|xyi|()A1 B. C. D2【解析】(1)i。故選D。(2)i。(3)因為(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，故選B?！敬鸢浮?1)D(2)C(3)B反思歸納(1)復數的乘法。復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另

11、一類同類項，分別合并即可。(2)復數的除法。除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。(3)利用復數相等求參數。abicdiac，bd(a，b，c，dR)?！咀兪接柧殹?1)()A1i B1iC1i D1i(2)設復數z滿足(z2i)(2i)5，則z()A23i B23iC32i D32i【解析】(1)1i，故選D。(2)z2i2i2i2i23i。故選A?！敬鸢浮?1)D(2)A微考場新提升1(2016山東高考)若復數z，其中i為虛數單位，則()A1i B1iC1i D1i解析易知z1i，所以1i。故選B。答案B2(2016全國卷)設復數z滿足zi3i，則()

12、A12i B12iC32i D32i解析易知z32i，所以32i。故選C。答案C3設z1，z2是復數，則下列命題中的假命題是()A若|z1z2|0，則12B若z12，則1z2C若|z1|z2|，則z11z22D若|z1|z2|，則zz解析對于A，|z1z2|0z1z212，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z12，z21i，則|z1|z2|，但z4，z22i，是假命題。故選D。答案D4(2017浙江模擬)已知i是虛數單位，若bi(a，bR)，則ab的值為_。解析由bi，得3aibi，所以b3，a1，則ab3。答案35已知aR，若為實數，則a_。解析i，為實數，0，a。答案我國經濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經濟結構，實現經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協調等現實挑戰(zhàn)。