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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
專題二 函數與導數
第一講 函數的圖象與性質
必記公式及概念]
1．指數與對數式的七個運算公式
(1)aman＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0);
(4)loga＝logaM－logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0);
(5)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)；
(6)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
(7)logaN＝(a>0且a≠1
2、，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．單調性定義
如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，且x1f(x2)成立，則f(x)在D上是減函數)．
3．奇偶性定義
對于定義域內的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數)．
4．周期性定義
周期函數f(x)的最小正周期T必須滿足下列兩個條件：
(1)當x取定義域內的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)；
(2)T是不為零的最小正數．
5
3、．指數函數與對數函數的圖象和性質
指數函數
對數函數
圖象
單調性
01時，在R上單調遞增
01時，在(0，＋∞)上單調遞增
續(xù)表
指數函數
對數函數
函數值
性質
00時，01
01時，y<0；
當00
a>1，
當x>0時，y>1；
當x<0時，01
當x>1時，y>0；
當0
4、足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數，2a是它的一個周期．
(2)設f(x)是R上的偶函數，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數，2a是它的一個周期．
(3)設f(x)是R上的奇函數，且圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數，4a是它的一個周期．
2．函數圖象的對稱性
(1)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱．
(3)若函數y＝f
5、(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
3．函數圖象的變換規(guī)則
(1)平移變換
將y＝f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位得到y＝f(x＋a)的圖象；
將y＝f(x)的圖象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|個單位得到y＝f(x)＋a的圖象．
(2)對稱變換
①作y＝f(x)關于y軸的對稱圖象得到y＝f(－x)的圖象；
②作y＝f(x)關于x軸的對稱圖象得到y＝－f(x)的圖象；
③作y＝f(x)關于原點的對稱圖象得到y＝－f(－x)的圖象；
④將y＝f(x)在x軸下方的圖象翻折到上方，與y＝f(x)在x軸上方
6、的圖象合起來得到y＝|f(x)|的圖象；
⑤將y＝f(x)在y軸左側部分去掉，再作右側關于y軸的對稱圖象合起來得到y＝f(|x|)的圖象．
4．函數的周期性與對稱性的關系
(1)若f(x)的圖象有兩條對稱軸x＝a和x＝b(a≠b)，則f(x)必為周期函數，且它的一個周期是2|b－a|；
(2)若f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，則f(x)必為周期函數，且它的一個周期是2|b－a|；
(3)若f(x)的圖象有一條對稱軸x＝a和一個對稱中心(b,0)(a≠b)，則f(x)必為周期函數，且它的一個周期是4|b－a|.
失分警示]
1．函數具有奇偶性時，定義域
7、關于原點對稱，但定義域關于原點對稱時，函數不一定具有奇偶性．
2．求單調區(qū)間易忽略函數的定義域，切記單調區(qū)間必須是定義域的子集且當同增(減)區(qū)間不連續(xù)時，不能用并集符號連接．
3．忽略函數的單調性、奇偶性、周期性的定義中變量取值的任意性．
4．畫圖時容易忽略函數的性質，圖象左右平移時平移距離的確定易出錯．
考點 函數的概念及其表示
典例示法
典例1 (1)20xx山東高考]函數f(x)＝的定義域為( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪2，＋∞)
解析] 要使函數f(x)有意義，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴l(xiāng)
8、og2x>1或log2x<－1，解之得x>2或0
9、題有意義．
2．求函數值的三個關注點
(1)形如f(g(x))的函數求值，要遵循先內后外的原則．
(2)對于分段函數求值，應注意依據條件準確地找出利用哪一段求解．
(3)對于周期函數要充分利用好周期性．
3．函數值域的求法
求解函數值域的方法有：公式法、圖象法、分離常數法、判別式法、換元法、數形結合法、有界性法等，要根據問題具體分析，確定求解的方法．
針對訓練
1．20xx貴陽監(jiān)測]函數f(x)＝＋lg 的定義域為( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
答案 C
解析 依題意知，即即函數的定義域為
10、(2,3)∪(3,4]．
2．20xx浙江高考]設函數f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數a的取值范圍是________．
答案 (－∞， ]
解析 由題意得或解得f(a)≥－2.由或解得a≤.
考點 函數的圖象及應用
典例示法
典例2 (1)20xx北京高考]如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1
11、x＋1)的解集是{x|－10，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
解析] ∵f(x)＝的圖象與x，y軸分別交于N，M，且點M的縱坐標與點N的橫坐標均為正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函數圖象間斷點的橫坐標為正，∴－c>0，故c<0，故選C.
答案] C
1．作函數圖象的方法及注意點
常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．尤其注
12、意y＝f(x)與y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關系．
2．辨識函數圖象的兩種方法
(1)直接根據函數解析式作出函數圖象，或者是根據圖象變換作出函數的圖象；
(2)利用間接法排除、篩選錯誤與正確的選項，可以從如下幾個方面入手：
①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
③從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性：如奇函數在對稱的區(qū)間上單調性一致，偶函數在對稱的區(qū)間上單調性相反；
④從函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；
⑤從特殊點出發(fā)，排
13、除不符合要求的選項．
靈活應用上述方法，可以很快判斷出函數的圖象．
3．函數圖象在方程、不等式中的應用策略
(1)研究兩函數圖象的交點個數：在同一坐標系中分別作出兩函數的圖象，數形結合求解；
(2)確定方程根的個數：當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數f(x)圖象與x軸的交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標；
(3)研究不等式的解：當不等式問題不能用代數法求解但其對應函數的圖象可作出時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上、下關系問題，從而利用數形結合求解．
針對訓練
1．20xx貴
14、州七校聯考]已知函數f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函數圖象可知，函數f(x)為奇函數，應排除B、C.若函數為f(x)＝x－，則x→＋∞時，f(x)→＋∞，排除D，故選A.
2．20xx江西南昌二模]現有四個函數：①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x2x的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數序號安排正確的一組是( )
A．④①②③ B．①④③②
C．③④②① D．①④②③
答案 D
解
15、析 由于函數y＝xsinx是偶函數，由圖象知，函數①對應第一個圖象；函數y＝xcosx為奇函數，且當x＝π時，y＝－π<0，故函數②對應第三個圖象；函數y＝x|cosx|為奇函數，故函數③與第四個圖象對應；函數y＝x2x為非奇非偶函數，與第二個圖象對應．綜上可知，選D.
考點 函數的性質及應用
典例示法
題型1 函數性質的判定
典例3 20xx廣東高考]下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析] 選項A中的函數是偶函數；選項B中的函數是奇函數；選項C中的函數是偶函數；只有選項D中的函數既不是奇
16、函數也不是偶函數．
答案] D
題型2 函數性質的應用
典例4 20xx天津高考]已知定義在R上的函數f(x)＝2|x－m|－1(m為實數)為偶函數．記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為( )
A．a
17、log23)
18、性：可以比較大小，求函數最值，解不等式，證明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以轉化函數的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解．
全國卷高考真題調研]
1．20xx全國卷Ⅰ]函數y＝2x2－e|x|在－2,2]的圖象大致為( )
答案 D
解析 當x≥0時，令函數f(x)＝2x2－ex，則f′(x)＝4x－ex，易知f′(x)在0，ln 4)上單調遞增，在ln 4，2]上單調遞減，又f′(0)＝－1<0，f′＝2－>0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e2>0，所以存在x0∈是函數f(x)的極小值點，即函數f(x)在(0
19、，x0)上單調遞減，在(x0,2)上單調遞增，且該函數為偶函數，符合條件的圖象為D.
2．20xx全國卷Ⅱ]已知函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數y＝與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案 B
解析 因為f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函數y＝f(x)與y＝的圖象都關于點(0,1)對稱，所以xi＝0，yi＝2＝m，故選B.
3．20xx全國卷Ⅰ]若函數f(x)＝xln (x＋)為偶函數，則a＝________.
答案 1
解析
20、解法一：由題意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln (－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
解法二：由f(x)為偶函數有l(wèi)n (x＋)為奇函數，令g(x)＝ln (x＋)，有g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
其它省市高考題借鑒]
4．20xx山東高考]已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f＝f.則f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 D
解析 由題意可知，當－1≤x≤1時，f(x)為奇函數，且當x>時，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(51＋1)＝
21、f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故選D.
5．20xx浙江高考]存在函數f(x)滿足：對于任意x∈R都有( )
A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案 D
解析 通過舉反例排除．本題主要考查函數的概念，即對于任一變量x有唯一的y與之相對應．對于A、B，當x＝或時，sin2x均為1，而sinx與x2＋x此時均有兩個值，故A，B錯誤；對于C，當x＝1或－1時，x2＋1＝2，而|x＋1|有兩個值，故C錯誤，故選D.
6．20xx湖南高考]
22、設函數f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，則f(x)是( )
A．奇函數，且在(0,1)上是增函數
B．奇函數，且在(0,1)上是減函數
C．偶函數，且在(0,1)上是增函數
D．偶函數，且在(0,1)上是減函數
答案 A
解析 由題意可得，函數f(x)的定義域為(－1,1)，且f(x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0,1)上為增函數，故f(x)在(0,1)上為增函數，又f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數，選A.
一、選擇題
1．20xx山東萊蕪模擬]已知函數f(x)的定義域為3,6]，則函數y＝的定義域為(
23、 )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 要使函數y＝有意義，需滿足
??≤x<2.故選B.
2．20xx湖南高考]已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 C
解析 令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分別是偶函數和奇函數，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.故選C.
3．20xx全國卷Ⅰ]設函數f(x)，g(x)的定義域都為R
24、，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是( )
A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數
C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數
答案 C
解析 由題意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，對于選項A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數，故A項錯誤；對于選項B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數，故B項錯誤；對于選項C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)
25、|是奇函數，故C項正確；對于選項D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數，故D項錯誤，選C.
4．20xx遼寧實驗中學月考]函數y＝f(x)在0,2]上單調遞增，且函數f(x＋2)是偶函數，則下列結論成立的是( )
A．f(1)
26、)<.
5．20xx山西四校聯考(三)]函數y＝的圖象大致為( )
答案 D
解析 y＝＝＝，由此容易判斷函數為奇函數，可以排除A；又函數有無數個零點，可排除C；當x取一個較小的正數時，y>0，由此可排除B，故選D.
6．20xx湖北黃岡一模]已知函數f(x)＝|log2x|，正實數m，n滿足m
27、m<1，n>1.
又f(x)在m2，n]上的最大值為2，由圖象知：f(m2)>f(m)＝f(n)，
∴f(x)max＝f(m2)，x∈m2，n]．
故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.
7．如圖，過單位圓O上一點P作圓O的切線MN，點Q為圓O上一動點，當點Q由點P逆時針方向運動時，設∠POQ＝x，弓形PRQ的面積為S，則S＝f(x)在x∈0,2π]上的大致圖象是( )
答案 B
解析 S＝f(x)＝S扇形PRQ＋S△POQ＝(2π－x)12＋sinx＝π－x＋sinx，則f′(x)＝(cosx－1)≤0，所以函數S＝f(x)在0,2π]上為減函數，當x＝0和x＝2π時，分
28、別取得最大值與最小值．又當x從0逐漸增大到π時，cosx逐漸減小，切線斜率逐漸減小，曲線越來越陡；當x從π逐漸增大到2π時，cosx逐漸增大，切線斜率逐漸增大，曲線越來越平緩．結合選項可知，B正確．
8．20xx遼寧五校第二次聯考]已知f(x)是定義在R上的偶函數，在區(qū)間0，＋∞)上為增函數，且f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
答案 C
解析 由已知f(x)在R上為偶函數，且f＝0，
∴f(logx)>0等價于f(|logx|)>f.
又f(x)在0，＋∞)上為增函數，
∴|logx|>，
29、即logx>或logx<－，
解得02，故選C.
二、填空題
9．20xx山東高考]已知函數f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是－1,0]，則a＋b＝________.
答案?。?
解析?、佼?1時，函數f(x)在－1,0]上單調遞增，由題意可得即顯然無解．
所以a＋b＝－.
10．20xx浙江杭州模擬]已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函數y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱；③對于任意的x1，x2
30、∈0,1]，且x1f(x2)．則f，f(2)，f(3)從小到大排列是________．
答案 f(3)
31、
三、解答題
11．20xx安徽淮北質檢]定義在(－1,1)上的函數f(x)，對任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f，且當x∈(－1,0)時，f(x)>0.回答下列問題：
(1)判斷f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并說明理由；
(2)判斷函數f(x)在(0,1)上的單調性，并說明理由；
(3)若f＝，試求f－f－f的值．
解 (1)令x＝y＝0?f(0)＝0，
令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)?f(x)在(－1,1)上是奇函數．
(2)設0
32、<0,00，
故－1<<0，則f>0，
即當0f(x2)，
∴f(x)在(0,1)上單調遞減．
(3)由于f－f＝f＋f
＝f＝f.
同理，f－f＝f，
f－f＝f，
∴f－f－f＝2f＝2＝1.
12．函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意實數x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立，已知當x∈1,2]時，f(x)＝logax.
(1)求x∈－1,1]時，函數f(x)的表達式；
(2)求x∈2k－1,2k＋1](k∈Z)時，函數f(x)的表達式；
(3)若函數f(x)的最大值為，在區(qū)間－1,3
33、]上，解關于x的不等式f(x)>.
解 (1)因為f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函數，所以f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)＝
(2)當x∈2k－1,2k]時，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)，
同理，當x∈(2k,2k＋1]時，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)，
所以f(x)＝
(3)由于函數是以2為周期的周期函數，故只需要考查區(qū)間－1,1]，
當a>1時，由函數f(x)的最大值為，
知f(0)＝f(x)max＝loga2＝，即a＝4，
當0，所以－2，
所以0的解集為(，4－)，
綜上所述不等式的解集為(－2,2－)∪(，4－)．
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