人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 1.3.1二項(xiàng)式定理教案

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)131二項(xiàng)式定理教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式過程與方法：能解決二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用授課類型：新授課 課時(shí)安排：3課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)這部分知識(shí)具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主

2、要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)，同時(shí)在求展開式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會(huì)過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺嬉磺薪Y(jié)果的基礎(chǔ)通項(xiàng)公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)二項(xiàng)式定理的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)這是因?yàn)?，證明中符號(hào)比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識(shí)

3、體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識(shí)，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： ；的各項(xiàng)都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：，展開式各項(xiàng)的系數(shù)：上面?zhèn)€括號(hào)中，每個(gè)都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，二、講解新課：二項(xiàng)式定理：的展開式的各項(xiàng)都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：，展開式各項(xiàng)的系數(shù)： 每個(gè)都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個(gè)取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式

4、叫的二項(xiàng)展開式，它有項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)叫二項(xiàng)式系數(shù)，叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)二項(xiàng)式定理中，設(shè)，則三、講解范例：例1展開解一： 解二：例2展開解：例3求的展開式中的倒數(shù)第項(xiàng)解：的展開式中共項(xiàng)，它的倒數(shù)第項(xiàng)是第項(xiàng)，例4求（1），（2）的展開式中的第項(xiàng)解：（1）， （2）點(diǎn)評(píng)：，的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第項(xiàng)不相同例5（1）求的展開式常數(shù)項(xiàng)；（2）求的展開式的中間兩項(xiàng)解：，（1）當(dāng)時(shí)展開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為；（2）的展開式共項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第項(xiàng)、第項(xiàng)， 例6（1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)解：的展開式的第四項(xiàng)是，的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是（2）的展

5、開式的通項(xiàng)是，的系數(shù)，的二項(xiàng)式系數(shù)例7求的展開式中的系數(shù)分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開解：（法一），顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含的項(xiàng)，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是（法二）：展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是例8已知 的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)最小值分析：展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式，由展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，可得，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的二次函數(shù)求解解：展開式中含的項(xiàng)為，即，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為， ，當(dāng)時(shí)，取最小值，但， 時(shí)，即項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為，此時(shí)例9已知

6、的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng) 解：由題意：，即，舍去） 若是常數(shù)項(xiàng)，則，即，這不可能，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；若是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)， ，即 展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是：， 例10求的近似值，使誤差小于解：，展開式中第三項(xiàng)為，小于，以后各項(xiàng)的絕對(duì)值更小，可忽略不計(jì)，一般地當(dāng)較小時(shí) 四、課堂練習(xí)：1.求的展開式的第3項(xiàng).2.求的展開式的第3項(xiàng).3.寫出的展開式的第r+1項(xiàng).4.求的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第4項(xiàng)的系數(shù).5.用二項(xiàng)式定理展開：（1）；（2）.6.化簡(jiǎn)：（1）；（2） 7展開式中的第項(xiàng)為，求 8求展

7、開式的中間項(xiàng)答案：1. 2. 3. 4.展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，第4項(xiàng)的系數(shù) 5. （1）；（2）.6. （1）；（2） 7. 展開式中的第項(xiàng)為 8. 展開式的中間項(xiàng)為 五、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理的探索思路:觀察歸納猜想證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn) 六、課后作業(yè)： P36 習(xí)題1.3A組1. 2. 3.4七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、教學(xué)反思： (a+b) = 這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 (a+b)的 ，其中（r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是展開式的第 項(xiàng)，展開式共有 個(gè)項(xiàng).掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的

8、簡(jiǎn)單問題。培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。二項(xiàng)式定理是指這樣一個(gè)展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=nxn1，同時(shí)=e2.718281也正是由二項(xiàng)式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)

9、學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式ei=cos+isin，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(xx0)2+(xx0)n+(0，1)以及由此建立的冪級(jí)數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中. 怎樣使二項(xiàng)式定理的教學(xué)生動(dòng)有趣正因?yàn)槎?xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(gè)(a+b)4用組合知識(shí)來求展開式的系數(shù)的例子.然后推

10、廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)樽C明寫得很長(zhǎng)，上課時(shí)的板書幾乎占了整個(gè)黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動(dòng).那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動(dòng)？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時(shí)都會(huì)無能為力，因?yàn)檫@些方法都無法改變算式的冗長(zhǎng)，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實(shí).而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計(jì)算的形式變換得十分簡(jiǎn)潔，心理學(xué)家皮亞杰一再?gòu)?qiáng)調(diào)“認(rèn)識(shí)起因于主各體之間的相互作用”1只有客體的形式與學(xué)生主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時(shí)候，才能完成認(rèn)識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，也就是學(xué)生獲得真正的理解.MM教育方式遵循“興趣與能力的同步發(fā)展規(guī)律”和“教，學(xué)，研互相促進(jìn)的規(guī)律”2在教學(xué)中追求簡(jiǎn)易，重視直觀，并巧妙地在應(yīng)用抽象使問題變得十分有趣，學(xué)生學(xué)得生動(dòng)主動(dòng)，充分發(fā)揮其課堂上的主體作用.