《高中數(shù)學 小專題復(fù)習課（四）立體幾何課件 理 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 小專題復(fù)習課（四）立體幾何課件 理 新人教A版（59頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、小專題復(fù)習課（四）立 體 幾 何熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報 熱點一：空間熱點一：空間幾何體的三視幾何體的三視圖圖1.1.此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題結(jié)合命題間幾何體的表面積、體積等問題結(jié)合命題2.2.試題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查試題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查學生的空間想象能力及運算能力，屬中檔題學生的空間想象能力及運算能力，屬中檔題熱點二：空間熱點二：空間幾何體的表面幾何體的表面積與體積的計積與體積的計算問題算問題1.1.此類問題常以三視圖為載體，通常是給出某幾何此類
2、問題常以三視圖為載體，通常是給出某幾何體的三視圖，要求考生求解該幾何體的表面積或體體的三視圖，要求考生求解該幾何體的表面積或體積積2.2.試題以選擇題、填空題為主，考查學生的計算能試題以選擇題、填空題為主，考查學生的計算能力，屬中檔題力，屬中檔題熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點三：有關(guān)線、熱點三：有關(guān)線、面位置關(guān)系和命面位置關(guān)系和命題真假的判斷題真假的判斷1.1.此類問題涉及知識面廣，綜合性強，通常是考此類問題涉及知識面廣，綜合性強，通常是考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)2.2.試題以選擇題的形式出現(xiàn)，考查學生的空間想試題以
3、選擇題的形式出現(xiàn)，考查學生的空間想象能力及分析問題、解決問題的能力象能力及分析問題、解決問題的能力熱點四：空間位熱點四：空間位置關(guān)系的證明置關(guān)系的證明1.1.此類問題多以多面體為載體，考查線線、線面、此類問題多以多面體為載體，考查線線、線面、面面間的平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化面面間的平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化2.2.試題多為解答題，考查學生的推理能力和空間試題多為解答題，考查學生的推理能力和空間想象能力想象能力熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點五：熱點五：折疊問題折疊問題1.1.此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查線線、
4、線面、面面的位置關(guān)系并以此為載體考查線線、線面、面面的位置關(guān)系及有關(guān)計算及有關(guān)計算2.2.試題以解答題為主，考查學生的空間想象能力試題以解答題為主，考查學生的空間想象能力和知識遷移能力和知識遷移能力熱點六：熱點六：空間向量在立體空間向量在立體幾何中的應(yīng)用幾何中的應(yīng)用 1.1.此類問題多以多面體此類問題多以多面體( (棱柱、棱錐棱柱、棱錐) )為載體，考為載體，考查空間位置關(guān)系的證明及空間角的求法，特別是查空間位置關(guān)系的證明及空間角的求法，特別是線面角和二面角的求法線面角和二面角的求法2.2.試題多以解答題的形式出現(xiàn)，主要考查學生的試題多以解答題的形式出現(xiàn)，主要考查學生的邏輯推理能力和空間想象能
5、力邏輯推理能力和空間想象能力熱點熱點 一一 空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖1.1.如圖是長和寬分別相等的兩個矩形如圖是長和寬分別相等的兩個矩形. .給定下列三個命題：給定下列三個命題：存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如圖；存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如圖；存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如圖；存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如圖；存在圓柱，其正視圖、俯視圖如圖存在圓柱，其正視圖、俯視圖如圖. .其中真命題的個數(shù)是其中真命題的個數(shù)是( )( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【解析【解析】選選A.A.存在直三棱柱，其三視圖中有兩個為矩形，一個存在直三棱柱，
6、其三視圖中有兩個為矩形，一個為直角三角形滿足條件，故為直角三角形滿足條件，故為真命題；為真命題；存在正四棱柱，其三視圖均為矩形，滿足條件，故存在正四棱柱，其三視圖均為矩形，滿足條件，故為真命題；為真命題；對于任意的圓柱，其三視圖中有兩個為矩形，一個是以底面半對于任意的圓柱，其三視圖中有兩個為矩形，一個是以底面半徑為半徑的圓，也滿足條件，故徑為半徑的圓，也滿足條件，故為真命題為真命題. .故選故選A.A.2.2.如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1 1的正方形，的正方形，且體積為且體積為 則該幾何體的俯視圖可以是則該幾何體的俯視圖可以是( )( )1
7、2，【解析【解析】選選C.C.方法一：方法一：體積為體積為 ，而高為，而高為1 1，故底面積，故底面積為為 ，選，選C.C.方法二：選項方法二：選項A A得到的幾何體為正方體，其體積為得到的幾何體為正方體，其體積為1 1，故排，故排除除A A；而選項；而選項B B，D D所得幾何體的體積都與所得幾何體的體積都與有關(guān)，排除有關(guān)，排除B B，D D；易知選項易知選項C C符合符合. .12123.3.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是大的是( )( )(A)8 (B) (C)10 (D)(A)8 (B) (C)10 (D)
8、【解析【解析】選選C.C.該四面體是四個面均為直角三角形的四面體，該四面體是四個面均為直角三角形的四面體，其面積分別為其面積分別為6 6，8 8， ，1010，故最大面積為，故最大面積為10.10.6 28 26 24.4.若正三棱錐的正視圖與俯視圖若正三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示如圖所示( (單位：單位：cm)cm)，則它的側(cè)，則它的側(cè)視圖的面積為視圖的面積為_ cm_ cm2 2. .【解析【解析】由正視圖和俯視圖可知，由正視圖和俯視圖可知，側(cè)視圖的底邊長為俯視圖的高即側(cè)視圖的底邊長為俯視圖的高即側(cè)視圖的高為正視圖的高側(cè)視圖的高為正視圖的高 所以所以側(cè)視圖的面積為側(cè)視圖的面積為 (cm(
9、cm2 2).).答案答案: :32，3，133S322434熱點熱點 二二 空間幾何體的表面積與體積的計算問題空間幾何體的表面積與體積的計算問題1.(20131.(2013濟南模擬濟南模擬) ) 一個幾何體一個幾何體的三視圖如圖所示的三視圖如圖所示( (單位單位:cm),:cm),則此幾何體的表面積是則此幾何體的表面積是( )( )(A)(80+ ) cm(A)(80+ ) cm2 2 (B)84 cm(B)84 cm2 2(C)(96+ ) cm(C)(96+ ) cm2 2 (D)96 cm(D)96 cm2 216 216 2【解析【解析】選選A.A.由三視圖可得該幾何體是正四棱錐與正
10、方體的由三視圖可得該幾何體是正四棱錐與正方體的組合，組合，S S表面積表面積22221454(422 )(80 16 2)cm .2 2.2.若某幾何體的三視圖若某幾何體的三視圖( (單單位：位：cm)cm)如圖所示，則此幾如圖所示，則此幾何體的體積為何體的體積為( )( )(A) cm(A) cm3 3(B)70 cm(B)70 cm3 3(C) cm(C) cm3 3(D)100 cm(D)100 cm3 321233263【解析【解析】選選A.A.由三視圖可知，該幾何體上部是一個圓臺，由三視圖可知，該幾何體上部是一個圓臺，下部是一個半球，故其體積為下部是一個半球，故其體積為故選故選A.A
11、.2233114212V3 (22 44 )4(cm ).3233 3.3.一個幾何體的三視圖如一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積是體的外接球的表面積是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D)(C) (D)831632 34 3【解析【解析】選選B.B.根據(jù)三視圖還原幾何體為一個如圖所示的三棱根據(jù)三視圖還原幾何體為一個如圖所示的三棱錐錐D-ABCD-ABC，其中平面，其中平面ADCADC平面平面ABCABC，ADCADC為等邊三角形為等邊三角形. .取取ACAC的中點為的中點為E E，
12、連接，連接DEDE，BEBE，則有則有DEACDEAC，所以，所以DEDE平面平面ABCABC，所以所以DEEB.DEEB.由圖中數(shù)據(jù)知由圖中數(shù)據(jù)知AE=EC=EB=1AE=EC=EB=1， 設(shè)此三棱錐的外接球的球心設(shè)此三棱錐的外接球的球心為為O O，則它落在高線，則它落在高線DEDE上，連接上，連接OAOA，則有，則有 所以所以 故球故球O O的半徑為的半徑為故所求幾何體的外接球的表面積故所求幾何體的外接球的表面積 故選故選B.B.22DE3ADAEDE2，DCDBABBC2AC2.，2222AOAEOE1OE ，AODODEOE3OE，2AO3，23，2216S4 ()33 ，4.(201
13、34.(2013海淀模擬海淀模擬) )某幾何體的某幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，側(cè)視正視圖與俯視圖如圖所示，側(cè)視圖與正視圖相同，且圖中的四邊圖與正視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長為形都是邊長為2 2的正方形，兩條虛的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積線互相垂直，則該幾何體的體積是是( )( )(A) (B)(A) (B)(C)6 (D)4(C)6 (D)420343【解析【解析】選選A.A.由三視圖知，該幾何體是正方體挖去一個以由三視圖知，該幾何體是正方體挖去一個以正方體的中心為頂點，以正方體的上面為底面的四棱錐后正方體的中心為頂點，以正方體的上面為底面的四棱錐后的剩余部分，其體積為
14、的剩余部分，其體積為 故選故選A.A.32120V221.33 熱點熱點 三三 有關(guān)線、面位置關(guān)系和命題真假的判斷有關(guān)線、面位置關(guān)系和命題真假的判斷1.1.設(shè)設(shè)l,m,m是兩條不同的直線，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確是一個平面，則下列命題正確的是的是( )( )(A)(A)若若lm,mm,m, ,則則l(B)(B)若若l,lmm, ,則則mm(C)(C)若若l,m,m，則，則lmm(D)(D)若若l,m,m, ,則則lmm【解析【解析】選選B.B.根據(jù)線線、線面位置可知，根據(jù)線線、線面位置可知，A A中中l(wèi)可在可在內(nèi)或者與內(nèi)或者與相交但不垂直或者相交但不垂直或者l與與平行，平行
15、，C C中中l(wèi)與與m m也可以垂直或異面，也可以垂直或異面，D D中中l(wèi)與與m m也可以異面或相交也可以異面或相交. .故選故選B.B.2.2.設(shè)設(shè)，為平面，為平面，l，m,nm,n為直線，則為直線，則mm的一個充分的一個充分條件為條件為( )( )(A),(A),= =l,m,ml(B)n,n,m(B)n,n,m(C)=m,(C)=m,(D),m(D),m，mm【解析【解析】選選B.B.如圖如圖知知A A錯；如圖錯；如圖知知C C錯；如圖錯；如圖在正方體中，在正方體中，兩側(cè)面兩側(cè)面與與相交于相交于l, ,都與底面都與底面垂直，垂直，內(nèi)的直線內(nèi)的直線mm，但但m m與與不垂直，故不垂直，故D
16、D錯；由錯；由n,nn,n, ,得得. .又又mm, ,則則mm，故，故B B正確正確. .3.(20133.(2013武漢模擬武漢模擬) )設(shè)設(shè),為兩個不重合的平面，為兩個不重合的平面，m,nm,n是兩條是兩條不重合的直線，給出下列命題：不重合的直線，給出下列命題：若若mn,mmn,m, ,則則nn; ;若若n n,m,m,與與相交且不垂直，則相交且不垂直，則n n與與m m不垂直；不垂直；若若,=m,nm,=m,nm, ,則則nn; ;若若mn,n,mn,n, ,則則mm. .其中所有真命題的序號是其中所有真命題的序號是_._.【解析【解析】若若mn,mmn,m, ,則則nn或或n n,
17、,是假命題；是假命題；中的中的n n與與m m可以垂直，假命題；可以垂直，假命題；中中nn，或，或n n, ,或或n n與與相交，但不垂直，或相交，但不垂直，或nn，假命題；，假命題；是真命題是真命題. .答案答案: :熱點熱點 四四 空間位置關(guān)系的證明空間位置關(guān)系的證明1.1.如圖，已知如圖，已知ABAB平面平面ACDACD，DEABDEAB，AD=AC=DE=2AB=2AD=AC=DE=2AB=2，且且F F是是CDCD的中點，的中點，AF= .AF= .(1)(1)求證：求證：AFAF平面平面BCE.BCE.(2)(2)求證：平面求證：平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.(3)(3)
18、求此多面體的體積求此多面體的體積. . 3【解析【解析】(1)(1)取取CECE的中點的中點P P，連接，連接FPFP，BPBP，F(xiàn)F為為CDCD的中點，的中點，F(xiàn)PDEFPDE，且，且FP= DE.FP= DE.又又ABDEABDE，且，且AB= DEAB= DE，ABFPABFP，且，且AB=FPAB=FP，四邊形四邊形ABPFABPF為平行四邊形，為平行四邊形，AFBP.AFBP.又又AF AF 平面平面BCEBCE，BPBP平面平面BCEBCE，AFAF平面平面BCE.BCE.1212(2)AD=AC(2)AD=AC，F(xiàn) F是是CDCD的中點，的中點，AFCD.AFCD.ABAB平面平
19、面ACDACD，DEABDEAB，DEDE平面平面ACD.ACD.又又AFAF平面平面ACDACD，DEAF.DEAF.又又AFCDAFCD，CDDE=DCDDE=D，AFAF平面平面CDE.CDE.又又BPAFBPAF，BPBP平面平面CDE.CDE.又又BPBP平面平面BCEBCE，平面平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.(3)(3)此多面體是一個以此多面體是一個以C C為頂點，以四邊形為頂點，以四邊形ABEDABED為底面的為底面的四棱錐，又四棱錐，又AF= AC=AD=2AF= AC=AD=2，AFCDAFCD，CD=2CD=2，ACDACD為等邊三角形為等邊三角形. .S S四邊
20、形四邊形ABEDABED= = 平面平面ABEDABED平面平面ADCADC，等邊三角形等邊三角形ACDACD中中ADAD邊上的高就是四棱錐的高，邊上的高就是四棱錐的高，3，(12)232 ，C ABED1V333.3 2.2.如圖，在直四棱柱如圖，在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，四邊形中，四邊形ABCDABCD是梯形，是梯形，ADBCADBC，ACCDACCD，E E是是AAAA1 1上的一點上的一點. .(1)(1)求證：求證：CDCD平面平面ACE.ACE.(2)(2)若平面若平面CBECBE交交DDDD1 1于點于點F F，求證求證:EF
21、AD.:EFAD.【證明【證明】(1)(1)因為因為ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1為直四棱柱，為直四棱柱，所以所以AAAA1 1平面平面ABCD.ABCD.因為因為CDCD平面平面ABCDABCD，所以，所以AAAA1 1CDCD，即，即AECD.AECD.因為因為ACCDACCD，AEAE平面平面AECAEC，ACAC平面平面AECAEC，AEAC=AAEAC=A，所以所以CDCD平面平面AEC.AEC.(2)(2)因為因為ADBCADBC，ADAD平面平面ADDADD1 1A A1 1，BC BC 平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以，所以BCB
22、C平面平面ADDADD1 1A A1 1. .因為因為BCBC平面平面BCEBCE，平面，平面BCEBCE平面平面ADDADD1 1A A1 1=EF=EF，所以所以EFBC.EFBC.因為因為ADBCADBC，所以，所以EFAD.EFAD.熱點熱點 五五 折疊問題折疊問題1.1.將如圖將如圖所示的直角梯形所示的直角梯形ABEF(ABEF(圖中數(shù)字表示對應(yīng)線段的長圖中數(shù)字表示對應(yīng)線段的長度度) )沿直線沿直線CDCD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾折成直二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖何體，如圖所示所示. .(1)(1)證明：證明：BEBE平面平面ADF.ADF.(2)
23、(2)設(shè)設(shè)M M是是FBFB的中點，求證：的中點，求證：EMEM平面平面BDF.BDF.【證明【證明】(1)CEDF(1)CEDF，CE CE 平面平面DAFDAF，DFDF平面平面DAFDAF，CECE平面平面DAF. DAF. 又又BCADBCAD，BC BC 平面平面DAFDAF，ADAD平面平面DAFDAF，BCBC平面平面DAF.DAF.CEBC=CCEBC=C，平面平面CBECBE平面平面DAF.DAF.又又BEBE平面平面CBECBE，BEBE平面平面ADF.ADF.(2)(2)取取BDBD的中點的中點O O，連接，連接MOMO，CO.CO.則則MOFDMOFD，且，且MO= F
24、DMO= FDECMOECMO且且EC=MOEC=MO四邊形四邊形MECOMECO為平行四邊形為平行四邊形MECO.MECO.由已知由已知FDDCFDDC，平面，平面FDCFDC平面平面ABCDABCD，平面平面FDCFDC平面平面ABCD=CDABCD=CD，F(xiàn)DFD平面平面ABCDABCD，F(xiàn)DOC.FDOC.又易知又易知BDOCBDOC，BDFD=DBDFD=D，COCO平面平面BDF.EMBDF.EM平面平面BDF.BDF.122.2.已知矩形已知矩形ABCDABCD中，中，AB=3AB=3，AD=2AD=2，點，點E E在在CDCD上且上且CE=1CE=1，如圖，如圖(1).(1).
25、把把DAEDAE沿沿AEAE向上折起到向上折起到DAEDAE的位置，使二面角的位置，使二面角D-AE-BD-AE-B的大的大小為小為120120，如圖，如圖(2).(2).(1)(1)求四棱錐求四棱錐D-ABCED-ABCE的體積的體積. .(2)(2)求求CDCD與平面與平面ABCEABCE所成角的正切值所成角的正切值. .(3)(3)設(shè)設(shè)M M為為CDCD的中點，棱的中點，棱ABAB上是否存在點上是否存在點N N，使，使MNMN平面平面DAEDAE？若存在，試求出點若存在，試求出點N N位置；若不存在，請說明理由位置；若不存在，請說明理由. .【解析】【解析】(1)(1)取取AEAE的中點
26、的中點P P，連接，連接DPDP，DP,DP,由由DA=DEDA=DE，DA=DEDA=DEDPAE,DPAE.DPAE,DPAE.故故DPD=60DPD=60DDPDDP為等邊三角形，為等邊三角形，DD在平面在平面ABCDABCD內(nèi)的射影內(nèi)的射影H H為為PDPD的中點，的中點，ABCE61 3DP2D HS24,22四邊形，又DABCE162 6V4.323 (2)(2)由題意知由題意知DCHDCH即為即為CDCD與平面與平面ABCEABCE所成的角所成的角. .在三角形在三角形CDHCDH中，中，DH= DH= ，CD=3CD=3，CDH=45CDH=45, ,由余弦定理可得由余弦定理可
27、得CH= CH= tanDCHtanDCH= =222626392.13262(3)(3)取取CECE的中點的中點F F，連接，連接MFMF，則，則MFDEMFDE，在平面在平面ABCEABCE內(nèi)過內(nèi)過F F作作FNAEFNAE交交ABAB于于N N，連接，連接MN.MN.又又MFNF=FMFNF=F，DEAE=EDEAE=E，則平面，則平面MFNMFN平面平面DAEDAE，又又MNMN在平面在平面MFNMFN內(nèi)，故內(nèi)，故MNMN平面平面DAEDAE，此時此時AN=EF= CE= AN=EF= CE= ，故存在點故存在點N N使使MNMN平面平面DAE.DAE.1212熱點熱點 六六 空間向量
28、在立體幾何中的應(yīng)用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.1.如圖所示，在多面體如圖所示，在多面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，上、下兩個底面中，上、下兩個底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1和和ABCDABCD互相平行，且都是正方形，互相平行，且都是正方形，DDDD1 1底面底面ABCDABCD，AB=2AAB=2A1 1B B1 1=2DD=2DD1 1=2a.=2a.(1)(1)求異面直線求異面直線ABAB1 1與與DDDD1 1所成所成角的余弦值角的余弦值. .(2)(2)已知已知F F是是ADAD的中點的中點. .求證：求證：FBFB1
29、1平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .(3)(3)在在(2)(2)的條件下，求二面角的條件下，求二面角F-CCF-CC1 1-B-B的余弦值的余弦值. .【解析【解析】以以D D為坐標原點，為坐標原點，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直線分別為所在直線分別為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),DA(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1 1(0,0,a),F(a,0,0),(0,0,a),F(a,0,0),B B1 1(a,a
30、,a),C(a,a,a),C1 1(0,a,a).(0,a,a).(1) =(-a,a,a), =(0,0,a),(1) =(-a,a,a), =(0,0,a), 即異面直線即異面直線ABAB1 1與與DDDD1 1所成角所成角的余弦值為的余弦值為111111AB DD3cosAB ,DD3|AB | DD ，3.31AB 1DD (2) =(-a,-a,a), =(-2a,0,0), =(0,a,a),(2) =(-a,-a,a), =(-2a,0,0), =(0,a,a), FB FB1 1BBBB1 1，F(xiàn)BFB1 1BC.BC.BBBB1 1BC=BBC=B，F(xiàn)BFB1 1平面平面BC
31、CBCC1 1B B1 1. .1BB BC 1FB111FB BB0FB BC0. ，(3)(3)由由(2)(2)知，知， 為平面為平面BCCBCC1 1B B1 1的一個法向量，的一個法向量，設(shè)設(shè)n=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )為平面為平面FCCFCC1 1的一個法向量，的一個法向量，又又 =(0,-a,a), =(-a,2a,0).=(0,-a,a), =(-a,2a,0).由由令令y y1 1=1,=1,則則x x1 1=2,z=2,z1 1=1,=1,n=(2,1,1),=(2,1,1), 即二面角即二面角F-CCF-CC1 1-B-B的余弦值為的余弦值為1FB
32、1CC FC11111ayaz0,CC0ax2ay0.FC0 ，得，nn1cosFB ,n11FB33|FB |，nn3.32.2.如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACBCACBC，AC=BC=1AC=BC=1，CCCC1 1=2,=2,點點D D，E E分別是分別是AAAA1 1，CCCC1 1的中點的中點. . (1)(1)求證：求證：AEAE平面平面BCBC1 1D.D.(2)(2)證明：平面證明：平面BCBC1 1DD平面平面BCD.BCD.(3)(3)求求CDCD與平面與平面BCBC1 1D D所成角的正切值所成角的正切值.
33、.【解析【解析】(1)(1)在矩形在矩形ACCACC1 1A A1 1中，中，由由C C1 1EAD,CEAD,C1 1E=ADE=AD，得四邊形得四邊形AECAEC1 1D D是平行四邊形，是平行四邊形，所以所以AEDCAEDC1 1. .又又AEAE 平面平面BCBC1 1D D，C C1 1D D平面平面BCBC1 1D D，所以所以AEAE平面平面BCBC1 1D.D.(2)(2)在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BCCCBCCC1 1，ACBCACBC，CCCC1 1AC=CAC=C，所以所以BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1，
34、而而C C1 1D D平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以，所以BCCBCC1 1D.D.在矩形在矩形ACCACC1 1A A1 1中，中，從而從而DCDC2 2+DC+DC1 12 2=CC=CC1 12 2，11DCDC2CC2，所以所以C C1 1DDCDDC，又又DCBC=CDCBC=C，所以，所以C C1 1DD平面平面BCDBCD，而而C C1 1D D平面平面BCBC1 1D D，所以平面所以平面BCBC1 1DD平面平面BCD.BCD.(3)(3)方法一方法一: :由由(2)(2)可知平面可知平面BCBC1 1DD平面平面BCDBCD，所以，斜線，所以，斜線CDCD在平
35、面在平面BCBC1 1D D上的射影在上的射影在BDBD上，上，BDCBDC即為直線即為直線CDCD與平面與平面BCBC1 1D D所成的角所成的角. .又由又由(2)(2)可知，可知，BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以，所以，BCCDBCCD，所以，三角形所以，三角形BCDBCD是直角三角形，是直角三角形，BC=1,CD= BC=1,CD= 所以所求值為所以所求值為2.22，方法二：以方法二：以C C1 1為原點，射線為原點，射線C C1 1A A1 1，C C1 1B B1 1,C,C1 1C C為為x,y,zx,y,z軸的正半軸軸的正半軸建立空間直角坐標系，建立空間直角
36、坐標系，則則C(0,0,2),D(1,0,1),CC(0,0,2),D(1,0,1),C1 1(0,0,0),B(0,1,2)(0,0,0),B(0,1,2)，則，則 =(-1,0,1)=(-1,0,1)， =(1=(1，0 0，1)1)， =(0=(0，-1-1，-2).-2).設(shè)平面設(shè)平面BCBC1 1D D的一個法向量為的一個法向量為n=(x,y,1)=(x,y,1)，由由n =0, =0,得得x+1=0 x+1=0，由由n =0, =0,得得y+2=0y+2=0， DC 1C D 1BC 1C D 1BC 由以上兩式解得由以上兩式解得x=-1,y=-2,x=-1,y=-2,n=(-1,
37、-2,1)=(-1,-2,1)，設(shè)設(shè)n與與 的夾角為的夾角為，則則即即CDCD與平面與平面BCBC1 1D D所成角的正弦值為所成角的正弦值為 故所求值為故所求值為DCcosDC nn222222( 1, 2,1)1,0,11,3121101 33，2.2DC 3.3.如圖，在長方體如圖，在長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AD=AAAD=AA1 1=1=1，AB=2.AB=2.(1)(1)證明：當點證明：當點E E在棱在棱ABAB上移動時，上移動時，D D1 1EAEA1 1D.D.(2)(2)在棱在棱ABAB上是否存在點上是否存在點E E，使二
38、面角，使二面角D D1 1-EC-D-EC-D的平面角為的平面角為 ？若存在，求出若存在，求出AEAE的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由. .6【解析【解析】以以D D為原點，為原點，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直線分別為所在直線分別為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則則D(0D(0，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，A A1 1(1(1，0 0，1)1)，D D1 1(0(0，0 0，1).1).設(shè)設(shè)E(1,yE(1,y0 0,0)(0y,0)(0y0 02).2).(1) =(1,
39、y(1) =(1,y0 0,-1), =(-1,0,-1),-1), =(-1,0,-1),則則 =(1=(1，y y0 0,-1),-1)(-1,0,-1)=0,(-1,0,-1)=0, 即即D D1 1EAEA1 1D.D.1D E 1A D 11D E A D 11D EA D, (2)(2)當當AE= AE= 時，二面角時，二面角D D1 1-EC-D-EC-D的平面角為的平面角為 =(-1 =(-1，2-y2-y0 0,0), =(0,2,-1),0), =(0,2,-1),設(shè)平面設(shè)平面D D1 1ECEC的一個法向的一個法向量為量為n1 1=(x,y,z=(x,y,z),),則則
40、取取y=1y=1，則，則n1 1=(2-y=(2-y0 0,1,2),1,2)是是平面平面D D1 1ECEC的一個法向量的一個法向量. .323.61011n EC0,xy 2y0,2yz0.n D C0 即，EC 1D C 而平面而平面ECDECD的一個法向量為的一個法向量為n2 2= =(0= =(0，0 0，1)1)，要使二面角，要使二面角D D1 1-EC-D-EC-D的平面角為的平面角為則則解得解得當當 時，二面角時，二面角D D1 1-EC-D-EC-D的平面角為的平面角為1DD ,6121212coscos,6| |n nn nnn222023,22y12003y20y2 .33AE23.6
高中數(shù)學 小專題復(fù)習課（四）立體幾何課件 理 新人教A版
