新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 專題突破練1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題 理 北師大版

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1、 1 1專題突破練(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題(對應(yīng)學(xué)生用書第231頁)1已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(a,f(a)處與直線yb相切,求a與b的值;(2)若曲線yf(x)與直線yb有兩個不同交點,求b的取值范圍解由f(x)x2xsin xcos x,得f(x)x(2cos x)(1)因為曲線yf(x)在點(a,f(a)處與直線yb相切,所以f(a)a(2cos a)0,bf(a)解得a0,bf(0)1.(2)令f(x)0,得x0.當(dāng)x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下:x(,0)0(0,)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(,0)上單

2、調(diào)遞減,在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1時,曲線yf(x)與直線yb最多只有一個交點;當(dāng)b1時,f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b,f(0)1b,所以存在x1(2b,0),x2(0,2b),使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(,0)和(0,)上均單調(diào),所以當(dāng)b1時,曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個不同交點綜上可知,如果曲線yf(x)與直線yb有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,)2設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)ex2x2a,xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)求證:當(dāng)aln 21且x0時,exx22ax1.解(1)由f(x)ex

3、2x2a,xR,知f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln 2.于是當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,ln 2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2,),f(x)在xln 2處取得極小值,極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)證明:設(shè)g(x)exx22ax1,xR,于是g(x)ex2x2a,xR.由(1)知當(dāng)aln 21時,g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR,都有g(shù)(x)0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln 21時

4、,對任意x(0,),都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0,從而對任意x(0,),都有g(shù)(x)0.即exx22ax10,故當(dāng)aln 21且x0時,exx22ax1.3(20xx蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且f(x)f(1)xxln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若kZ,且f(x)k(x1)對任意的x(1,)都成立,求k的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號:79140098】解(1)f(x)f(1)1ln x(x0),所以f(1)f(1)1,即f(1)2,所以f(x)xxln x,f(x)2ln x,令f(x)2ln x0,解得0xe2,即當(dāng)x(0,e2)時,f(x)0,當(dāng)x(e2,)時,f

5、(x)0,所以函數(shù)f(x)在(0,e2)上單調(diào)遞減,在(e2,)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在xe2處取得極小值f(e2)e2,沒有極大值(2)由(1)及題意,知k對任意的x(1,)都成立,令g(x)(x1),則g(x),令h(x)xln x2(x1),則h(x)10,所以函數(shù)h(x)在(1,)上為增函數(shù),因為h(3)1ln 30,h(4)2ln 40,所以方程h(x)0存在唯一實根x0,即ln x0x02,x0(3,4)所以當(dāng)1xx0時,h(x)0,即g(x)0,當(dāng)xx0時,h(x)0,即g(x)0,所以函數(shù)g(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,所以g(x)ming(x0

6、)x0,所以kg(x)minx0,x0(3,4),又因為kZ,故k的最大值為3.4(20xx山東高考)已知函數(shù)f(x)x3ax2,aR.(1)當(dāng)a2時,求曲線yf(x)在點(3,f(3)處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值解(1)由題意f(x)x2ax,所以當(dāng)a2時,f(3)0,f(x)x22x,所以f(3)3,因此,曲線yf(x)在點(3,f(3)處的切線方程是y3(x3),即3xy90.(2)因為g(x)f(x)(xa)cos xsin x,所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(

7、xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x,則h(x)1cos x0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增因為h(0)0,所以當(dāng)x0時,h(x)0;當(dāng)x0時,h(x)0.當(dāng)a0時,g(x)(xa)(xsin x),當(dāng)x(,a)時,xa0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(a,0)時,xa0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xa時,g(x)取到極大值,極大值是g(a)a3sin a;當(dāng)x0時,g(x)取到極小值,極小值是g(0)a.當(dāng)a0時,g(x)x(xsin x),當(dāng)x(,)時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)在(,)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值當(dāng)a0時,g(x)(xa)(xsin x),當(dāng)x(,0)時,xa0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(0,a)時,xa0,g(x)0,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時,g(x)取到極大值,極大值是g(0)a;當(dāng)xa時,g(x)取到極小值,極小值是g(a)a3sin a.綜上所述:當(dāng)a0時,函數(shù)g(x)在(,0)和(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)a,極小值是g(a)a3sin a.

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