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1、 1 1專題一集合、常用邏輯用語、向量、復數(shù)、算法、合情推理、不等式及線性規(guī)劃第一講集合與常用邏輯用語 必記公式1ABAAB.2ABABA.3若集合A的元素有n個，則A的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)為2n1，非空真子集的個數(shù)為2n2.重要結(jié)論1四種命題間的關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系；(2)一個命題的逆命題與它的否命題同真同假2充分、必要條件設集合Ax|x滿足條件p，Bx|x滿足條件q，則有從邏輯觀點看從集合觀點看p是q的充分不必要條件(pq，qp)ABp是q的必要不充分條件(qp，pq)BAp是q的充要條件(pq)ABp
2、是q的既不充分也不必要條件(pq，qp)A與B互不包含3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題pq，只要p，q有一真，即為真；命題pq，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題(2)命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q)4全稱命題與特稱命題(1)全稱命題p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0)(2)特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x)失分警示1忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分類討論時要注意“優(yōu)先”的原則2集合含義理解錯誤：集合x|yf(x)，y|yf(x)，(x，y)|yf(x)中代表元素意義不同，
3、前兩個是數(shù)集，第三個是點集3判斷充分條件和必要條件時，不能準確判斷哪個是“條件”，哪個是“結(jié)論”4對全稱命題和特稱命題進行否定時，忘記“”與“”的變化；混淆命題的否定與否命題考點集合的概念及運算典例示法題型1集合的交、并、補運算典例1(1)20xx四川高考設集合Ax|2x2，Z為整數(shù)集，則集合AZ中元素的個數(shù)是()A3 B4C5 D6解析由集合Ax|2x2，易知AZ2，1，0,1,2，故選C.答案C(2)20xx浙江高考已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，則(RP)Q()A0,1) B(0,2C(1,2) D1,2解析RPx|0x2，故(RP)Qx|1x0，給出下列結(jié)論：命題“pq”是真命
4、題；命題“p(綈q)”是假命題；命題“(綈p)q”是真命題；命題“(綈p)(綈q)”是假命題其中正確的結(jié)論是()A BC D解析1，命題p是假命題x2x120，命題q是真命題，由真值表可以判斷“pq”為假，“p(綈q)”為假，“(綈p)q”為真，“(綈p)(綈q)”為真，所以只有正確，故選A.答案A命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識辨別(2)四種命題真假的判斷依據(jù)：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無關(guān)(3)形如pq，pq，綈p命題的真假根據(jù)真值表判定(4)全稱命題與特稱(存在性)命題真假的判定：全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M
5、中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；特稱(存在性)命題：要判定一個特稱(存在性)命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可，否則，這一特稱(存在性)命題就是假命題針對訓練120xx遼寧高考設a，b，c是非零向量已知命題p：若ab0，bc0，則ac0；命題q：若ab，bc，則ac.則下列命題中真命題是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)答案A解析由題意知命題p為假命題，命題q為真命題，所以pq為真命題故選A.220xx貴州七校聯(lián)考以下四個命題中，真命題的個數(shù)是()“若ab2，則a，b中至少有一個不小于1”的
6、逆命題；存在正實數(shù)a，b，使得lg (ab)lg alg b；“所有奇數(shù)都是素數(shù)”的否定是“至少有一個奇數(shù)不是素數(shù)”；在ABC中，AB是sinAsinB的充分不必要條件A0 B1C2 D3答案C解析對于，原命題的逆命題為：若a，b中至少有一個不小于1，則ab2，而a2，b2滿足a，b中至少有一個不小于1，但此時ab0，故是假命題；對于，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，知當ab2時，lg (ab)lg alg b，故是真命題；對于，易知“所有奇數(shù)都是素數(shù)”的否定就是“至少有一個奇數(shù)不是素數(shù)”，故是真命題；對于，根據(jù)題意，結(jié)合邊角的轉(zhuǎn)換，以及正弦定理，可知ABab(a，b為角A，B所對的邊)2RsinA2Rs
7、inB(R為ABC外接圓的半徑)sinAsinB，故AB是sinAsinB的充要條件，故是假命題，選C.考點充要條件的判定典例示法典例4(1)20xx四川高考設p：實數(shù)x，y滿足(x1)2(y1)22，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析取xy0滿足條件p，但不滿足條件q，反之，對于任意的x，y滿足條件q，顯然必滿足條件p，所以p是q的必要不充分條件，選A.答案A(2)20xx唐山統(tǒng)考“k9”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析方程1表示雙曲線，(25k)(k9)0，
8、k25，“k9”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.答案A(2)題中將“k9”，將“雙曲線”改為“橢圓”，那么正確答案是()答案B解析方程1表示橢圓，則即9k9是方程1為橢圓的必要不充分條件，故選B.判斷充分、必要條件的方法及關(guān)注點(1)充分、必要條件的判斷方法先判斷pq與qp是否成立，然后再確定p是q的什么條件(2)判斷充分、必要條件時的關(guān)注點要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行，可以嘗試通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明要注意
9、轉(zhuǎn)化：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，那么p是q的充要條件針對訓練120xx天津高考設xR，則“|x2|0”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析|x2|11x211x0x1.由于(1,3)(，2)(1，)，所以“|x2|0”的充分而不必要條件220xx北京高考設，是兩個不同的平面，m是直線且m.則“m”是“”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析若m且m，則平面與平面不一定平行，有可能相交；而m且一定可以推出m，所以“m”是“”的必要而不充分條件
10、 全國卷高考真題調(diào)研120xx全國卷設集合Ax|x24x30，則AB()A. B.C. D.答案D解析由題意得Ax|1x2n，則綈p為()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n答案C解析命題p是一個特稱命題，其否定是全稱命題，故選C.320xx全國卷不等式組的解集記為D.有下面四個命題：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命題是()Ap2，p3 Bp1，p2Cp1，p4 Dp1，p3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域D如下圖陰影區(qū)域所示設zx2y，作出基本直線l0：x2y0，
11、經(jīng)平移可知直線l：zx2y經(jīng)過點A(2，1)時z取得最小值0，無最大值對于命題p1：由于z的最小值為0，所以(x，y)D，x2y0恒成立，故x2y2恒成立，因此命題p1為真命題；由于(x，y)D，x2y0，故(x，y)D，x2y2，因此命題p2為真命題；由于zx2y的最小值為0，無最大值，故命題p3與p4錯誤，故選B.其它省市高考題借鑒420xx浙江高考命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2答案D解析根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選D.520xx天津高考已知全集U1,2,3,
12、4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，則集合AUB()A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8答案A解析由已知得UB2,5,8，AUB2,5，故選A.620xx安徽高考設p：1x1，則p是q成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析q：2x1x0，且(1,2)(0，)，所以p是q的充分不必要條件一、選擇題120xx鄭州質(zhì)檢設全集UxN*|x4，集合A1,4，B2,4，則U(AB)()A1,2,3 B1,2,4C1,3,4 D2,3,4答案A解析因為U1,2,3,4，AB4，所以U(AB)1,2,3，故選A.
13、220xx沈陽質(zhì)檢設全集UR，集合Ax|ylg x，B1,1，則下列結(jié)論正確的是()AAB1 B(RA)B(，0)CAB(0，) D(RA)B1答案D解析集合Ax|x0，從而A、C錯，RAx|x0，則(RA)B1，故選D.320xx福建高考若集合Ai，i2，i3，i4(i是虛數(shù)單位)，B1，1，則AB等于()A1 B1C1，1 D答案C解析因為Ai，1，i,1，B1，1，所以AB1，1，故選C.420xx遼寧五校聯(lián)考設集合Mx|x23x21Cx|x1 Dx|x2答案A解析因為Mx|x23x20x|2x0，“x1”是“x2”的充分不必要條件，故選A.620xx西安質(zhì)檢已知命題p：xR，log2(
14、3x1)0，則()Ap是假命題；綈p：xR，log2(3x1)0Bp是假命題；綈p：xR，log2(3x1)0Cp是真命題；綈p：xR，log2(3x1)0Dp是真命題；綈p：xR，log2(3x1)0答案B解析本題主要考查命題的真假判斷、命題的否定3x0，3x11，則log2(3x1)0，p是假命題；綈p：xR，log2(3x1)0.故應選B.720xx廣州模擬下列說法中正確的是()A“f(0)0”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件B若p：x0R，xx010，則綈p：xR，x2x10，則綈p：xR，x2x10，所以B錯誤；p，q只要有一個是假命題，則pq為假命題，所以C錯誤；否命題是將原命
15、題的條件和結(jié)論都否定，D正確8下列四個命題中正確命題的個數(shù)是()對于命題p：xR，使得x2x10；m3是直線(m3)xmy20與直線mx6y50互相垂直的充要條件；已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，則線性回歸方程為1.23x0.08；若實數(shù)x，y1,1，則滿足x2y21的概率為.A1 B3C4 D5答案A解析錯，應當是綈p：xR，均有x2x10；錯，當m0時，兩直線也垂直，所以m3是兩直線垂直的充分不必要條件；正確，將樣本點的中心的坐標代入，滿足方程；錯，實數(shù)x，y1,1表示的平面區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4，而x2y20時，不等式ln xx1與ln x1等
16、價；命題q：不等式exx1與ln (x1)x等價；命題r：“b24ac0”是“函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)有極值點”的充要條件；命題s：若對任意的x，不等式a0，ln xx1，得ln 1，即ln x1，故命題p為真命題；由于x的取值范圍不同，故命題q是假命題；當b24ac0時，函數(shù)f(x)無極值點，故命題r是假命題；設h(x)，由于函數(shù)h(x)在上是減函數(shù)，故，a，即命題s是真命題根據(jù)復合命題的真值表可知選A.1020xx武昌調(diào)研“a0”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析本題主
17、要考查函數(shù)的單調(diào)性與充要條件當a0時，f(x)|x|在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，函數(shù)f(x)|(ax1)x|的圖象大致如圖：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上有增有減，從而a0是函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的充要條件，故選C.二、填空題1120xx山東高考若“x，tanxm”是真命題，則實數(shù)m的最小值為_答案1解析由已知可得mtanx恒成立設f(x)tanx，顯然該函數(shù)為增函數(shù)，故f(x)的最大值為ftan1，由不等式恒成立可得m1，即實數(shù)m的最小值為1.1220xx貴陽監(jiān)測已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件：若a
18、1A，則a2A；若a3A，則a2A；若a3A，則a4A.則集合A_.(用列舉法表示)答案a2，a3解析若a1A，則a2A，則由若a3A，則a2A可知，a3A，假設不成立；若a4A，則a3A，則a2A，a1A，假設不成立，故集合Aa2，a313已知命題p：實數(shù)m滿足m212a20)，命題q：實數(shù)m滿足方程1表示焦點在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為_答案解析由a0，m27am12a20，得3am4a，即命題p：3am0.由1表示焦點在y軸上的橢圓，可得2mm10，解得1m，即命題q：1m.因為p是q的充分不必要條件，所以或解得a，所以實數(shù)a的取值范圍是.1420xx山東臨沂高三模擬已知命題p：|x1|x1|3a恒成立，命題q：y(2a1)x為減函數(shù)，若“p且q”為真命題，則a的取值范圍是_答案解析由絕對值不等式得|x1|x1|(x1)(x1)|2，當且僅當1x1時等號成立，即|x1|x1|的最小值為2.若不等式|x1|x1|3a恒成立，則3a2，即a.若函數(shù)y(2a1)x為減函數(shù)，則02a11，即a1，由“p且q”為真命題知命題p，q均為真命題，因此有即a，故a的取值范圍是.
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