中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 操作與探究

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1、操作與探究1、（13年北京5分22）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當AFQ=BGM=CHN=DEP=45時，求正方形MNPQ的面積。小明發(fā)現(xiàn)：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為_；（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再

2、分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊RPQ，若，則AD的長為_。解析：考點：操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、全等三角形）2、（2013成都市）如圖，為上相鄰的三個等分點，弧，點在弧上，為的直徑，將沿折疊，使點與重合，連接，.設(shè)，.先探究三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當時， .請繼續(xù)探究三者的數(shù)量關(guān)系：當時，_；當時，_.（參考數(shù)據(jù)：，）答案：；或解析：3、（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點，點E是AC的中點。（1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。作DAC的平分線AM

3、。連接BE并延長交AM于點F?！窘馕觥拷猓鹤鲌D正確，并有痕跡。連接BE并延長交AM于點F。（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由?！窘馕觥拷猓篈FBC且AF=BC理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C由作圖可知：DAC=2FACC=FAC.AFBC.E是AC的中點， AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC.4、（13年山東青島、23）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖和圖發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式第23題圖第23題圖這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化?！狙芯克偎?/p>

4、】第23題圖提出問題：4743，5654，7971，是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以4743為例：（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖，將這個4743的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，4743的矩形面積或（4073）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743（4010）403754100372021用文字表述4743的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果歸納提煉：

5、兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）_第23題圖【研究方程】提出問題：怎么圖解一元二次方程幾何建模：（1）變形：（2）畫四個長為，寬為的矩形，構(gòu)造圖（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，或四個長，寬的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積即： 歸納提煉：求關(guān)于的一元二次方程的解要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關(guān)線段的長）【研究不等關(guān)系】提出問題：怎么運用矩形面積表示與的大小關(guān)系（其中）？幾何建模：第23題圖（1）畫長，寬的矩形，按圖方式分割（2）變形：（3）分析：圖中大矩形的面積可以

6、表示為；陰影部分面積可以表示為，畫點部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：，即歸納提煉：當，時，表示與的大小關(guān)系根據(jù)題意，設(shè)，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關(guān)線段的長）解析：5、(2013年江西省)某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：操作發(fā)現(xiàn)： 在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DFAB于點F，EGAC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可） AF=AG=AB；MD=ME；整個圖形是軸對稱圖形；DAB=

7、DMB數(shù)學(xué)思考： 在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；類比探索： 在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷MED的形狀 答： 【答案】 解：操作發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)思考：答：MD=ME，MDME， 、MD=ME；如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，M是BC的中點，MFAC，MF=AC又EG是等腰RtAEC斜邊上的中線，EGAC且EG=AC，MF=EG同理可證D

8、F=MGMFAC，MFABAC=180同理可得MGA+BAC=180，MFA=MGA又EGAC，EGA=90同理可得DFA=90，MFA+DFA=MGA=EGA，即DFM=MEG，又MF=EG，DF=MG，DFMMGE（SAS），MD=ME 2、MDME；證法一：MGAB，MFA+FMG=180，又DFMMGE，MEG=MDF.MFA+FMD+DME+MDF=180，其中MFA+FMD+MDF=90，DME=90.即MDME；證法二：如圖2，MD與AB交于點H，ABMG，DHA=DMG，又DHA=FDM+DFH,即DHA=FDM+90,DMG=DME+GME，DME=90即MDME；類比探究答

9、：等腰直角三解形【考點解剖】 本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識，能力要求很高【解題思路】 （1） 由圖形的對稱性易知、都正確，DAB=DMB=45也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系，一般由全等證線段相等，受圖1DFMMGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點構(gòu)造全等來證MD=ME，證MDME就是要證DME=90，由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四個角相加為180，F(xiàn)MG可看成三個角的和，通過變形計算可得DME=90 （3）只要結(jié)論，不要過程，在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.【解答過程】 略.【方法規(guī)律】 由

10、特殊到一般，形變但本質(zhì)不變（仍然全等）【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開放探究6、（2013山西，25，13分）（本題13分）數(shù)學(xué)活動求重疊部分的面積。問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G。求重疊部分（DCG）的面積。（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。【解析】解：ACB=90D是AB的中點,（25題（1）DC=DB=DA,B=DCB又ABCFDE，F(xiàn)DE=BFDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90DGAC又DC=DA

11、,G是AC的中點,CG=AC=8=4,DG=BC=6=3SDCG=CGDG=43=6（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DEAB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖(2)，你能求出重疊部分(DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。【解析】解法一：（25題（2）ABCFDE,B=1C=90,EDAB,A+B=90, A+2=90,B=2,1=2GH=GDA+2=90,1+3=90A=3,AG=GD，AG=GH點G是AH的中點，在RtABC中，AB= 10D是AB的中點，AD=AB=5在ADH與ACB中，A =A，ADH=ACB=90,ADHACB, =,=,DH=,SDG

12、HSADHDHAD=5=（25題（2）解法二：同解法一，G是AH的中點，連接BH，DEAB，D是AB的中點，AH=BH，設(shè)AH=x則CH-在RtBCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=SABH=AHBC=6=（25題（2）S=SADH= SABH=.解法三：同解法一，1=2連接CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB，DGHBDC, 作DMAC于點M，CNAB于點N，D是AB的中點，ACB=90CD=AD=BD，點M是AC的中點，DM=BC=6=3在RtABC中，AB=10，ACBC=ABCN，CN.DGHBDC, ,=（3）提出問題：老師要求各小組向

13、“希望”小組學(xué)習(xí)，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題。“愛心”小組提出的問題是：如圖(3)，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分(DMN)的面積、任務(wù)：請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出DMN的面積是 請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。（25題（3）（25題（4） 【答案】注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DEBC于點M，DF交AC于點N，求重疊部

14、分（四邊形DMCN）的面積。7、（2013達州）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。FF原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。（1）思路梳理AB=CD，把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG，可使AB與AD重合。ADC=B=90，F(xiàn)DG=180，點F、D、G共線。根據(jù)_SAS_，易證AFG_AFE_，得EF=BE+DF。（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90點E、F分別在邊BC、CD上，EAF=45。若B、D都不是直角，則當B與D滿足等量關(guān)

15、系_互補_時，仍有EF=BE+DF。（3）聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且DAE=45。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。 解：BD2+EC2=DE2解析：(1)SAS(1分） AFE(2分）(2)B+D=180(4分）(3)解：BD2+EC2=DE2.(5分）AB=AC，把ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90至ACG，可使AB與AC重合.ABC中，BAC=90.ACB+ACG=ACB+B=90,即ECG=90.EC2+CG2=EG2.(7分）在AEG與AED中,EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD,又AD=

16、AG，AE=AE，AEGAED.DE=EG.又CG=BD,BD2+EC2=DE2.(9分）8、（2013陜西壓軸題）問題探究（1）請在圖中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；（2）如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.問題解決（3）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.圖圖ABCDMB圖ACDP（第25題圖）考點：本題陜

17、西近年來考查的有：折疊問題，勾股定理，矩形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，面積問題及最值問題，位似的性質(zhì)應(yīng)用等。此題考查對圖形的面積等分問題。解析：此題主要考查學(xué)生的閱讀問題的能力，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉(zhuǎn)化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發(fā)現(xiàn)關(guān)系到一般的知識遷移的過程。（1）問較易解決，圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達到目的。（2）問中其實在八年級學(xué)習(xí)四邊形時好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉(zhuǎn)的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。（3）

18、問中可以考慮構(gòu)造（1）（2）中出現(xiàn)的特殊四邊形來解決。也可以用中點的性質(zhì)來解決。在中學(xué)數(shù)學(xué)中中點就有兩個方面的應(yīng)用，一是中線（倍長中線構(gòu)造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應(yīng)用。解：（1）如圖所示（2）如圖，連接AC、BD相交于點O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點，過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.理由如下：答圖ABCDM（第25題答案圖）答圖OPQFE點O是正方形ABCD對角線的交點，點O是正方形ABCD的對稱中心AP=CQ，EB=DF，D在AOP和EOB中，AOP=90-AOE，BOE=90-AOEAOP=BOEO

19、A=OB，OAP=EBO=45AOPEOBAP=BE=DF=CQ AE=BQ=CF=PD設(shè)點O到正方形ABCD一邊的距離為.直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分另解：點O是正方形ABCD對角線的交點，點O是正方形ABCD的中心OA=OB=OC=OD OAP=OBE=OCQ=ODF=45PQEF，POD+DOF=90，POD+POA=90POA=DOF同理：POA=DOF=BOE=COQAOPBOECOQDOF直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分（3）B答圖ACDP（第25題答案圖）MQFE存在.當BQ=CD=時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖，延長BA至點E，使AE=，

20、延長CD至點F，使DF=，連接EF.BECF，BE=CF 四邊形BCFE為平行四邊形，BC=BE=+，平行四邊形DBFE為菱形連接BF交AD于點M，則MABMDFAM=DM.即點P、M重合.點P是菱形EBCF對角線的交點，在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=.設(shè)點P到菱形EBCF一邊的距離為所以當BQ=時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.另解：存在.當BQ=CD=時，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：如圖，連接BP并延長BP交CD延長線于點F，連接CP點P是AD的中點，PA=PDABCD，ABP=DFP，APB=DPF APBDPFB答圖ACDP（第25題答案圖）QFAB=DF，PB=PF，所以CP是CBF的中線，AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，CBF=CFBABP=DFPABP=CBP即PB是角平分線.點P到AB與CB的距離相等，BQ=，所以CQ=AB= 所以當BQ=時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分. 19學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改