2018年高考數(shù)學二輪復習 專題24 數(shù)學思想方法教學案 理

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1、專題24 數(shù)學思想方法 函數(shù)與方程思想在高考中也是必考內容，特別是在函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等處都可能考到，幾乎大多數(shù)年份高考中大題都會涉及到因此認真體會函數(shù)與方程思想是成功高考的關鍵在高考題中，數(shù)形結合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學知識的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結合的簡捷、靈活特點的多是填空小題。因為對數(shù)形結合等思想方法的考查，是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質和數(shù)學技能的考查，是新課標高考明確的一個命題方向。分類討論思想是歷年高考的必考內容，它不僅是高考的重點和熱點，也是高考的考點，高考中經(jīng)常會有一道解答題，解題思路直

2、接依賴于分類討論預測以后的高考，將會一如既往地考查分類討論思想，特別在解答題中(尤其導數(shù)與函數(shù))，將有一道進行分類、求解的把關題，選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論求解題化歸與轉化的思想在高考中必然考到，主要可能出現(xiàn)在立體幾何的大題中，將空間立體幾何的問題轉化為平面幾何問題，解析幾何大題中求范圍問題的題轉化為求函數(shù)值域范圍問題等，總之將復雜問題轉化為簡單問題是高考中解決問題的重要思想方法 一、函數(shù)與方程思想一般地，函數(shù)思想就是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質解題，經(jīng)常利用的性質是：單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和巧用函

3、數(shù)的性質，是應用函數(shù)思想的關鍵，它廣泛地應用于方程、不等式、數(shù)列等問題1方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關的量)設成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或對方程(組)進行研究，使問題得到解決2方程思想與函數(shù)思想密切相關：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進行研究，方程f(x)a有解，當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域函數(shù)與方程的這種相互轉化關系十分重要可用函數(shù)與方程思想解決的相關問題1函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：(1)借助有關初等函數(shù)的性質，解有

4、關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的2方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面：(1)解方程或解不等式；(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用；(3)需要轉化為方程的討論，如曲線的位置關系等；(4)構造方程或不等式求解問題二、數(shù)形結合的數(shù)學思想數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作

5、為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。應用數(shù)形結合的思想，應注意以下數(shù)與形的轉化：數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構建函數(shù)模型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍；(3)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；(4)構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構建方程模型，求

6、根的個數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等常見適用數(shù)形結合的兩個著力點是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結構特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系；借助于運算結果與幾何定理的結合。數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度具體操作時，應注意以下幾點：(1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是

7、兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學問題時，能夠將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖象有機結合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。1數(shù)形結合的途徑（1）通過坐標系形題數(shù)解借助于建立直角坐標系、復平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強調的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧（這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數(shù)推理

8、）實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；函數(shù)與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。常見方法有：解析法：建立適當?shù)淖鴺讼担ㄖ苯亲鴺讼?，極坐標系），引進坐標將幾何圖形變換為坐標間的代數(shù)關系。三角法：將幾何問題與三角形溝通，運用三角代數(shù)知識獲得探求結合的途徑。向量法：將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。（2）通過轉化構造數(shù)題形解許多

9、代數(shù)結構都有著對應的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進行巧妙地轉化.例如，將a0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b22與余弦定理溝通，將abc0且b+ca中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序實數(shù)對（或復數(shù)）和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應的圓錐曲線對應等等.這種代數(shù)結構向幾何結構的轉化常常表現(xiàn)為構造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。常見的轉換途徑為：方程或不等式問題?？梢赞D化為兩個圖象的交點位置關系的問題，并借助函數(shù)的圖象和性質解決相關的問題。

10、利用平面向量的數(shù)量關系及模的性質來尋求代數(shù)式性質。（3）構造幾何模型。通過代數(shù)式的結構分析，構造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。（4）利用解析幾何中的曲線與方程的關系，重要的公式（如兩點間的距離，點到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關性質。2數(shù)形結合的原則（1）等價性原則在數(shù)形結合時，代數(shù)性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導。（2）雙向性原則在數(shù)形結合時，既要進行

11、幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復雜的問題簡單化。（3）簡單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。三、分類討論的思想分類討論思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的

12、思想策略對問題實行分類與整合，分類標準等于是增加的一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度1由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等2由性質、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等3由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等4由圖形的不確定性引起的分類討論：有

13、的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等5由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法6由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用四、化歸與轉化的思想1、化歸與轉化的思想方法解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換， 將原問題轉化為一個新問題(相對來說，是自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸

14、與轉化的思想方法”2 、化歸與轉化的思想方法應用的主要方向化歸與轉化思想的實質是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化除極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現(xiàn)的從這個意義上講，解決數(shù)學問題就是從未知向已知轉化的過程化歸與轉化思想是解決數(shù)學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程數(shù)學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數(shù)與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化，超越式向代數(shù)式的轉化，函數(shù)與方程的轉化等，都是轉化思想的體現(xiàn)3、等價轉化和非等價轉化轉化有等價轉化和非等價轉化之分

15、等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性；在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證 考點一、運用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問題例1若函數(shù)f(x)3logax，x2(x6，x2，)(a0，且a1)的值域是4，)，則實數(shù)a的取值范圍是_ 解析 由題意f(x)的圖象如右圖，則3loga24，(a1，)1a2.答案 (1，2【變式探究】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為( ) Ay2(1)x32(1)x2xBy2(1)x32(1)

16、x23xCy4(1)x3xDy4(1)x32(1)x22x 考點二、運用函數(shù)與方程思想解決方程問題例2、設函數(shù)f(x)2x，x1，(3x1，x1，)則滿足f(f(a)2f(a)的a取值范圍是( )A.，1(2) B0，1C.，(2) D1, ) 答案 C【規(guī)律方法】研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構建函數(shù)，將方程有解轉化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復雜方程問題轉化為熟悉的二次方程，進而利用二次方程解的分布情況構建不等式或構造函數(shù)加以解決 【變式探究】已知函數(shù)f(x)（x2）2，x2，(2|x|，x2，)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR，若函

17、數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是( )A.，(7) B.4(7)C.4(7) D.，2(7)解析 記h(x)f(2x)在同一坐標系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：yx4，當直線lAB且與f(x)的圖象相切時，由y（x2）2，(yxb，) 解得b4(9)，4(9)(4)4(7)，所以曲線h(x)向上平移4(7)個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個公共點，平移2個單位后，兩圖象有無數(shù)個公共點，因此，當4(7)b2時，f(x)與g(x)的圖象有四個不同的交點，即yf(x)g(x)恰有4個零點選D.答案 D考點三、運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題例3已知函數(shù)f(x)

18、x2，xa，(x3，xa，)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_解析 若0a1時，函數(shù)f(x)x2（xa）(x3（xa），)在R上遞增，若a1或a0時，由圖象知yf(x)b存在b使之有兩個零點，故a(，0)(1，)答案 (，0)(1，)【規(guī)律方法】(1)在解決值的大小比較問題時，通過構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調性或圖象解決是一種重要思想方法 (2)在解決不等式恒成立問題時，一種重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質解決問題同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量

19、為變量，而待求范圍的量為參數(shù) (3)在解決不等式證明問題時，構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個熱點用導數(shù)來解決不等式問題時，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構造函數(shù)，然后借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性情況，再結合在一些特殊點處的函數(shù)值得到欲證的不等式【變式探究】設函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取到極值(1)求a，b的值；(2)若對于任意的x0，3都有f(x)c2成立，求c的取值范圍；(3)若方程f(x)c2有三個根，求c的取值范圍 (2)由(1)知函數(shù)yf(x)在x1處取到極大值f(1)58c，在x2處取到極小值f(2)48c.因為f(0)8c，f(3)98c，所

20、以當x0，3時，函數(shù)yf(x)的最大值是f(3)98c，所以要使對于任意的x0，3都有f(x)c2成立，需要f(3)98c0，解得c9. 考點四、運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題例4、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)yx2b(a)

21、(其中a，b為常數(shù))模型 (1)求a，b的值；(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度解 (1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5，40)，(20，2.5)將其分別代入yx2b(a)，得2.5，(a)解得b0.(a1 000，)(2)由(1)知，yx2(1 000)(5x20)，則點P的坐標為t2(1 000)，設在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，yx3(2 000)，則l的方程為yt2(1 000)t3(2 000)(xt)，由此得A，0(3t)，Bt2(3 000).故f(t

22、)2(3 000)2(3)t4(4106)，t5，20 【規(guī)律方法】解析幾何、立體幾何及其實際應用等問題中的最優(yōu)化問題，一般利用函數(shù)思想來解決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，再用函數(shù)的知識來解決【變式探究】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式(2)當m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。俊窘馕觥?1)設需要新建n個橋墩，(n

23、1)xm，即nx(m)1，所以yf(x)256n(n1)(2)x2561(m)x(m)(2)x x(256m)m2m256.(2)由(1)知，f(x)x2(256m)2(1)mx2(1)2x2(m)(x2(3)512)令f(x)0，得x2(3)512，所以x64.當0x64時f(x)0，f(x)在區(qū)間(0，64)內為減函數(shù)；當64x640時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64，640)內為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值，此時，nx(m)164(640)19.故需新建9個橋墩才能使y最小【小結反思】1函數(shù)與方程思想在許多容易題中也有很多體現(xiàn)2有很多時候可以將方程看成函數(shù)來研究，這就是函數(shù)

24、思想3有些時候可以將函數(shù)看成方程來研究，這就是最簡單的方程思想我們可以有意通過函數(shù)思想部分訓練提升自己的數(shù)學能力 考點五、 用數(shù)形結合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關性質問題例5、(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關系：f(x1)f(x1)；當x1，1時，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個數(shù)是( )A5個 B7個 C9個 D10個(2)設有函數(shù)f(x)a和g(x)3(4)x1，已知x4，0時恒有f(x)g(x)，求實數(shù)a的取值范圍 由圖象可知共9個交點，故選C. (2)f(x)g(x)，即a3(4)x1，變形得3(4)x1a， 令y，y3(4)x1a， 誤區(qū)警示：作圖時弄清ylg x的圖

25、象何時超過1，否則易造成結果錯誤【規(guī)律方法】(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù) (2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化的數(shù)量關系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答(3)函數(shù)的單調性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降，奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱

26、性，最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標【變式探究】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8，8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_ 【答案】8.考點六、用數(shù)形結合思想解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問題例6、 (1)已知x，y滿足條件16(x2)25(y2)1，求y3x的最大值與最小值(2)已知實數(shù)x，y滿足不等式組x0，(x2y24，)求函數(shù)zx1(y3)的值域思路點撥：(1)令by3x，即y3xb，視b為直線y3xb的截距，而直線與橢圓必有公共點，故相切時，b有最值(2)此題可

27、轉化成過點(1，3)與不等式組x0(x2y24，)表示區(qū)域的點的連線的斜率的范圍【解析】(1)令y3xb，則y3xb，原問題轉化為在橢圓16(x2)25(y2)1上找一點，使過該點的直線斜率為3，且在y軸上有最大截距或最小截距由圖可知，當直線y3xb與橢圓16(x2)25(y2)1相切時，有最大或最小的截距將y3xb代入16(x2)25(y2)1， 得169x296bx16b24000，令0，解得b13. 故y3x的最大值為13，最小值為13. 由圖顯見，過點P和點A(0，2)的直線斜率最大，zmax0（1）(2（3）)5.過點P向半圓作切線，切線的斜率最小設切點為B(a，b)，則過點B的切線

28、方程為axby4.又B在半圓周上，P在切線上，則有a3b4，(a2b24，)又a0，解得6因此zmin3(63).綜上可知函數(shù)的值域為，5(63).誤區(qū)警示：此題很容易犯的錯誤是由zx1(y3)得到點(1，3)的坐標時，很容易寫成(1，3)，所以做題時要看清順序【規(guī)律方法】如果參數(shù)、代數(shù)式的結構蘊含著明顯的幾何特征，一般考慮用數(shù)形結合的方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應有：(1)ykxb中k表示直線的斜率，b表示直線在y軸上的截距(2)am(bn)表示坐標平面上兩點(a，b)，(m，n)連線的斜率(3)表示坐標平面上兩點(a，b)，(m，n)之間的距離(4)導函數(shù)f(x0)表示曲線

29、在點(x0，f(x0)處切線的斜率只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應類型，就一定能得心應手地運用數(shù)形結合的思想方法【變式探究】已知x，y滿足條件16(x2)25(y2)1，求5x4y的最大值與最小值 考點七、數(shù)形結合思想在幾何中的應用例7、如圖所示，在三棱錐VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點，且ACBCa，VDC2(). (1)求證：平面VAB平面VCD；(2)當角變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍思路點撥：以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直線坐標系，用空間向量的坐標運算來證明面面垂直，及將線面角正弦值表示角的函數(shù)；再利

30、用函數(shù)思想求解【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直線坐標系則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，0(a)，Vatan (2). 又AB平面VAB.平面VAB平面VCD. 又(0，a，0)，于是sin |cosn，|tan2(2)2(2)|sin |.02()，0sin 1，0sin 2(2).又02()，04().即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為4().【規(guī)律方法】(1)應用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關系中的平行、垂直及點的空間位置其一般思路是：盡量建立空間直角坐標

31、系，將要證、要求的問題轉化為坐標運算 (2)解析幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉換成幾何圖形性質，結合該類圖形的幾何性質，將條件信息和結論信息結合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口 【變式探究】如圖， 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CPm.(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3；(2)在線段A1C1上是否存在一定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并證明你的結論【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 又由0，0，知為平面BB1D1D的一個法向量設AP與平面BB1D1D所成的角為，則s

32、in cos()2m2(2).依題意有2m2(2)）2(2)，解得m3(1).故當m3(1)時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3.(2)若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，則Q(x，1x，1)，(x，1x，0)依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1QAP0x(1x)0x2(1).即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求【小結反思】1數(shù)形結合是解決許多數(shù)學問題的重要方法，它可以將抽象數(shù)學問題具體化、準確化、形象化我們用好數(shù)形結合可以使我們更深入準確的理解數(shù)學問題2數(shù)形結合主要應用于：函數(shù)、三角、集合、立體幾何、解幾、向量、不等式等3是否選擇

33、應用數(shù)形結合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題為最終目的考點八、根據(jù)數(shù)學的概念分類討論例8、設0x1，a0且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小思路點撥：先利用0x1確定1x與1x的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與0的大小關系，從而比較出大小 【規(guī)律方法】本題是由對數(shù)函數(shù)的概念內涵引起的分類討論，我們稱為概念分類型由概念內涵引起的分類還有很多：如絕對值|a|分a0，a0，a0三種情況；直線的斜率分傾斜角90，斜率k存在，傾斜角90，斜率不存在；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與ylogax(a0且a1)可分為a1，0a1兩種類型；直線

34、的截距式分直線過原點時為ykx，不過原點時1(y)等考點九、根據(jù)運算的要求或性質、定理、公式的條件分類討論例9、在等差數(shù)列an中，a11，滿足a2n2an，n1，2，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bnanpan(p0)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.思路點撥：(1)由a2n2an，n1，2，求出公差d，即得an的通項公式(2)先求bn的通項公式，然后用錯位相減可求Tn，但由于公比q不確定，故用等比數(shù)列前n項和公式求Tn時要分類討論 【規(guī)律方法】(1)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，均值定理，等比數(shù)列的求和公式等性質、定理與公式在不同的條件下有不同的結論，或者在一定的限制條件下

35、才成立，這時要小心，應根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論 (2)分類討論的有些問題是由運算的需要引發(fā)的比如除法運算中分母能否為零的討論；解方程及不等式兩邊同乘以一個數(shù)是否為零，是正數(shù)，還是負數(shù)的討論；二次方程運算中對兩根大小的討論；求函數(shù)單調性時，導數(shù)正負的討論；排序問題；差值比較中的差的正負的討論；有關去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等考點十、根據(jù)字母的取值情況分類討論例10、已知函數(shù)f(x)2x33x.(1)求f(x)在區(qū)間2，1上的最大值；(2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與

36、曲線yf(x)相切(只需寫出結論)? 設g(x)4x36x2t3，則“過點P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”，g(x)12x212x12x(x1)，g(x)與g(x)的情況如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的極大值，g(1)t1是g(x)的極小值，當g(0)t30，即t3時，此時g(x)在區(qū)間(，1和(1，)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點，當g(1)t10，t1時，此時g(x)在區(qū)間(，0)和0，)上分別至多有1個零點，所以g(x)至多有2個零點 當g(0)0且g(1)0，

37、即3t1時，因為g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分別為區(qū)間1，0)，0，1)和1，2)上恰有1個零點，由于g(x)在區(qū)間(，0)和(1，)上單調，所以g(x)分別在區(qū)間(，0)和1，)上恰有1個零點 綜上可知，當過點P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切時，t的取值范圍是(3，1) (3)過點A(1，2)存在3條直線與曲線yf(x)相切； 過點B(2，10)存在2條直線與曲線yf(x)相切； 過點C(0，2)存在1條直線與曲線yf(x)相切【規(guī)律方法】題目中含有參數(shù)的問題(含參型)，主要包括：含有參數(shù)的不等式的求解；含有參數(shù)的方程的求解；對于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與

38、單調性問題；二元二次方程表示曲線類型的判定等求解這類問題的一般思路是：結合參數(shù)的意義及對結果的影響而進行分類討論討論時，應全面分析參數(shù)變化引起結論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結合思想 考點十一、根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論例11、長方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC邊上取一點P，使|BP|t，線段AP的垂直平分線與長方形的邊的交點為Q，R時，用t表示|QR|.思路點撥：建立平面直角坐標系，設法求出點Q，R的坐標，利用兩點間的距離公式建?！窘馕觥咳鐖D所示，分別以BC，AB所在的邊為x，y軸建立平面直角坐標系 這時|QR|2；當84t4時，Q，R兩點分別在AB，

39、AD上，對方程，分別令x0和y4，可得Q8(t2)，R，4(t)， 【規(guī)律方法】一般由圖形的位置或形狀變動引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變動；函數(shù)問題中區(qū)間的變動；函數(shù)圖象形狀的變動；直線由斜率引起的位置變動；圓錐曲線由焦點引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動；立體幾何中點、線、面的位置變動等 【小結反思】1分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標準；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結2簡化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結合；(7)縮小范圍等3進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標

40、準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論其中最重要的一條是“不漏不重” 4解題時把好“四關” (1)要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎關”；(2)要找準劃分標準，把好“分類關”；(3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關”；(4)要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關”考點十二、 數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題解決例12、某廠2015年生產利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設，1月份投入資金建設恰好與1月份的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設資金又恰好與12月的生產利潤相同，則全年總利潤M

41、與全年總投入N的大小關系是( )AMN BMNCMN D無法確定 在同一坐標系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi，則S12T12，即MN. 【答案】A點評：把一個原本是求和的問題，轉化到各項的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是學生所熟悉的在對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新考點十三、立體幾何問題通過轉化得以解決例13、 在三棱錐PABC中，已知PABC，PABCl，PA，BC的公垂線EDh.求證：三棱錐PABC的體積V6(1)l2h.思路點撥：如視P為頂點，ABC為底面，則無論是SABC以及高h都不好求如果觀察圖形，換

42、個角度看問題，創(chuàng)造條件去應用三棱錐體積公式，則可走出困境【解析】如圖，連接EB，EC，由PABC，PAED，EDBCD，可得PA截面ECB.這樣，截面ECB將原三棱錐切割成兩個分別以ECB為底面，以PE，AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高PEAEPAl，所以VPABCVPECBVAECB3(1)SECBAE3(1)SECBPE3(1)SECBPA3(1)2(1)BCEDPA6(1)l2h. 點評：輔助截面ECB的添設使問題轉化為已知問題，迎刃而解考點十四、二項式定理應用問題通過化歸解決例14、在(x23x2)5的展開式中x的系數(shù)為( ) A160 B240 C360 D800 解法二

43、利用二項式定理把三項式乘冪轉化為二項式定理再進行計算，x23x2x2(3x2)(x22)3x(x23x)2(x1)(x2)(1x)(2x)，這條思路下又有四種不同的化歸與轉化方法如利用x23x2x2(3x2)轉化，可以發(fā)現(xiàn)只有C5(5)(3x2)5中會有x項，即C5(4)(3x)24240x；如利用x23x2(x22)3x進行轉化，則只C5(1)(x22)43x中含有x一次項，即C5(1)3xC4(4)24240x；如利用x23x2(x23x)2進行轉化，就只有C5(4)(x23x)24中會有x項，即240x；如選擇x23x2(1x)(2x)進行轉化，(x23x2)5(1x)5(2x)5展開式

44、中的一次項x只能由(1x)5中的一次項乘以(2x)5展開式中的常數(shù)項加上(2x)5展開式中的一次項乘以(1x)5展開式中的常數(shù)項后得到，即為C5(1)xC5(5)25C5(1)24xC5(0)15160x80x240x.故選B.【答案】B考點十五、函數(shù)與不等式中變換主元將二次函數(shù)問題化歸為一次函數(shù)解決例15、若不等式x2px4xp3對一切0p4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍 點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變量處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉變其他變量在

45、問題中的地位，就能使問題迎刃而解本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，將主元進行轉化，使問題變成關于p的一次不等式，問題實現(xiàn)了從高維向低維的轉化，解題簡單易行【小結反思】1化歸與轉化應遵循的基本原則：(1)熟悉化原則將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決(2)簡單化原則將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)(3)和諧化原則化歸問題的條件或結論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或其方法符合人們的思維規(guī)律(4)直觀化原則將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決 (5)正難則反原則當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解2熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁；培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識，需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙3為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論；既可以變換問題的內部結構，也可以變換問題的外部形式；既可以從代數(shù)的角度去認識問題，也可以從幾何的角度去認識問題29