【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點(diǎn)題型：第6章 第4節(jié)　基本不等式

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1、 第四節(jié)　基本不等式 考點(diǎn)一 利用基本不等式證明不等式 　 [例1]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. [自主解答]　＋＋＝2，∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. 【互動(dòng)探究】 保持例題條件不變，證明： ＋ ≤2. 證明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴ ＋ ＝ ＋ ≤＋＝＝＝2.當(dāng)且僅當(dāng)a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．　　　　 【方法規(guī)律】 利用基本不等式證明不等式的方法技巧 利用基本不等式證明不等式時(shí)，要充分利用基本不等式及其變形，同時(shí)注意基本不等式成立的條件．對(duì)待證

2、明的不等式作適當(dāng)變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行證明． 設(shè)a、b均為正實(shí)數(shù)，求證：＋＋ab≥2. 證明：由于a、b均為正實(shí)數(shù)，所以＋≥2 ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)等號(hào)成立， 又因?yàn)椋玜b≥2 ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝ab時(shí)等號(hào)成立， 所以＋＋ab≥＋ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)即a＝b＝時(shí)取等號(hào). 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)二 利用基本不等式求最值　　 1．利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題． 2．高考對(duì)利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個(gè)命題角度： (1)知和求積的最值； (2)知積求和的最值； (3)構(gòu)造不等

3、式求最值． [例2]　(1)(20xx·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] (2)(20xx·山東高考)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 (3)(20xx·天津高考)設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋的最小值為________． [自主解答]　(1)因?yàn)?x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2， 故≤，即2x

4、＋y≤＝2－2，所以x＋y≤－2. (2)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝.又x、y、z為正實(shí)數(shù)，∴＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z＝2y2. ∴＋－＝＋－＝－2＋＝－2＋1， 當(dāng)＝1，即y＝1時(shí)，上式有最大值1. (3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.令t＝＋＝＋， ①當(dāng)0，∴＋的最小值為. [答案]　

5、(1)D　(2)B　(3) 利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略 (1)知和求積的最值．求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①具備條件——正數(shù)；②驗(yàn)證等號(hào)成立． (2)知積求和的最值．明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件． (3)構(gòu)造不等式求最值．在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解． 1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有(　　) A．最大值為0 B．最小值為0 C．最大值為－4

6、D．最小值為－4 解析：選C　∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2 －2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－，即x＝－1時(shí)等號(hào)成立． 2．(20xx·衢州模擬)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則的最小值為________． 解析：＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取等號(hào)． 答案：9 3．(20xx·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________. 解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a＝4x2，由已知x＝3時(shí)函數(shù)取得最小值，所以a＝4×9＝36. 答案：36 考點(diǎn)三

7、 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 　 [例3]　為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬元滿足x＝4－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)． (1)將該廠家該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)； (2)該廠家的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？ [自主解答]　(1)由題意有1＝4－，得k＝3，故x＝4－

8、. 故y＝1.5××x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)． (2) 由(1)知：y＝27－－t＝27.5－. 基本不等式＋≥2×＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝t＋，即t＝2.5時(shí)等號(hào)成立． 故y＝27－－t＝27.5－≤27.5－6＝21.5. 當(dāng)且僅當(dāng)＝t＋，即t＝2.5時(shí)，等號(hào)成立，y有最大值21.5. 所以的年促銷費(fèi)用投入2.5萬元時(shí)，該廠家利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為21.5萬元． 【方法規(guī)律】 解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需再利用基本不等式求得

9、函數(shù)的最值． (3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求． (4)有些實(shí)際問題中，要求最值的量需要用幾個(gè)變量表示，同時(shí)這幾個(gè)變量滿足某個(gè)關(guān)系式，這時(shí)問題就變成了一個(gè)條件最值，可用求條件最值的方法求最值． 某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過5 m．房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，房頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ 解：由題意可得，造價(jià)y＝3＋5 800＝900＋5 80

10、0(00)逆用就是ab≤2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項(xiàng)技巧和公式等號(hào)成立的條件等． 2個(gè)變形——基本不等式的變形 　(1)≥2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))； (2) ≥≥≥(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． 3個(gè)注意點(diǎn)——利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題 　(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可． (2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． (3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．