【創(chuàng)新方案】高考數學 理一輪突破熱點題型：第6章 第4節(jié)　基本不等式

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1、 第四節(jié)　基本不等式 考點一 利用基本不等式證明不等式 　 [例1]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. [自主解答]?。?，∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. 【互動探究】 保持例題條件不變，證明： ＋ ≤2. 證明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴ ＋ ＝ ＋ ≤＋＝＝＝2.當且僅當a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝時等號成立．　　　　 【方法規(guī)律】 利用基本不等式證明不等式的方法技巧 利用基本不等式證明不等式時，要充分利用基本不等式及其變形，同時注意基本不等式成立的條件．對待證

2、明的不等式作適當變形，變出基本不等式的形式，然后利用基本不等式進行證明． 設a、b均為正實數，求證：＋＋ab≥2. 證明：由于a、b均為正實數，所以＋≥2 ＝， 當且僅當＝，即a＝b時等號成立， 又因為＋ab≥2 ＝2，當且僅當＝ab時等號成立， 所以＋＋ab≥＋ab≥2，當且僅當即a＝b＝時取等號. 高頻考點 考點二 利用基本不等式求最值　　 1．利用基本不等式求最值是高考的?？純热?，題型既有選擇題、填空題，也有解答題． 2．高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下幾個命題角度： (1)知和求積的最值； (2)知積求和的最值； (3)構造不等

3、式求最值． [例2]　(1)(20xx·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] (2)(20xx·山東高考)設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最大值時，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 (3)(20xx·天津高考)設a＋b＝2，b>0，則＋的最小值為________． [自主解答]　(1)因為2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2， 故≤，即2x

4、＋y≤＝2－2，所以x＋y≤－2. (2)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2， ∴＝＝.又x、y、z為正實數，∴＋≥4， 當且僅當x＝2y時取等號，此時z＝2y2. ∴＋－＝＋－＝－2＋＝－2＋1， 當＝1，即y＝1時，上式有最大值1. (3)∵a＋b＝2，b>0，∴b＝2－a>0，得a<2.令t＝＋＝＋， ①當0，∴＋的最小值為. [答案]　

5、(1)D　(2)B　(3) 利用基本不等式求最值問題的常見類型及解題策略 (1)知和求積的最值．求解此類問題的關鍵：明確“和為定值，積有最大值”．但應注意以下兩點：①具備條件——正數；②驗證等號成立． (2)知積求和的最值．明確“積為定值，和有最小值”，直接應用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件． (3)構造不等式求最值．在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數1”的替換，構造不等式求解． 1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有(　　) A．最大值為0 B．最小值為0 C．最大值為－4

6、D．最小值為－4 解析：選C　∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2 －2＝－4，當且僅當－x＝－，即x＝－1時等號成立． 2．(20xx·衢州模擬)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則的最小值為________． 解析：＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.當且僅當a＝b＝時，取等號． 答案：9 3．(20xx·四川高考)已知函數f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________. 解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，當且僅當4x＝時等號成立，此時a＝4x2，由已知x＝3時函數取得最小值，所以a＝4×9＝36. 答案：36 考點三

7、 基本不等式的實際應用 　 [例3]　為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝4－(k為常數)．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分)． (1)將該廠家該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數； (2)該廠家的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？ [自主解答]　(1)由題意有1＝4－，得k＝3，故x＝4－

8、. 故y＝1.5××x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)． (2) 由(1)知：y＝27－－t＝27.5－. 基本不等式＋≥2×＝6， 當且僅當＝t＋，即t＝2.5時等號成立． 故y＝27－－t＝27.5－≤27.5－6＝21.5. 當且僅當＝t＋，即t＝2.5時，等號成立，y有最大值21.5. 所以的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元． 【方法規(guī)律】 解實際應用題時應注意的問題 (1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數． (2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需再利用基本不等式求得

9、函數的最值． (3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求． (4)有些實際問題中，要求最值的量需要用幾個變量表示，同時這幾個變量滿足某個關系式，這時問題就變成了一個條件最值，可用求條件最值的方法求最值． 某單位建造一間地面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，房頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用．當側面的長度為多少時，總造價最低？ 解：由題意可得，造價y＝3＋5 800＝900＋5 80

10、0(00)逆用就是ab≤2(a，b>0)等，還要注意“添”“拆”項技巧和公式等號成立的條件等． 2個變形——基本不等式的變形 　(1)≥2≥ab(a，b∈R，當且僅當a＝b時取等號)； (2) ≥≥≥(a>0，b>0，當且僅當a＝b時取等號)． 3個注意點——利用基本不等式求最值應注意的問題 　(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可． (2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． (3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．