2018屆高考數(shù)學（理）二輪復習講學案：考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量

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1、第3講平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為選擇題、填空題，難度為中低檔2考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度為低檔；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn)熱點一平面向量的線性運算1在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所得的向量；在用三角形減法法則時，要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)(2017屆河南息縣第一高級中學檢測)已知平行四邊形ABC

2、D的對角線分別為AC，BD，且2，點F是BD上靠近D的四等分點，則()A.B.C.D.答案C解析2，點F是BD上靠近D的四等分點，()().故選C.(2)(2017屆湖南師大附中月考)O為ABC內(nèi)一點，且20，t，若B，O，D三點共線，則t的值為()A. B. C. D.答案A解析由t，得t()，所以t(1t)，因為B，O，D三點共線，所以，則2t(1t)，故有t，故選A.思維升華(1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底，同時注意平面向量基本定理的靈活運用(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)(2017河北省衡水中學三調(diào))在ABC中，P是直線BN上的一點，

3、若m，則實數(shù)m的值為()A4 B1 C1 D4答案B解析因為kk(1k)，且m，所以解得k2，m1，故選B.(2)(2017屆福建連城縣二中期中)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b等于()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)答案B解析因為a(1,2)，b(2，m)，且ab，所以m40，m4,2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)，故選B.熱點二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：ab|a|b|cos .2三個結(jié)論(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若非零向量a(x1，y1)，非零向量b(x2，y2)，

4、為a與b的夾角，則cos .例2(1)(2017屆湖北省部分重點中學聯(lián)考)若等邊ABC的邊長為3，平面內(nèi)一點M滿足，則的值為()A2 BC. D. 2答案A解析因為，則，即2222，故選A.(2)(2017屆河北省衡水中學六調(diào))已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，ab(，)，則|a2b|等于()A2 B.C. D2答案B解析向量a，b滿足|a|1，|b|2，ab(，)，可得|ab|25，即|a|2|b|22ab5，解得ab0.|a2b|2|a|24|b|24ab11617，所以|a2b|.故選B.思維升華(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標運算，數(shù)量積的幾何意義(2)可以利用

5、數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算跟蹤演練2(1)(2017全國)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則()的最小值是()A2 B C D1答案B解析方法一(解析法)建立平面直角坐標系如圖所示，則A，B，C三點的坐標分別為A(0,)，B(1,0)，C(1,0)圖設(shè)P點的坐標為(x，y)，則(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.當且僅當x0，y時，()取得最小值，最小值為.故選B.方法二(幾何法)如圖所示，2(D為BC的中點)，則()2.圖要使最小，則與方向相反，即點P在線段AD上，則(2)m

6、in2|，問題轉(zhuǎn)化為求|的最大值又|2，|22，當且僅當|時取等號，()min(2)min2.故選B.(2)(2017屆湖北重點中學聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，a與b的夾角為，則|a2b|_.答案2解析因為|a|2，|b|1，a，b，故ab2cosa，b1，則(a2b)2a24ab4b24444，即|a2b|2.熱點三平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件例3(2017江蘇)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)a

7、b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值解(1)因為a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因為x0，所以x，從而1cos，于是，當x，即x0時，f(x)取得最大值3；當x，即x時，f(x)取得最小值2.思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)

8、之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題跟蹤演練3已知平面向量a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函數(shù)f(x)a(bc)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f，求sin 的值解(1)因為a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos

9、 x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.當2k2x2k，kZ，即kxk，kZ時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin，又f，則sin，sin.因為sin2cos21，所以cos.又sin sinsincos cossin ，所以當cos時，sin ；當cos時，sin .綜上，sin .真題體驗1(2017北京改編)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得mn”是“mn0”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析方法一由題意知|m|

10、0，|n|0.設(shè)m與n的夾角為.若存在負數(shù)，使得mn，則m與n反向共線，180，mn|m|n|cos |m|n|0.當90180時，mn0，此時不存在負數(shù)，使得mn.故“存在負數(shù)，使得mn”是“mn0”的充分不必要條件方法二mn，mnnn|n|2.當0，n0時，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0，(mn)21mn(mn)2，當且僅當mn時取等號，(mn)21，則mn，即mn的最大值為.10(2017屆陜西西安鐵一中三模)已知向量m(sin x，1)，向量n，函數(shù)f(x)(mn)m.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a2，c

11、4，且f(A)恰是f(x)在上的最大值，求A，b和ABC的面積S.解(1)f(x)(mn)msin2x1sin xcos x1sin 2xsin 2xcos 2x2sin2.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知f(A)sin2，當x時，2x，由正弦函數(shù)圖象可知，當2x時f(x)取得最大值3.所以2A，A.由余弦定理，a2b2c22bccos A，得12b21624b，所以b2.所以Sbcsin A24sin 602.B組能力提高11. (2017屆江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)在RtABC中，BCA90，CACB1，P為AB邊上的點，若，則

12、的最大值是()A. B. C1 D.答案C解析因為，故由，可得212(1)，即21222，也即22，解得11，由于點PAB，所以11，故選C.12(2017屆荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，P10, 記mi2i (i1,2，10)，則m1m2m10的值為()A15 B45 C60 D180答案D解析因為AB2與B3C3垂直，設(shè)垂足為C，所以在上的投影為AC，mi|2318，從而m1m2m10的值為1810180.故選D. 13.(2017屆江西上饒一模)已知在RtAOB中，AO1，BO2，如圖，動點P是在以

13、O點為圓心，OB為半徑的扇形內(nèi)運動(含邊界)且BOC90.設(shè)xy，則xy的取值范圍是_答案2,1解析由已知圖形可知，的夾角AOP90，180，所以x0，的夾角BOP0，90，所以y0，由平行四邊形法則可知，當點P沿著圓弧由C到B移動時，負數(shù)x逐漸增大，正數(shù)y逐漸增大，所以當點P在C處時xy取得最小值，因為OC2OA，OCOB，所以x2，y0，所以xy2，當點P在點B處時xy取得最大值，因為OAOB，所以x0，y1，所以xy1，所以xy的取值范圍為2,114(2017屆云南曲靖一中月考)已知向量a(1,0)，b(cos ，sin )，c(cos ，sin )(1)求|ac|的最大值；(2)若，且向量b與向量(ac)垂直，求cos 的值解(1)ac(cos 1，sin )，|ac|，當cos 1時，|ac|2，|ac|的最大值為2.(2)若，則b，ac(cos 1，sin )，向量b與向量ac垂直，(cos 1)sin 0，sin cos 1，故sin2(1cos )212cos cos2，cos2cos 0，cos 0或1.當cos 1時，sin 0，ac(0,0)不符合條件，cos 0.