《2018屆高考數(shù)學(理)二輪復習講學案:考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018屆高考數(shù)學(理)二輪復習講學案:考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量(18頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本運算,多以熟知的平面圖形為背景進行考查,多為選擇題、填空題,難度為中低檔2考查平面向量的數(shù)量積,以選擇題、填空題為主,難度為低檔;向量作為工具,還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合,以解答題形式出現(xiàn)熱點一平面向量的線性運算1在平面向量的化簡或運算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時,要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所得的向量;在用三角形減法法則時,要保證“同起點”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)(2017屆河南息縣第一高級中學檢測)已知平行四邊形ABC
2、D的對角線分別為AC,BD,且2,點F是BD上靠近D的四等分點,則()A.B.C.D.答案C解析2,點F是BD上靠近D的四等分點,()().故選C.(2)(2017屆湖南師大附中月考)O為ABC內(nèi)一點,且20,t,若B,O,D三點共線,則t的值為()A. B. C. D.答案A解析由t,得t(),所以t(1t),因為B,O,D三點共線,所以,則2t(1t),故有t,故選A.思維升華(1)對于平面向量的線性運算,要先選擇一組基底,同時注意平面向量基本定理的靈活運用(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)(2017河北省衡水中學三調(diào))在ABC中,P是直線BN上的一點,
3、若m,則實數(shù)m的值為()A4 B1 C1 D4答案B解析因為kk(1k),且m,所以解得k2,m1,故選B.(2)(2017屆福建連城縣二中期中)已知平面向量a(1,2),b(2,m),且ab,則2a3b等于()A(5,10) B(4,8)C(3,6) D(2,4)答案B解析因為a(1,2),b(2,m),且ab,所以m40,m4,2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8),故選B.熱點二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義:ab|a|b|cos .2三個結(jié)論(1)若a(x,y),則|a|.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|.(3)若非零向量a(x1,y1),非零向量b(x2,y2),
4、為a與b的夾角,則cos .例2(1)(2017屆湖北省部分重點中學聯(lián)考)若等邊ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點M滿足,則的值為()A2 BC. D. 2答案A解析因為,則,即2222,故選A.(2)(2017屆河北省衡水中學六調(diào))已知向量a,b滿足|a|1,|b|2,ab(,),則|a2b|等于()A2 B.C. D2答案B解析向量a,b滿足|a|1,|b|2,ab(,),可得|ab|25,即|a|2|b|22ab5,解得ab0.|a2b|2|a|24|b|24ab11617,所以|a2b|.故選B.思維升華(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法:數(shù)量積的定義,坐標運算,數(shù)量積的幾何意義(2)可以利用
5、數(shù)量積求向量的模和夾角,向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算跟蹤演練2(1)(2017全國)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則()的最小值是()A2 B C D1答案B解析方法一(解析法)建立平面直角坐標系如圖所示,則A,B,C三點的坐標分別為A(0,),B(1,0),C(1,0)圖設(shè)P點的坐標為(x,y),則(x,y),(1x,y),(1x,y),()(x,y)(2x,2y)2(x2y2y)22.當且僅當x0,y時,()取得最小值,最小值為.故選B.方法二(幾何法)如圖所示,2(D為BC的中點),則()2.圖要使最小,則與方向相反,即點P在線段AD上,則(2)m
6、in2|,問題轉(zhuǎn)化為求|的最大值又|2,|22,當且僅當|時取等號,()min(2)min2.故選B.(2)(2017屆湖北重點中學聯(lián)考)已知向量a,b滿足|a|2,|b|1,a與b的夾角為,則|a2b|_.答案2解析因為|a|2,|b|1,a,b,故ab2cosa,b1,則(a2b)2a24ab4b24444,即|a2b|2.熱點三平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運算作為題目條件例3(2017江蘇)已知向量a(cos x,sin x),b(3,),x0,(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)a
7、b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值解(1)因為a(cos x,sin x),b(3,),ab,所以cos x3sin x.若cos x0,則sin x0,與sin2xcos2x1矛盾,故cos x0.于是tan x.又x0,所以x.(2)f(x)ab(cos x,sin x)(3,)3cos xsin x2cos.因為x0,所以x,從而1cos,于是,當x,即x0時,f(x)取得最大值3;當x,即x時,f(x)取得最小值2.思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中,一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題,如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系,利用向量模表述三角函數(shù)
8、之間的關(guān)系等;另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題,在解決此類問題的過程中,只要根據(jù)題目的具體要求,在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系,就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題跟蹤演練3已知平面向量a(sin x,cos x),b(sin x,cos x),c(cos x,sin x),xR,函數(shù)f(x)a(bc)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f,求sin 的值解(1)因為a(sin x,cos x),b(sin x,cos x),c(cos x,sin x),所以bc(sin xcos x,sin xcos x),f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos
9、 x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.當2k2x2k,kZ,即kxk,kZ時,函數(shù)f(x)為減函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,kZ.(2)由(1)知,f(x)sin,又f,則sin,sin.因為sin2cos21,所以cos.又sin sinsincos cossin ,所以當cos時,sin ;當cos時,sin .綜上,sin .真題體驗1(2017北京改編)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負數(shù),使得mn”是“mn0”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析方法一由題意知|m|
10、0,|n|0.設(shè)m與n的夾角為.若存在負數(shù),使得mn,則m與n反向共線,180,mn|m|n|cos |m|n|0.當90180時,mn0,此時不存在負數(shù),使得mn.故“存在負數(shù),使得mn”是“mn0”的充分不必要條件方法二mn,mnnn|n|2.當0,n0時,mn0.反之,由mn|m|n|cosm,n0,(mn)21mn(mn)2,當且僅當mn時取等號,(mn)21,則mn,即mn的最大值為.10(2017屆陜西西安鐵一中三模)已知向量m(sin x,1),向量n,函數(shù)f(x)(mn)m.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,A為銳角,a2,c
11、4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和ABC的面積S.解(1)f(x)(mn)msin2x1sin xcos x1sin 2xsin 2xcos 2x2sin2.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知f(A)sin2,當x時,2x,由正弦函數(shù)圖象可知,當2x時f(x)取得最大值3.所以2A,A.由余弦定理,a2b2c22bccos A,得12b21624b,所以b2.所以Sbcsin A24sin 602.B組能力提高11. (2017屆江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)在RtABC中,BCA90,CACB1,P為AB邊上的點,若,則
12、的最大值是()A. B. C1 D.答案C解析因為,故由,可得212(1),即21222,也即22,解得11,由于點PAB,所以11,故選C.12(2017屆荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)如圖,三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,邊B3C3上有10個不同的點P1,P2,P10, 記mi2i (i1,2,10),則m1m2m10的值為()A15 B45 C60 D180答案D解析因為AB2與B3C3垂直,設(shè)垂足為C,所以在上的投影為AC,mi|2318,從而m1m2m10的值為1810180.故選D. 13.(2017屆江西上饒一模)已知在RtAOB中,AO1,BO2,如圖,動點P是在以
13、O點為圓心,OB為半徑的扇形內(nèi)運動(含邊界)且BOC90.設(shè)xy,則xy的取值范圍是_答案2,1解析由已知圖形可知,的夾角AOP90,180,所以x0,的夾角BOP0,90,所以y0,由平行四邊形法則可知,當點P沿著圓弧由C到B移動時,負數(shù)x逐漸增大,正數(shù)y逐漸增大,所以當點P在C處時xy取得最小值,因為OC2OA,OCOB,所以x2,y0,所以xy2,當點P在點B處時xy取得最大值,因為OAOB,所以x0,y1,所以xy1,所以xy的取值范圍為2,114(2017屆云南曲靖一中月考)已知向量a(1,0),b(cos ,sin ),c(cos ,sin )(1)求|ac|的最大值;(2)若,且向量b與向量(ac)垂直,求cos 的值解(1)ac(cos 1,sin ),|ac|,當cos 1時,|ac|2,|ac|的最大值為2.(2)若,則b,ac(cos 1,sin ),向量b與向量ac垂直,(cos 1)sin 0,sin cos 1,故sin2(1cos )212cos cos2,cos2cos 0,cos 0或1.當cos 1時,sin 0,ac(0,0)不符合條件,cos 0.