《數(shù)字信號處理實驗》指導書

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1、數(shù)字信號處理實驗指導書 指導教師:朱士永數(shù)字信號處理實驗指導書實驗一、離散信號的產生運算（一）實驗目的和要求：產生離散信號，進行信號運算（二）主要儀器設備： 計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法（1）產生實指數(shù)序列：n=0:50;x=0.9.n;stem(x);（2）正余弦序列：n=0:50;x=sin(0.075*pi*n);% x=cos(0.075*pi*n);stem(x);（3）產生隨機序列 x=10.*rand(1,30);%產生長度為30,大小在(0,10)間的一維隨機向量stem(x);%繪圖（4）序列反褶：y=fliplr(x);%產生序列x的反

2、折序列（5）移位移位函數(shù)文件：sigshift.mfunctiony,ny=sigshift(x,nx,n0) ;ny=nx+n0;%右移n0位;y=x;matlab實現(xiàn)調用文件test1.m文件：x=3,11,7,0,-1,4,2;nx=-3:3;y,ny=sigshift(x,nx,2);%右移2位subplot(3,1,1);stem(nx,x);ylabel(x);subplot(3,1,2);stem(ny,y);ylabel(y(n);（四）實驗步驟與內容1.編程產生長度為10,大小在(0,5)間的一維隨機向量，在下面表格記錄序列值,根據(jù)表格值繪出序列的圖形。n1234567891

3、0x(n)2.編程產生序列：,在下面表格記錄序列值,根據(jù)表格值繪出序列的圖形。n12345678910y(n)3.重新編程繪圖實現(xiàn)上兩個序列的相加序列A(n)=x(n)+y(n)、相乘運算序列B(n)=x(n).y(n), 記錄在下表格中,根據(jù)表格繪出序列A(n), B(n)的圖形。n12345678910A(n)B(n)4.實現(xiàn)2中序列的反褶運算序列Z(n)，并記錄Z(n)在下列表格中,根據(jù)表格值繪出序列Z(n)的圖形。n12345678910Z(n)（五）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，填寫實驗數(shù)據(jù)表格，繪出圖形實驗二、卷積與相關

4、運算（一）實驗目的和要求用matlab編寫DSP程序，觀察輸入序列的長度與輸出序列長度的關系（二）主要儀器設備計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法（1）離散序列的卷積：x=3,11,7,0,-1,4,2;nx=-3:3;h=2,3,0,-5,2,1;nh=-1:4;nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x)+nh(length(h);ny=nyb:nyey=conv(x,h)subplot(3,1,1);stem(nx,x);ylabel(x);subplot(3,1,2);stem(nh,h);ylabel(h);subplot(3,1,3

5、);stem(ny,y);ylabel(y(n)=x(n)*h(n);（2）離散序列的相關：x=3,11,7,0,-1,4,2;nx=-3:3;h=2,3,0,-5,2,1;nh=-1:4;nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x)+nh(length(h);ny=1:2*max(length(x),length(h)-1;y=xcorr(x,h);%相關subplot(3,1,1);stem(nx,x);ylabel(x(nx);subplot(3,1,2);stem(nh,h);ylabel(h(nh);subplot(3,1,3);stem(ny,y);ylabel

6、(y(ny);（四）實驗步驟與內容1.編程實現(xiàn)序列：和的卷積，記錄在下表格：n012345678910111213y(n)根據(jù)表格值繪出卷積序列y(n)的圖形。2.編程實現(xiàn)1中兩個序列的相關運算序列，記錄在下表格：n12345678910z(n)n111213141516171819z(n)繪出卷積序列的圖形。3.編程實現(xiàn)序列：和的卷積,并繪圖nz(n)nz(n)4.編程實現(xiàn)3中兩個序列的相關運算序列并繪圖nz(n)nz(n)（五）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，填寫實驗數(shù)據(jù)表格，繪出圖形實驗三、離散系統(tǒng)分析（一）實驗目的和要求求出離

7、散系統(tǒng)的零極點，分析離散系統(tǒng)的幅頻和相頻特性（二）主要儀器設備計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法1 繪制離散系統(tǒng)的頻率響應：模擬：或 按照矢量w指定的頻率值沿虛坐標計算模擬濾波器的復頻率響應h，當w省略時自動取w=200,不代變量輸出的直接繪出曲線。數(shù)字：或按照n個頻率點計算頻率響應h,n個頻率點均勻分布在上半單位圓（0），并記錄在w中，相應的頻率響應記錄在h中。若不帶返回參數(shù)，則繪制出幅頻特性和相頻特性曲線。2繪制離散系統(tǒng)零極點圖調用格式：zplane(z,p)zplane(b,a)其中b、a分別為系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)向量，z為系統(tǒng)零點向量，p為系統(tǒng)極點向量

8、。例如：數(shù)字濾波器的零極點圖、幅頻特性和相頻特性曲線程序：a=1 0.5 0.1;b=0.2 0.3 0;zplane(b,a); %繪制零極點圖freqz(b,a,128)；%繪制128個頻率點的幅頻特性和相頻特性曲線3數(shù)字系統(tǒng)的單位脈沖響應1）： t記錄取樣點矢量，取樣點n由系統(tǒng)自動選取。2）：用戶指定取樣點n,當n為標量時，t=0:n-1不帶輸出變量的impz將在當前圖形窗口利用stem(t,h)繪出脈沖響應。4系統(tǒng)函數(shù)轉換（1）系統(tǒng)：函數(shù)tf2zp可以將系統(tǒng)函數(shù)表示成零極點形式：調用格式：z,p,k=tf2zp(b,a)；%求出系統(tǒng)的零極點其中b、a分別為系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)向量，z

9、為系統(tǒng)零點向量，p為系統(tǒng)極點向量,k為增益系數(shù)。（2）函數(shù)zp2tf可以將零極點形式轉化為分子分母多項式形式調用格式：b,a=zp2tf(z,p,k)（四）實驗步驟與內容1.編程求出系統(tǒng)的零極點記錄在下表，并在Z平面繪制出零極點圖類型零點極點2.編程繪出上述1中系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線3.編程繪出系統(tǒng)的零極點記錄在下表，并在Z平面繪制出零極點圖類型零點極點4.編程繪出上述3中系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線5.繪出系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的單位脈沖響應（五）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，填寫實驗數(shù)據(jù)表格，繪出圖形實驗四、信號譜分析（一）實驗目

10、的和要求掌握FFT算法，利用MATLAB語言對信號進行頻譜分析（二）主要儀器設備計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法一維快速傅立葉變換函數(shù)fft，調用格式：（1）X=fft(x) %返回x的相同長度的fft（2）X=fft(x,n) %計算n點的fft調用函數(shù)完成：，其中，則信號的幅度譜為：或相位譜為：例如：x=1,2,4,1,0,3,5X=fft(x,128)p=sqrt(X.*conj(X); %或ph1=abs(X);ph=angle(X);subplot(2,1,1);plot(p);subplot(2,1,2);plot(ph);（四）實驗步驟與內容 （

11、都取128點的FFT）1.編程繪圖實現(xiàn)數(shù)字信號:x=10,20,30,90,10,60,60,20,5的頻譜（幅頻和相頻）特性2.編程繪圖實現(xiàn)數(shù)字信號:x=1,2,3,1,2,1的頻譜（幅頻和相頻）特性3.在采樣時間點t=0:0.001:0.6，對信號進行離散處理，編程繪圖實現(xiàn)離散信號頻譜（幅頻和相頻）特性（五）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，繪出圖形實驗五、IIR數(shù)字濾波器的設計（一）實驗目的和要求掌握雙線性變換法及脈沖相應不變法設計IIR數(shù)字濾波器的具體設計方法及其原理。用雙線性變換法及脈沖響應不變法編程設計低通、高通和帶通IIR

12、數(shù)字濾波器。（二）主要儀器設備：計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法1.低通模擬濾波器原型函數(shù)z,p,k=besselap(n) %貝塞爾 濾波器z,p,k=buttap(n) %Butterworth巴特沃斯濾波器z,p,k=cheb1ap(n,Rp) %雪比契夫1型z,p,k=cheb2ap(n,Rs) %雪比契夫2型z,p,k=ellipap(n,Rp,Rs) %橢圓濾波器2.模擬頻率變換函數(shù)（1）原型低通到低通模擬濾波器變換函數(shù)lp2lp：bt,at=lp2lp(b,a,Wo)；其中W0為截止頻率（2）原型低通到帶通模擬濾波器變換函數(shù)lp2bp：bt,at

13、=lp2bp(b,a,Wo,Bw)；其中W0為中心頻率，Bw為帶寬（3）原型低通到高通模擬濾波器變換函數(shù)lp2hp：bt,at=lp2hp(b,a,Wo)；其中W0為截止頻率（4）原型低通到帶阻模擬濾波器變換函數(shù)lp2bsbt,at=lp2bs(b,a,Wo,Bw) ；其中W0為中心頻率，Bw為帶寬3.雙線性變換法函數(shù)zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,Fs) % Fs為取樣頻率zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,Fs,Fp)numd,dend=bilinear(num,den,Fs) % num,den為分子分母多項式系數(shù)向量numd,dend=bilinear(nu

14、m,den,Fs,Fp)4.沖擊響應不變法函數(shù)bz,az=impinvar(b,a,Fs)bz,az=impinvar(b,a)例如：取采樣頻率f=1KHz,用雙線性變換法設計五階Butterworth低通數(shù)字濾波器，繪出模擬濾波器與數(shù)字濾波器的幅頻與相頻特性，MATLAB程序如下： z,p,k=buttap(5) ;% 設計五階Butterworth低通模擬濾波器原型zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,1000);%雙線性變換得到低通數(shù)字濾波器b,a=zp2tf(zd,pd,kd);%濾波器類型轉換w=128;freqs(b,a,w)figure;freqz(b,a,w)（四）實

15、驗步驟與內容1.取采樣頻率f=100Hz,用雙線性變換法設計五階Butterworth低通數(shù)字濾波器，繪出模擬濾波器與數(shù)字濾波器的幅頻與相頻特性2.設高通截止頻率為w0=10000Hz, 取采樣頻率f=20000,用雙線性變換法設計六階高通Butterworth數(shù)字濾波器,繪出數(shù)字濾波器的頻譜特性3.設帶通濾波器的濾波器中心頻率為W0=2KHz,帶寬為BW=100Hz, 取采樣頻率f=10kHZ,用脈沖相應不變法設計，設計五階帶通Butterworth數(shù)字濾波器,繪出數(shù)字濾波器的頻譜特性4.直接設計五階butterworth帶通濾波器，繪出頻譜圖。（高端與低端截止頻率分別為0.2和0.9）（五

16、）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，繪出圖形實驗六、FIR數(shù)字濾波器的設計（一）實驗目的和要求掌握用窗函數(shù)法，頻率采樣法及優(yōu)化設計法設計FIR濾波器的原理及方法，熟悉響應的計算機編程，熟悉線性相位FIR濾波器的幅頻特性和相頻特性（二）主要儀器設備計算機；Matlab軟件；word文字處理軟件（三）實驗原理與方法1、常用的窗函數(shù)（1）矩形序列： w=boxcar(n)；% w序列長度為n（2）三角窗函數(shù)： w=triangle(n)（3）Bartlett窗： w=bartlett(n)（4）漢明窗： w=hamming(n)（5）漢寧窗：

17、 w=hanning(n)（6）布萊克曼窗： w=Blackman(n)（7）Chebyshev窗： w=chebwin(n,r)（8）凱澤窗： w=Kaiser(n,beta)2.基于窗函數(shù)的FIR濾波器設計函數(shù)fir1b=fir1n,wn；%b為n階FIR濾波器的單位取樣響應（長度為n+1），wn為FIR低通濾波器的截止頻率b=fir1n,wn,ftype;b=fir1n,wn,window;%缺省window時按照hamming窗截取b=fir1n,wn,ftype,window;3.基于頻率采樣法和窗函數(shù)設計具有任意頻率響應的FIR濾波器fir2b=fir2n,f,m;%n為階次，f為

18、取樣頻率點向量且0f1遞增，%m為與f對應的取樣相對幅度向量，m與f長度相同b=fir2n,f,m,window；%指定窗口函數(shù)截取時域序列，缺省為hamming窗4.最小二乘法線性相位FIR濾波器設計函數(shù)firlsb=firls(n,f,m)b=firls(n,f,m,w)b=firls(n,f,m,ftype)b=firls(n,f,m,w,ftype)例如：分別采樣窗函數(shù)法和頻率取樣法設計11階FIR帶通數(shù)字濾波器，截止頻率為0.4和0.9,繪出濾波器單位取樣響應和頻率特性。MATLAB設計如下：w=0.4,0.9;h1=fir1(11,w,high);stem(h1);figure;f

19、reqz(h1,1);f=0,0.4,0.9,1;m=0,1,1,0;h2=fir2(11,f,m);figure;stem(h2);figure;freqz(h2,1);（四）實驗步驟與內容1.分別用矩形窗、漢寧窗、漢明窗、Blackman、Kaise(=8.5)窗設計10階（N=11）FIR數(shù)字濾波器，使得其頻譜特性滿足：繪出濾波器單位取樣響應和頻率特性 2.采用頻率采樣法和Blackman窗函數(shù)設計一個FIR低通數(shù)字濾波器，取樣響應長度為32，截止頻率取。3采用頻率采樣法和Blackman窗函數(shù)設計一個10階FIR高通數(shù)字濾波器，截止頻率取。（五）實驗報告要求1.寫出實驗實驗報告，包括：

20、目的和要求、儀器 2.寫出實驗步驟及內容，給出程序，繪出圖形部分實驗解答：實驗五、IIR數(shù)字濾波器的設計（三）實驗原理與方法1.低通模擬濾波器原型函數(shù)z,p,k=besselap(n) z,p,k=buttap(n)z,p,k=cheb1ap(n,Rp)z,p,k=cheb2ap(n,Rs)z,p,k=ellipap(n,Rp,Rs)2.模擬頻率變換函數(shù)（1）原型低通到低通模擬濾波器變換函數(shù)lp2lpbt,at=lp2lp(b,a,Wo)（2）原型低通到帶通模擬濾波器變換函數(shù)lp2bpbt,at=lp2bp(b,a,Wo,Bw)（3）原型低通到高通模擬濾波器變換函數(shù)lp2hpbt,at=lp2

21、hp(b,a,Wo)（4）原型低通到帶阻模擬濾波器變換函數(shù)lp2bsbt,at=lp2bs(b,a,Wo,Bw)3.雙線性變換法函數(shù)zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,Fs)zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,Fs,Fp)numd,dend=bilinear(num,den,Fs)numd,dend=bilinear(num,den,Fs,Fp)4.沖擊響應不變法函數(shù)bz,az=impinvar(b,a,Fs)bz,az=impinvar(b,a)（四）實驗步驟與內容例.取采樣頻率f=1KHz,用雙線性變換法設計五階Butterworth低通數(shù)字濾波器，繪出模擬濾波器與

22、數(shù)字濾波器的幅頻與相頻特性 z,p,k=besselap(5) ;zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,1000);b,a=zp2tf(zd,pd,kd);w=128;freqs(b,a,w)figure;freqz(b,a,w)1.取采樣頻率f=100Hz,用雙線性變換法設計五階Butterworth低通數(shù)字濾波器，繪出模擬濾波器與數(shù)字濾波器的幅頻與相頻特性z,p,k=besselap(5) ;zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,100);b,a=zp2tf(zd,pd,kd);w=128;freqs(b,a,w)figure;freqz(b,a,w)2.設高通截止頻率

23、為w0=10kHz, 取采樣頻率f=100,用雙線性變換法設計六階高通Butterworth數(shù)字濾波器,繪出數(shù)字濾波器的頻譜特性z,p,k=besselap(6) ;%原型低通b,a=zp2tf(z,p,k);%零極點型轉化為分式型w=128;w0=10000;bt,at=lp2hp(b,a,w0)%低通轉化為高通bz,az=bilinear(bt,at,1000);%雙線性法freqs(bt,at,w); %模擬頻譜figure;freqz(bz,az,w);%數(shù)字頻譜3.設帶通濾波器的濾波器中心頻率為W0=500KHz,帶寬為BW=10KHz, 取采樣頻率f=100,用脈沖相應不變法設計，

24、設計五階帶通Butterworth數(shù)字濾波器,繪出數(shù)字濾波器的頻譜特性4.直接設計五階butterworth帶通濾波器，繪出頻譜圖。（高端與低端截止頻率分別為0.2和0.9）第7章 FIR濾波器設計第六章我們介紹了無限沖激響應（IIR）濾波器的設計方法。其中最常用的由模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器的方法為雙線性變換法，因為這種方法無混疊效應，效果較好。但通過前面的例子我們看到，IIR數(shù)字濾波器相位特性不好（非線性，如圖 6-11、圖6-13、圖6-15 ），也不易控制。然而在現(xiàn)代信號處理中，例如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸、雷達接收以及一些要求較高的系統(tǒng)中對相位特性要求較為嚴格，這種濾波器就無能為力了。改善

25、相位特性的方法是采用有限沖激響應濾波器。本章首先對FIR濾波器原理及其使用函數(shù)作基本介紹，然后重點介紹窗函數(shù)法設計FIR濾波器，并對最優(yōu)濾波器設計函數(shù)進行介紹。7.1 FIR濾波器原理概述及濾波函數(shù)7.1.1 FIR濾波器原理及設計方法分類根據(jù)第 6 章對數(shù)字濾波器的介紹，我們知道FIR濾波器的傳遞函數(shù)為： (7-1)可得FIR濾波器的系統(tǒng)差分方程為： 因此，F(xiàn)IR濾波器又稱為卷積濾波器。根據(jù)第 4 章中所描述的系統(tǒng)頻率響應，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應表達式為： （7-2）信號通過FIR濾波器不失真條件與（6-6）式所描述的相同，即濾波器在通帶內具有恒定的幅頻特性和線性相位特性。理論上可以證明（這

26、里從略）：當FIR濾波器的系數(shù)滿足下列中心對稱條件： （7-3）時，濾波器設計在逼近平直幅頻特性的同時，還能獲得嚴格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器的相位滯后和群延遲在整個頻帶上是相等且不變的。對于一個 N 階的線性相位FIR濾波器，群延遲為常數(shù)，即濾波后的信號簡單地延遲常數(shù)個時間步長。這一特性使通帶頻率內信號通過濾波器后仍保持原有波形形狀而無相位失真。本章主要介紹的FIR數(shù)字濾波器設計方法及 MATLAB 信號處理工具箱提供的FIR數(shù)字濾波器設計函數(shù)，見表7-1。由于篇幅所限，本章我們主要介紹窗函數(shù)法和最優(yōu)化設計方法。表7-1 FIR濾波器設計的主要方法函數(shù)設計方法說明工具函數(shù)窗函數(shù)法理

27、想濾波器加窗處理fir1(單頻帶) ， fir2(多頻帶) ， kaiserord最優(yōu)化設計平方誤差最小化逼近理想幅頻響應或Park-McClellan 算法產生等波紋濾波器firls ， remez,remezord約束最小二乘逼近在滿足最大誤差限制條件下使整個頻帶平方誤差最小化fircls,fircls1升余弦函數(shù)具有光滑、正弦過渡帶的低通濾波器設計Fircos7.1.2 FIR數(shù)字濾波器濾波函數(shù)相對于IIR 濾波器的濾波函數(shù)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器濾波函數(shù)除了dimpulse和dstep僅適用于IIR濾波器外，其他各種函數(shù)可直接應用于FIR濾波器，只是輸入的分母多項式向量a=1。另外，MATL

28、AB還提供了一個函數(shù)fftfilt,該函數(shù)利用效率高的基于FFT算法實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的濾波，該函數(shù)只適用于FIR濾波器，調用形式為：y=fftfilt(b,x,n)式中，b為FIR濾波器的系數(shù)向量；x為輸入數(shù)據(jù)；n為FFT長度，缺省時，函數(shù)選用最佳的FFT長度，y為濾波器的輸出。該函數(shù)執(zhí)行下面的操作：n=length(x);y=ifft(fft(x).*fft(b,n)./fft(a,n);應注意，y=fftfilt(b,x)等價于y=filter(b,a,x)。7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計7.2.1 窗函數(shù)的基本原理FIR濾波器設計的主要任務是根據(jù)給定的性能指標確定濾波器的系數(shù)b，即系統(tǒng)單位脈

29、沖序列h(n)，它是一個有限長序列。FIR濾波器的理想頻率響應，可寫成復數(shù)形式的Fourier級數(shù)形式： (7-4)式中，hd(n)是對應的單位脈沖響應序列。這說明濾波器的頻率響應和單位脈沖響應互為Fourier變換對。因此其單位脈沖響應可由下式求得， (7-5)求得序列后，通過z變換，可得到 (7-6)注意，這里為無限長序列，因此是物理上不可實現(xiàn)的。如何變成物理上可實現(xiàn)呢？一個自然的想法是只取其中的某些項，即只截取中的一部分，比如n=0,N-1，N為正整數(shù)。這種處理相當于將,n=-與函數(shù)w(n)相乘，w(n)具有下列形式：w(n)相當于一個矩形，我們稱之為矩形窗。即我們可采用矩形窗函數(shù)w(n

30、)將無限脈沖響應截取一段h(n)來近似為，這種截取在數(shù)學上表示為： h(n)= w(n) (7-7)這里應該強調的是，加窗函數(shù)不是可有可無的，而是將設計變?yōu)槲锢砜蓪崿F(xiàn)所必須的。截取之后的濾波器傳遞函數(shù)變?yōu)椋?(7-8)式中，N為窗口寬度，H(z)是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。為了獲得線性相位，F(xiàn)IR濾波器h(n)必須滿足中心對稱條件（即7-3式），序列h(n)的延遲為。這種方法的基本原理是用一定寬度的矩形窗函數(shù)截取無限脈沖響應序列獲得有限長的脈沖響應序列，從而得到FIR濾波器的脈沖響應，故稱為FIR濾波器的窗函數(shù)設計法。經過加矩形窗后所得的濾波器實際頻率響應能否很好地逼近理想頻率響應呢？圖 7-1 示意給

31、出了理想濾波器加矩形窗后的情況。理想低通濾波器的頻率響應如圖中左上角圖，矩形窗的頻率響應為左下角圖。時間域內的乘積（7-7）式要求實際頻率響應為這兩個頻率響應函數(shù)在頻域內的卷積（卷積定理），即得到圖形為圖7-1（右圖）。圖 7-1 FIR濾波器理想與實際頻率響應由圖可看出，加矩形窗后使實際頻率響應偏離理想頻率響應，主要影響有三個方面：（1）理想幅頻特性陡直邊緣處形成過渡帶，過渡帶寬取決于矩形窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度。（2）過渡帶兩側形成肩峰和波紋，這是矩形窗函數(shù)頻率響應的旁瓣引起的，旁瓣相對值越大，旁瓣越多，波紋越多。（3）隨窗函數(shù)寬度N的增大，矩形窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度減小，但不改變旁瓣的

32、相對值。為了改善FIR濾波器性能，要求窗函數(shù)的主瓣寬度盡可能窄，以獲得較窄的過渡帶；旁瓣相對值盡可能小，數(shù)量盡可能少，以獲得通帶波紋小,阻帶衰減大，在通帶和阻帶內均平穩(wěn)的特點，這樣可使濾波器實際頻率響應更好地逼近理想頻率響應。這里我們明確兩個概念：截斷和頻譜泄漏。信號是無限長的，而在進行信號處理時只能采取有限長信號，所以需要將信號“截斷”。在信號處理中， “截斷”被看成是用一個有限長的“窗口”看無限長的信號，或者從分析的角度是無限長的信號x(t)乘以有限長的窗函數(shù)w(t)。由傅立葉變換性質可知,時間域內的乘積對應于頻率域的卷積,即 （7-9）這里，x(t)是頻寬有限信號，而w(t)是頻寬無限信

33、號，表示互為Fourier變換對。截斷后的信號也必須是頻寬無限信號，這樣就是有限頻帶的信號分散到無限頻帶中去，這樣就產生了所謂頻譜泄漏。從能量的角度來看，頻譜泄漏也是能量的泄漏，因為加窗后使原來信號集中的窄頻帶內的能量分散到無限的頻帶寬度范圍內。頻譜泄漏是不可避免的，但要盡量減小。上邊只考慮了矩形窗，如果我們使窗的主瓣寬度盡可能地窄，旁瓣盡可能地小，可以獲得性能更好的濾波器，能否改變窗的形狀而達到這個目的呢？回答是肯定的。其實數(shù)字信號處理的前驅者們設計了不同于矩形窗的很多窗函數(shù)，這些窗函數(shù)在主瓣和旁瓣特性方面各有特點，可滿足不同的要求。為此，用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器時，要根據(jù)給定的濾波器

34、性能指標選擇窗口寬度N和窗函數(shù)w(n)。下面我們介紹窗函數(shù)。7.2.2 MATLAB信號處理中提供的窗函數(shù)（1）矩形窗：前面分析中所用的矩形窗可用下面函數(shù)來實現(xiàn)w=boxcar (N)，N 為窗的長度（以下函數(shù)與此同），w為返回的窗函數(shù)序列。（2）漢寧窗：w=hanning(N)漢寧窗的表達式為： (7-10)（3）哈明窗：w=hamming(N)哈明窗的表達式為： (7-11)（4）Bartlett窗：w=bartlett(N)Bartlett 窗的表達式為：當 N 為奇數(shù)時， (7-12)當 N 為偶數(shù)時， (7-13)（5） Blackman 窗：w= blackman(N)Blackm

35、an 窗的表達式為： (7-14)Blackman 窗比其他相同尺寸窗 (哈明窗,漢寧窗) 具有主瓣較寬和旁瓣泄漏較小的特點。（6）三角窗：w=triang(N)三角窗的表達式為：當 N 為奇數(shù)時， (7-15)當 N 為偶數(shù)時， (7-16)三角窗和Bartlett窗十分類似。三角窗的兩端值不為零，而Bartlett窗則為零，這一點可從例7-1中看出。（7）Kaiser窗：w=kaiser(n,beta)其中，beta是Kaiser窗參數(shù),影響窗旁瓣幅值的衰減率。Kaiser窗表達式： (7-17)式中， I0.是修正過的零階 Bessel 函數(shù)。Kaiser窗用于濾波器設計時，若旁瓣幅值為

36、，則 （ 7-18 ）（8） Chebyshev窗：w=chebwin(n,r)式中, r 是窗口的旁瓣幅值在主瓣以下的分貝數(shù)。Chebyshev窗具有主瓣寬度最小，而旁瓣等高,高度可調整的特點。下面我們在MATLAB觀看各種窗函數(shù)的形狀和頻率域圖象來驗證上述所講特點?！纠?-1】 用MATLAB編程繪制各種窗函數(shù)的形狀。窗函數(shù)的長度為21。%Samp7_1clfNwin=21;n=0:Nwin-1; %數(shù)據(jù)總數(shù)和序列序號figure(1)for ii=1:4 switch ii case 1 w=boxcar(Nwin); %矩形窗 stext=矩形窗; case 2 w=hanning(N

37、win); %漢寧窗 stext=漢寧窗; case 3 w=hamming(Nwin); %哈明窗 stext=哈明窗; case 4 w=bartlett(Nwin); %Bartlett窗 stext=Bartelett窗; end posplot=2,2, int2str(ii); %指定繪制窗函數(shù)的圖形位置 subplot(posplot); stem(n,w); %繪出窗函數(shù) hold on plot (n ,w,r); %繪制包絡線 xlabel(n); ylabel(w(n); title(stext); hold off; grid onendfigure(2)for ii=

38、1:4 switch ii case 1 w=blackman(Nwin); %Blackman 窗 stext=Blackman窗; case 2 w=triang(Nwin); %三角窗 stext=三角窗; case 3 w=kaiser(Nwin,4); %Kaiser窗 stext=Kaiser窗(Beta=4); case 4 w=chebwin(Nwin,40); %Chebyshev 窗 stext=Chebyshev窗(r=40); end posplot=2,2, int2str(ii); subplot(posplot); stem(n,w); %繪出窗函數(shù) hold o

39、n plot (n,w,r); %繪出包絡線 xlabel(n);ylabel(w(n);title(stext); hold off;grid on;end程序運行結果見圖 7-2 ?？梢钥吹礁鞣N窗函數(shù)的形狀。圖 7-2 各種窗函數(shù)的時間域形狀【例 7-2】 用 MATLAB 編程，采用512個頻率點繪制各種窗函數(shù)的幅頻特性。%Samp7_2clf;Nf=512; %窗函數(shù)復數(shù)頻率特性的數(shù)據(jù)點數(shù)Nwin=20; %窗函數(shù)數(shù)據(jù)長度figure(1)for ii=1:4 switch ii case 1 w=boxcar(Nwin); %矩形窗 stext=矩形窗; case 2 w=hanni

40、ng(Nwin); %漢寧窗 stext=漢寧窗; case 3 w=hamming (Nwin); %哈明窗 stext=哈明窗; case 4 w=bartlett(Nwin); % Bartlett窗 stext=Bartelett窗; end y,f=freqz(w,1,Nf); %求解窗函數(shù)的幅頻特性，窗函數(shù)相當于一個數(shù)字濾波器 mag=abs(y);%求得窗函數(shù)幅頻特性 posplot=2,2, int2str(ii); subplot(posplot); plot(f/pi,20* log10(mag/max(mag); %繪制窗函數(shù)的幅頻特性 xlabel(歸一化頻率);yla

41、bel(振幅/dB); title(stext);grid on;endfigure(2)for ii=1:4 switch ii case 1 w=blackman(Nwin); %Blackman 窗 stext=Blackman窗; case 2 w=triang(Nwin); %三角窗 stext=三角窗; case 3 w=kaiser(Nwin,4); %Kaiser窗 stext=Kaiser窗(Beta=4); case 4 w=chebwin(Nwin,40); %Chebyshev 窗 stext=Chebyshev窗(r=40); end y,f=freqz(w,1,Nf

42、); %以 Nf點數(shù)求解窗函數(shù)的幅頻響應 mag=abs(y); %求得窗函數(shù)幅頻響應 posplot=2,2, int2str(ii); subplot(posplot);plot(f/pi,20* log10(mag/max(mag); %繪制幅頻響應 xlabel(歸一化頻率);ylabel(振幅/dB); title(stext);grid on;end程序運行結果見圖 7-3 ?？梢钥吹礁鞣N窗函數(shù)的幅頻形狀。對照該圖可知這些窗函數(shù)具有上面所分析的窗函數(shù)的特征。圖 7-3 各種窗函數(shù)的幅頻形狀由圖 7-3 可見，各種窗函數(shù)都具有明顯的主瓣（Mainlobe）和旁瓣（Sidelobe）。

43、主瓣頻寬和旁瓣的幅值衰減特性決定了窗函數(shù)的應用場合。矩形窗具有最窄的主瓣，但也有最大的旁瓣峰值（第一旁瓣衰減為 13 dB）；Blackman窗具有最大的旁瓣衰減，但也具有最寬的主瓣寬度。不同窗函數(shù)在這兩方面的特點是不同的，因此應根據(jù)具體的問題進行選擇。通常來講，哈明窗和漢寧窗的主瓣具有較小的旁瓣和較大的衰減速度，是較為常用的窗函數(shù)。表7-2總結了各種窗函數(shù)主瓣和旁瓣的特征（理論分析可參考其他的數(shù)字信號處理教材），大家可對照窗函數(shù)的幅頻形狀（圖7-3）認真理解體會。表7-2 各種窗函數(shù)的特點窗函數(shù)主瓣寬第一旁瓣相對主瓣衰減（分貝）矩形窗-13漢寧窗-31哈明窗-41Bartlett窗-25Bl

44、ackman 窗-57三角窗-25Kaiser窗可調整可調整Chebyshev 窗可調整可調整主旁瓣頻率寬度還與窗函數(shù)長度N有關。增加窗函數(shù)長度N將減小窗函數(shù)的主瓣寬度，但不能減小旁瓣幅值衰減的相對值（分貝數(shù)），這個值是由窗函數(shù)決定的。這個特點可由下面的例子清楚地看出?！纠?-3】繪制矩形窗函數(shù)的幅頻響應，窗長度分別為：(1)N=10;(2)N=20; (3)N=50;(4)N=100.%Samp7_3clf;Nf=512;for ii=1:4 switch ii case 1 Nwin=10; case 2 Nwin=20; case 3 Nwin=50; case 4 Nwin=100;

45、end w=boxcar(Nwin); %矩形窗 y,f=freqz(w,1,Nf); %用不同的窗長度求得復數(shù)頻率特性 mag=abs(y); %求得幅頻特性 posplot=2,2, int2str(ii); %指定繪圖位置 subplot(posplot); plot (f/pi,20*log10(mag/max(mag); %繪出幅頻形狀 xlabel(歸一化頻率);ylabel(振幅/dB); stext=N= int2str(Nwin); %給出標題，指出所用的數(shù)據(jù)個數(shù) title(stext);grid on;end圖 7-4 數(shù)據(jù)長度不同的矩形窗的幅頻形狀程序運行結果見圖7-4

46、。顯然，隨著N的增大，主瓣和旁瓣都變窄，但第一旁瓣相對主瓣的幅值下降分貝數(shù)相同，第二旁瓣相對第一旁瓣幅值下降的分貝數(shù)也相同。這樣，隨著N的增大，旁瓣也得到抑制，有力地減少了頻譜泄漏，但不能完全消除。減少主瓣寬度和抑制旁瓣是一對矛盾，不可兼得，只能根據(jù)不同用途折衷處理。7.2.3 運用窗函數(shù)設計數(shù)字濾波器用于信號分析中的窗函數(shù)可根據(jù)用戶的不同要求選擇。用于濾波器的窗函數(shù)，一般要求窗函數(shù)的主瓣寬度窄，以獲得較好的過渡帶；旁瓣相對值盡可能少，增加通帶的平穩(wěn)度和增大阻帶的衰減?；诖昂瘮?shù)的FIR數(shù)字濾波器設計的算法十分簡單，其主要步驟為：(1)對濾波器理想頻域幅值響應進行傅立葉逆變換獲得理想濾波器的單

47、位脈沖響應hd(n)。一般假定理想低通濾波器的截止頻率為，其幅頻特性滿足 (7-19)則根據(jù)傅立葉逆變換，單位脈沖響應為： (7-20)其中，為信號延遲。（2）由性能指標（阻帶衰減的分貝數(shù)）根據(jù)表7-2第3列的值確定滿足阻帶衰減的窗函數(shù)類型w(n)。濾波器的階數(shù)越高，濾波器的幅頻特性越好，但數(shù)據(jù)處理的費用也越高，因此像IIR濾波器一樣，F(xiàn)IR濾波器也要確定滿足性能指標的濾波器最小階數(shù)。由前面的討論（圖7-1）可知，濾波器的主瓣寬度相當于過渡帶寬，因此，使過渡帶寬近似于窗函數(shù)主瓣寬（表7-2中的第二列）可求得滿足性能指標的窗口長度N，此時，信號延遲為(N-1)/2。（3）求實際濾波器的單位脈沖響

48、應h(n)：根據(jù)h(n)=hd(n)*w(n)。（4）檢驗濾波器的性能?？稍O定一些信號采用 7.1.2 節(jié)指出的函數(shù)或6.3.2節(jié)所給的函數(shù)進行濾波。下面采用實例說明如何根據(jù)上面步驟設計FIR濾波器。【例 7-4】 用窗函數(shù)設計一個線性相位FIR低通濾波器，并滿足性能指標：通帶邊界的歸一化頻率wp=0.5,阻帶邊界的歸一化頻率ws=0.66，阻帶衰減不小于30dB，通帶波紋不大于3dB。假設一個信號，其中f1=5Hz,f2=20Hz。信號的采樣頻率為50Hz。試將原信號與通過濾波器的信號進行比較。由題意，阻帶衰減不小于30dB,根據(jù)表7-2,選取漢寧窗，因為漢寧窗的第一旁瓣相對主瓣衰減為31d

49、B，滿足濾波要求。在窗函數(shù)設計法中，要求設計的頻率歸一化到0區(qū)間內，Nyquist頻率對應于，因此通帶和阻帶邊界頻率為0.5和0.66。程序如下%Samp7_4wp=0.5*pi;ws=0.66*pi; %濾波器邊界頻率wdelta=ws-wp; %過渡帶寬N=ceil(8*pi/wdelta) %根據(jù)過渡帶寬等于表 7-2中漢寧窗函數(shù)主瓣寬求得濾波器所用窗函數(shù)的最小長度Nw=N;wc=(wp+ws)/2; %截止頻率在通帶和阻帶邊界頻率的中點n=0:N-1;alpha=(N-1)/2; %求濾波器的相位延遲m=n-alpha+eps; %eps為MATLAB系統(tǒng)的精度hd=sin(wc*m)

50、./(pi*m); %由（7-20）式求理想濾波器脈沖響應win=hanning(Nw); %采用漢寧窗h=hd.*win; %在時間域乘積對應于頻率域的卷積b=h; figure(1)H,f=freqz(b,1,512,50); %采用 50 Hz 的采樣頻率繪出該濾波器的幅頻和相頻響應subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅/dB);grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel(頻率/Hz);ylabel(相位/o);grid on;%im

51、pz(b,1); %可采用此函數(shù)給出濾波器的脈沖響應%zplane(b,1); %可采用此語句給出濾波器的零極點圖%grpdelay(b,1); %可采用此函數(shù)給出濾波器的群延遲f1=3;f2=20; %檢測輸入信號含有兩種頻率成分dt=0.02; t=0:dt:3; %采樣間隔和檢測信號的時間序列x=sin(2*pi*f1* t)+cos(2* pi*f2* t); %檢測信號%y=filter(b,1,x); %可采用此函數(shù)給出濾波器的輸出y=fftfilt(b,x); %給出濾波器的輸出figure(2)subplot(2,1,1), plot(t,x),title(輸入信號) %繪輸入

52、信號subplot(2,1,2),plot(t,y) % 繪輸出信號hold on; plot(1 1*(N-1)/2*dt,ylim, r) %繪出延遲到的時刻xlabel(時間/s),title(輸出信號)程序運行結果見圖7-5和圖7-6。該例設計通帶邊界wp=0.5,阻帶邊界頻率ws=0.66，對應于50Hz的采樣頻率通帶邊界頻率為fp=Fs/2*Fnormal=50/2*0.5=12.5Hz, fs=50/2*0.66=16.5Hz, 其中Fs為采樣頻率，F(xiàn)normal為歸一化頻率。由圖7-5上圖可以看到，在小于12.5Hz的頻段上，幾乎看不到下降，即滿足通帶波紋不大于3dB的要求。在大于16.5Hz的頻段上，阻帶衰減大于30dB，滿足設計要求。由圖7-5下圖可見，在通帶范圍內，相位頻率為一條直線，表明該濾