(貴陽專用)2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對訓(xùn)練

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1、第二部分專題六1如圖,直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D(1)求a,b的值及反比例函數(shù)的解析式;(2)若點(diǎn)P在直線yx2上,且SACPSBDP,請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)M,使得MAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由解:(1)直線yx2與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點(diǎn),a23,32b,解得a1,b1,A(1,3),B(3,1)點(diǎn)A(1,3)在反比例函數(shù)y圖象上,k133,反比例函數(shù)的解析式為y.(2)設(shè)點(diǎn)P(n,n2)A(1

2、,3),C(1,0)B(3,1),D(3,0)SACPAC|xPxA|3|n1|,SBDPBD|xBxP|1|3n|.SACPSBDP,3|n1|1|3n|,解得n0或n3,P(0,2)或(3,5)(3)存在設(shè)M(m,0)(m0),A(1,3),B(3,1),MA2(m1)29,MB2(m3)21,AB232,MAB是等腰三角形,當(dāng)MAMB時(shí),(m1)29(m3)21,m0(舍);當(dāng)MAAB時(shí),(m1)2932,m1或m1(舍),M(1,0);當(dāng)MBAB時(shí),(m3)2132,m3或m3(舍),M(3,0)則滿足條件的M(1,0)或(3,0)2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰RtAOB的斜邊OB在

3、x軸上,直線y3x4經(jīng)過等腰RtAOB的直角頂點(diǎn)A,交y軸于C點(diǎn),雙曲線y也經(jīng)過A點(diǎn),連接BC(1)求k的值;(2)判斷ABC的形狀,并求出它的面積;(3)若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M,使得PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解:(1)如答圖1,過點(diǎn)A分別作AQy軸于Q點(diǎn),ANx軸于N點(diǎn)答圖1AOB是等腰直角三角形,AQAN.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,a),點(diǎn)A在直線y3x4上,a3a4,解得a2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)雙曲線y也經(jīng)過A點(diǎn),k4.(2)由(1)知,A(2,2),B(4,0)直線y3x4與y軸的交點(diǎn)為

4、C,C(0,4),AB2BC2(42)22242(4)240,AC222(24)240,AB2BC2AC2,ABC是直角三角形,且ABC90,SABCABBC248.(3)存在如答圖2,假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)M,使得PAM是等腰直角三角形答圖2PAM90OAB,APAM,連接BM.k4,反比例函數(shù)的解析式為y.OABPAM90,OAPBAM.在AOP和ABM中,AOPABM(ASA),AOPABM,OBMOBAABM90,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,M(4,1)則在雙曲線上存在一點(diǎn)M(4,1),使得PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形3如圖,一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)y(x0)的圖象交于點(diǎn)P(n,

5、2),與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,PBx軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱(1)求一次函數(shù),反比例函數(shù)的解析式;(2)求證:點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn);(3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形?如果存在,說明理由并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,說明理由解:(1)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱,AOBO.A(4,0),B(4,0)PBx軸于點(diǎn)B,P(4,2)把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m8,反比例函數(shù)的解析式為y.把A,P兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式可得解得一次函數(shù)的解析式為yx1.(2)證明:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱,OAOBPBx軸于點(diǎn)B,PBACOA90,PBCO,

6、點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn)(3)存在點(diǎn)D,使四邊形BCPD為菱形理由如下:點(diǎn)C為線段AP的中點(diǎn),BCAPPC,BC和PC是菱形的兩條邊由yx1可得C(0,1)如答圖,過點(diǎn)C作CDx軸,交PB于點(diǎn)E,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D,分別連接PD,BD,答圖D(8,1),且PBCD,PEBE1,CEDE4,PB與CD互相垂直平分,即四邊形BCPD為菱形,存在滿足條件的點(diǎn)D,其坐標(biāo)為(8,1)4(2018金華)如圖,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y與y(x0,0mn)的圖象上,對角線BDy軸,且BDAC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.(1)當(dāng)m4,n20時(shí)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求直線AB的函數(shù)表達(dá)式若點(diǎn)P是

7、BD的中點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由(2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時(shí)m,n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,試說明理由解:(1)如答圖1.m4,反比例函數(shù)y的解析式為y.當(dāng)x4時(shí),y1,B(4,1),當(dāng)y2時(shí),2,解得x2,A(2,2)設(shè)直線AB的解析式為ykxb,將A(2,2),B(4,1)兩點(diǎn)分別代入,得解得直線AB的函數(shù)表達(dá)式為yx3.四邊形ABCD是菱形理由如下:如答圖2,由知,B(4,1),BDy軸,D(4,5)點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn),P(4,3)當(dāng)y3時(shí),由y得x,由y得x,PA4,PC4,PAPCPBPD,四邊形ABCD為平行四邊形,BDAC,四邊形ABCD是菱

8、形圖1圖2答圖(2)四邊形ABCD能成為正方形理由:當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí),則PAPBPCPD(設(shè)為t,t0),當(dāng)x4時(shí),y,B(4,),A(4t,t),C(4t,t),(4t)(t)m,t4,C(8,4),(8)4n,mn32.點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2t2(4)8,D(4,8),4(8)n,mn32.5如圖,已知一次函數(shù)y1k1xb的圖象與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y2的圖象分別交于C,D兩點(diǎn),點(diǎn)D(2,3),OA2.(1)求一次函數(shù)y1k1xb與反比例函數(shù)y2的解析式;(2)直接寫出k1xb0時(shí)自變量x的取值范圍;(3)動(dòng)點(diǎn)P(0,m)在y軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)|PCPD|的值最大時(shí),直

9、接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)解:(1)點(diǎn)D(2,3)在反比例函數(shù)y2的圖象上,k22(3)6,y2.如答圖,過點(diǎn)D作DEx軸于E.答圖OA2,A(2,0),A(2,0),D(2,3)在y1k1xb的圖象上,解得y1x.(2)由圖可得,當(dāng)k1xb0時(shí),x4或0x2.(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)理由如下:由解得或C(4,),如答圖,作C(4,)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)C(4,),延長CD交y軸于點(diǎn)P,由C和D的坐標(biāo)可得,直線CD解析式為yx,令x0,則y,當(dāng)|PCPD|的值最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)6如圖1,直線ykxb與雙曲線y(x0)相交于點(diǎn)A(1,m),B(4,n),與x軸相交于C點(diǎn)(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)及直線yk

10、xb的解析式;(2)求ABO的面積;(3)如圖2,在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得PAPB的和最???若存在,請說明理由并求出P點(diǎn)坐標(biāo)解:(1)點(diǎn)A(1,m),B(4,n)在雙曲線y(x0)上,m4,n1,A(1,4),B(4,1),解得直線ykxb的解析式為yx5.(2)如答圖1,設(shè)直線AB與y軸交于D點(diǎn),由(1)知,直線AB的解析式為yx5,C(5,0),D(0,5),OC5,OD5.SAOBSCODSAODSBOC555151.(3)存在,理由:如答圖2,作點(diǎn)B(4,1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B(4,1),連接AB交x軸于點(diǎn)P,連接BP,在x軸上取一點(diǎn)Q,連接AQ,BQ.點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱,點(diǎn)P,

11、Q是BB中垂線上的點(diǎn),PBPB,QBQB,在AQB中,AQBQAB,APBP的最小值為AB.A(1,4),B(4,1),直線AB的解析式為yx,令y0,則0x,解得x,P(,0)7如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),且A(6,0),D(2,8)(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),不與點(diǎn)A,C重合,過點(diǎn)P作x軸的垂線交于AC于點(diǎn)E,求線段PE的最大值及P點(diǎn)坐標(biāo);(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得ACM為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解:(1)設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)28,把A

12、(6,0)代入得a(62)280,解得a.拋物線的解析式為y(x2)28,即yx22x6.(2)如答圖,當(dāng)x0時(shí),yx22x66,則C(0,6)設(shè)直線AC的解析式為ykxb,把A(6,0),C(0,6)分別代入得解得直線AC的解析式為yx6.設(shè)P(x,x22x6)(6x0),則E(x,x6)PEx6(x22x6)x23x(x3)2,當(dāng)x3時(shí),PE的長度有最大值,最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,)(3)存在如答圖,拋物線的對稱軸為直線x2,設(shè)M(2,t)A(6,0),C(0,6),AC2626272,AM2(26)2t2,CM2(2)2(t6)2.當(dāng)AC2AM2CM2,ACM為直角三角形,即72

13、(26)2t2(2)2(t6)2,解得t4,此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,4);當(dāng)AC2CM2AM2時(shí),ACM為直角三角形,即72(2)2(t6)2(26)2t2,解得t8,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,8);當(dāng)CM2AM2AC2時(shí),ACM為直角三角形,即(2)2(t6)2(26)2t272,解得t13,t23,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)或(2,3)綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)或(2,8)或(2,3)或(2,3)8(2018泰安)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)yax2bxc的圖象交x軸于點(diǎn)A(4,0),B(2,0),交y軸于點(diǎn)C(0,6),在y軸上有一點(diǎn)E(0,2),連接AE.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

14、(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求ADE面積的最大值;(3)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使AEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由解:(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(2,0),C(0,6),解得二次函數(shù)的表達(dá)式為yx2x6. (2)由A(4,0),E(0,2)可得AE所在的直線解析式為yx2,過點(diǎn)D作DFx軸,交AE于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EHDF,垂足為H,如答圖,設(shè)D(m,m2m6),則點(diǎn)F(m,m2),DFm2m6(m2)m2m8,SADESADFSEDFDFAGDFEHDF(AGHE)DF42(m2m8)

15、(m)2,當(dāng)m時(shí),SADE最大,最大值為.(3)存在,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1,)或(1,2)【解法提示】yx2x6的對稱軸為直線x1,設(shè)P(1,n),又E(0,2),A(4,0),可得PA,PE,AE2,當(dāng)PAPE時(shí),解得n1,此時(shí)P(1,1);當(dāng)PAAE時(shí),2,解得n,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,);當(dāng)PEAE時(shí),2,解得n2,此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),綜上所述,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(1,)或(1,2)9如圖,已知拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E,連接BD(1)求拋物線的解析式(2)若點(diǎn)P在直線BD上,當(dāng)PEP

16、C時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)在(2)的條件下,作PFx軸于F,點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn),G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)F,N,G,M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)解:(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,0),解得即拋物線的解析式為yx22x3.(2)由(1)知,拋物線的解析式為yx22x3,C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,4),E(1,0)設(shè)直線BD的解析式為ymxn,解得直線BD的解析式為y2x6.設(shè)點(diǎn)P(a,2a6)C(0,3),E(1,0),根據(jù)勾股定理得,PE2(a1)2(2a6)2,PC2a2(2a63)2.PCPE,(a1)2(2a6)2

17、a2(2a63)2,解得a2,y2(2)62,P(2,2)(3)如答圖,作PFx軸于F,F(xiàn)(2,0)設(shè)M(d,0),G(d,d22d3),N(2,d22d3)以點(diǎn)F,N,G,M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,必有FMMG,|d2|d22d3|,解得d或,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0),(,0),(,0)或(,0)10(2018岳陽)已知拋物線F:yx2bxc經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸另一交點(diǎn)為(,0)圖1圖2(1)求拋物線F的解析式;(2)如圖1,直線l:yxm(m0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2)(點(diǎn)A在第二象限),求y2y1的值(用含m的式子表示);(3)在(2)中,若m,設(shè)點(diǎn)A是

18、點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn),如圖2.判斷AAB的形狀,并說明理由;平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,B,A,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解:(1)拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(,0),解得拋物線F的解析式為yx2x.(2)將yxm代入yx2x,得x2m,解得x1,x2,y1m,y2m,y2y1(m)(m)(m0)(3)如答圖,m,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,2)點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,)AAB為等邊三角形理由如下:A(,),B(,2),A(,),AA,AB,AB,AAABAB,AAB為等邊三角形存在AAB為等邊三角形,以點(diǎn)

19、A,B,A,P為頂點(diǎn)的菱形分三種情況,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)如答圖a當(dāng)AB為對角線時(shí),有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,)b當(dāng)AB為對角線時(shí),有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)c當(dāng)AA為對角線時(shí),有解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,2)綜上所述,平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,B,A,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,),(,)或(,2)11(2018永州)如圖1,拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E(0,3)圖1 圖2(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)已知點(diǎn)F(0,3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)G,使得EGFG最小?如果存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由(3)如圖2

20、,連接AB,若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作線段AB的垂線,分別與線段AB,拋物線相交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M,N都在拋物線對稱軸的右側(cè)),當(dāng)MN最大時(shí),求PON的面積解:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為ya(x1)24.把(0,3)代入得3a(01)24,解得a1,故拋物線的表達(dá)式為y(x1)24x22x3.(2)存在如答圖1,作E關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)E,連接EF交對稱軸于G,此時(shí)EGFG的值最小E(0,3),E(2,3),易得直線EF的解析式為y3x3,當(dāng)x1時(shí),y3130,G(1,0)圖1 圖2(3)如答圖2,過N作NHx軸于H,交AB于Q,設(shè)對稱軸交x軸于D,A(1,4),B(3,0),直線AB的解

21、析式為y2x6,設(shè)N(m,m22m3),則Q(m,2m6)(1m3),NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH,DABNQM.ADBQMN90,QMNADB,即,MN(m2)2.0,當(dāng)m2時(shí),MN有最大值過N作NIy軸于I,IPNABD,NIPADB90,NIPADB,PINIm,OPOIPIm22m3mm2m3,SPONOPIN(m2m3)m,當(dāng)m2時(shí),SPON(433)22.12(2018東營)如圖,拋物線ya(x1)(x3)(a0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方,且使OCAOBC(1)求線段OC的長度;(2)設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí),求直線

22、BM和拋物線的解析式;(3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解:(1)當(dāng)y0時(shí),a(x1)(x3)0,解得x11,x23,即A(1,0),B(3,0),OA1,OB3.OCAOBC,OCOBOAOC,OC2OAOB3,則OC.(2)C是BM的中點(diǎn),即OC為RtOBM斜邊BM的中線,OCBC,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.又OC,點(diǎn)C在x軸下方,C(,)設(shè)直線BM的解析式為ykxb,把點(diǎn)B(3,0),C(,)代入,得解得直線BM的解析式為yx.又點(diǎn)C(,)在拋物線上,將C(,)代入拋物線的解析式,解得a,拋物線的解析式為yx2x2.(3)存在如答圖,過點(diǎn)P作PQx軸交直線BM于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2x2),則Q(x,x),PQx(x2x2)x23x3,當(dāng)BCP面積最大時(shí),四邊形ABPC的面積最大,SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x,當(dāng)x時(shí),SBCP有最大值,則四邊形ABPC的面積最大,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)17

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