2016_2018全國中考二次函數(shù)壓軸題集錦[附詳細答案解析]

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1、. 1．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點． 〔1求拋物線的解析式； 〔2點E是直角△ABC斜邊AB上一動點〔點A、B除外,過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E、F的坐標(biāo)； 〔3在〔2的條件下：在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在,請求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 2．如圖,關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A〔1,0和點B,與y軸交于點C〔0,3,拋物線的對稱軸與x軸交于點D． 〔1求二

2、次函數(shù)的表達式； 〔2在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標(biāo)； 〔3有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從 點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)點M到達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積． 3．如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象經(jīng)過A〔﹣1,0、B〔4,0、C〔0,2三點． 〔1求該二次函數(shù)的解析式； 〔2點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO〔O是坐標(biāo)原點,求點D的坐標(biāo)； 〔3點P是該二次函數(shù)圖象

3、上位于第一象限上的一動點,連接PA分別交BC、y軸于點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1﹣S2的最大值． 4．如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a、b、c為常數(shù),a≠0的圖象過點O〔0,0和點A〔4,0,函數(shù)圖象最低點M的縱坐標(biāo)為﹣,直線l的解析式為y=x． 〔1求二次函數(shù)的解析式； 〔2直線l沿x軸向右平移,得直線l′,l′與線段OA相交于點B,與x軸下方的拋物線相交于點C,過點C作CE⊥x軸于點E,把△BCE沿直線l′折疊,當(dāng)點E恰好落在拋物線上點E′時〔圖2,求直線l′的解析式； 〔3在〔2的條件下,l′與y軸交于點N,把△BON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)1

4、35°得到△B′ON′,P為l′上的動點,當(dāng)△PB′N′為等腰三角形時,求符合條件的點P的坐標(biāo)． 5．如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A〔﹣1,0,B〔5,0兩點． 〔1求拋物線的解析式； 〔2在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位,當(dāng)點C落在拋物線上時,求m的值； 〔3在〔2的條件下,當(dāng)點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,請出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 6．如圖1,在平面直角坐標(biāo)

5、系中,O是坐標(biāo)原點,拋物線y=﹣x2﹣x+8與x軸正半軸交于點A,與y軸交于點B,連接AB,點M,N分別是OA,AB的中點,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始終保持邊ED經(jīng)過點M,邊CD經(jīng)過點N,邊DE與y軸交于點H,邊CD與y軸交于點G． 〔1填空：OA的長是,∠ABO的度數(shù)是度； 〔2如圖2,當(dāng)DE∥AB,連接HN． ①求證：四邊形AMHN是平行四邊形； ②判斷點D是否在該拋物線的對稱軸上,并說明理由； 〔3如圖3,當(dāng)邊CD經(jīng)過點O時,〔此時點O與點G重合,過點D作DQ∥OB,交AB延長線上于點Q,延長ED到點K,使DK=DN,過點K作KI∥OB,在KI上取一點P,使得∠P

6、DK=45°〔點P,Q在直線ED的同側(cè),連接PQ,請直接寫出PQ的長． 7．如圖,拋物線y=x2+x+c與x軸的負(fù)半軸交于點A,與y軸交于點B,連結(jié)AB,點C〔6,在拋物線上,直線AC與y軸交于點D． 〔1求c的值及直線AC的函數(shù)表達式； 〔2點P在x軸正半軸上,點Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點M,連結(jié)MO并延長交AB于點N,若M為PQ的中點． ①求證：△APM∽△AON； ②設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,求AN的長〔用含m的代數(shù)式表示． 8．拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A〔x1,0,B〔x2,0〔0＜x1＜x2兩點,與y軸交于點C． 〔1設(shè)AB=2,tan∠ABC

7、=4,求該拋物線的解析式； 〔2在〔1中,若點D為直線BC下方拋物線上一動點,當(dāng)△BCD的面積最大時,求點D的坐標(biāo)； 〔3是否存在整數(shù)a,b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立,請證明你的結(jié)論． 9．如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),直線l與拋物線交于A,C兩點,其中點C的橫坐標(biāo)為2． 〔1求A,B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式； 〔2P是線段AC上的一個動點〔P與A,C不重合,過P點作y軸的平行線交拋物線于點E,求△ACE面積的最大值； 〔3若直線PE為拋物線的對稱軸,拋物線與y軸交于點D,直線AC與y軸交于點Q,點M為直線PE上一動點,則

8、在x軸上是否存在一點N,使四邊形DMNQ的周長最小？若存在,求出這個最小值及點M,N的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 〔4點H是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A、C、F、H四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在,請直接寫出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由． 10．如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點O,C,A三點． 〔1求該拋物線的解析式； 〔2在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點

9、M,分別過點P,點M作x軸的垂線,交x軸于E,F兩點,問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有,請求出最值,并寫出解答過程；如果沒有,請說明理由． 〔3如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O〔原點、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在,求出N點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 11．如圖〔1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO,B點坐標(biāo)為〔4,3,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C,D為BC的中點,直線AD與y軸交于E點,與拋物線y=x2+bx+c交于第四象限的F點． 〔1求該拋物線解析式與F點坐標(biāo)； 〔2如圖〔2,動點P從點C出發(fā),沿線段C

10、B以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時,動點M從點A出發(fā),沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA,垂足為H,連接MP,MH．設(shè)點P的運動時間為t秒． ①問EP+PH+HF是否有最小值？如果有,求出t的值；如果沒有,請說明理由． ②若△PMH是等腰三角形,請直接寫出此時t的值． 12．如圖,已知直線y=kx﹣6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點,且點A〔1,﹣4為拋物線的頂點,點B在x軸上． 〔1求拋物線的解析式； 〔2在〔1中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等？若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由； 〔3

11、若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標(biāo)． 13．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l：與x軸、y軸分別交于點A和點B〔0,﹣1,拋物線經(jīng)過點B,且與直線l的另一個交點為C〔4,n． 〔1求n的值和拋物線的解析式； 〔2點D在拋物線上,且點D的橫坐標(biāo)為t〔0＜t＜4．DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形〔如圖2．若矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值； 〔3M是平面內(nèi)一點,將△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物

12、線上,請直接寫出點A1的橫坐標(biāo)． 14．如圖,四邊形ABCD是邊長為4的正方形,動點P、Q同時從A點出發(fā),點P沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動．點Q沿折線ADC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動,設(shè)運動時間為t秒． 〔1當(dāng)t=2秒時,求證：PQ=CP； 〔2當(dāng)2＜t≤4時,等式"PQ=CP"仍成立嗎？試說明其理由； 〔3設(shè)△CPQ的面積為S,那么S與t之間的函數(shù)關(guān)系如何？并問S的值能否大于正方形ABCD面積的一半？為什么？ 15．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A,B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C． 〔1求直線BC的解析式； 〔2

13、點D是線段BC中點,點E是BC上方拋物線上一動點,連接CE,DE．當(dāng)△CDE的面積最大時,過點E作y軸垂線,垂足為F,點P為線段EF上一動點,將△CEF繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點F,P,E的對應(yīng)點分別是F′,P′,E′,點Q從點P出發(fā),先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點F′處,再沿F′C運動到點C處,最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點P′處停止．求△CDE面積的最大值及點Q經(jīng)過的最短路徑的長； 〔3如圖2,直線BH經(jīng)過點B與y軸交于點H〔0,3動點M從O出發(fā)沿OB方向以每秒1個單位長度向點B運動,同時動點N從B點沿BH方向以每秒2個單位長度的速度向點H運動,當(dāng)點N運動到H點時,點M,點N同時停止運動,設(shè)運動

14、時間為t．運動過程中,過點N作OB的平行線交y軸于點I,連接MI,MN,將△MNI沿NI翻折得△M′NI,連接HM′,當(dāng)△M′HN為等腰三角形時,求t的值． 16．如圖1,直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點,經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為A〔﹣1,0． 〔1求B、C兩點的坐標(biāo)及該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； 〔2P在線段BC上的一個動點〔與B、C不重合,過點P作直線a∥y軸,交拋物線于點E,交x軸于點F,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,△BCE的面積為S． ①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍； ②求S的最大值,并判斷此時△OBE的形狀,說明理由； 〔3過點P作直線

15、b∥x軸〔圖2,交AC于點Q,那么在x軸上是否存在點R,使得△PQR為等腰直角三角形？若存在,請求出點R的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 17．已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上,點B坐標(biāo)為〔10,10,點P從O出發(fā)沿O→C→B運動,速度為1個單位每秒,連接AP．設(shè)運動時間為t． 〔1若拋物線y=﹣〔x﹣h2+k經(jīng)過A、B兩點,求拋物線函數(shù)關(guān)系式； 〔2當(dāng)0≤t≤10時,如圖1,過點O作OH⊥AP于點H,直線OH交邊BC于點D,連接AD,PD,設(shè)△APD的面積為S,求S的最小值； 〔3在圖2中以A為圓心,OA長為半徑作⊙A,當(dāng)0≤t≤20時,過點P作PQ⊥x軸〔Q在

16、P的上方,且線段PQ=t+12： ①當(dāng)t在什么范圍內(nèi),線段PQ與⊙A只有一個公共點？當(dāng)t在什么范圍內(nèi),線段PQ與⊙A有兩個公共點？ ②請將①中求得的t的范圍作為條件,證明：當(dāng)t取該范圍內(nèi)任何值時,線段PQ與⊙A總有兩個公共點． 18．如圖,二次函數(shù)y=x2﹣4x的圖象與x軸、直線y=x的一個交點分別為點A、B,CD是線段OB上的一動線段,且CD=2,過點C、D的兩直線都平行于y軸,與拋物線相交于點F、E,連接EF． 〔1點A的坐標(biāo)為,線段OB的長=； 〔2設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m ①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時,求m的值； ②連接AC、AD,求m為何值時,△ACD的周長最小,并求出這

17、個最小值． 19．如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c〔c＞0的圖象與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,且OB=OC=3,頂點為M． 〔1求二次函數(shù)的解析式； 〔2點P為線段BM上的一個動點,過點P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出m的取值范圍； 〔3探索：線段BM上是否存在點N,使△NMC為等腰三角形？如果存在,求出點N的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由． 20．如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點,交x軸于D,C兩點,連接AC,BC,已知A〔0,3,C〔3,0． 〔Ⅰ求拋物

18、線的解析式和tan∠BAC的值； 〔Ⅱ在〔Ⅰ條件下： 〔1P為y軸右側(cè)拋物線上一動點,連接PA,過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q,問：是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 〔2設(shè)E為線段AC上一點〔不含端點,連接DE,一動點M從點D出發(fā),沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點,再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止,當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時,點M在整個運動中用時最少？ 21．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的頂點為B〔2,1,且過點A〔0,2,直線y=x與拋物線交于點D,E〔

19、點E在對稱軸的右側(cè),拋物線的對稱軸交直線y=x于點C,交x軸于點G,EF⊥x軸,垂足為F,點P在拋物線上,且位于對稱軸的右側(cè),PQ⊥x軸,垂足為點Q,△PCQ為等邊三角形 〔1求該拋物線的解析式； 〔2求點P的坐標(biāo)； 〔3求證：CE=EF； 〔4連接PE,在x軸上點Q的右側(cè)是否存在一點M,使△CQM與△CPE全等？若存在,試求出點M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．[注：3+2=〔+12]． 22．閱讀理解 拋物線y=x2上任意一點到點〔0,1的距離與到直線y=﹣1的距離相等,你可以利用這一性質(zhì)解決問題． 問題解決 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1與y軸交于C點,與函數(shù)y

20、=x2的圖象交于A,B兩點,分別過A,B兩點作直線y=﹣1的垂線,交于E,F兩點． 〔1寫出點C的坐標(biāo),并說明∠ECF=90°； 〔2在△PEF中,M為EF中點,P為動點． ①求證：PE2+PF2=2〔PM2+EM2； ②已知PE=PF=3,以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF,若1＜PD＜2,試求CP的取值范圍． 23．已知拋物線經(jīng)過A〔﹣3,0,B〔1,0,C〔2,三點,其對稱軸交x軸于點H,一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0的圖象經(jīng)過點C,與拋物線交于另一點D〔點D在點C的左邊,與拋物線的對稱軸交于點E． 〔1求拋物線的解析式； 〔2如圖1,當(dāng)S△EOC=S△EAB時,求一次函

21、數(shù)的解析式； 〔3如圖2,設(shè)∠CEH=α,∠EAH=β,當(dāng)α＞β時,直接寫出k的取值范圍． 24．如圖1,已知直線EA與x軸、y軸分別交于點E和點A〔0,2,過直線EA上的兩點F、G分別作x軸的垂線段,垂足分別為M〔m,0和N〔n,0,其中m＜0,n＞0． 〔1如果m=﹣4,n=1,試判斷△AMN的形狀； 〔2如果mn=﹣4,〔1中有關(guān)△AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎？如果成立,請證明；如果不成立,請說明理由； 〔3如圖2,題目中的條件不變,如果mn=﹣4,并且ON=4,求經(jīng)過M、A、N三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； 〔4在〔3的條件下,如果拋物線的對稱軸l與線段AN交于點P,點Q是

22、對稱軸上一動點,以點P、Q、N為頂點的三角形和以點M、A、N為頂點的三角形相似,求符合條件的點Q的坐標(biāo)． 25．如圖,二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點P從A點出發(fā),以1個單位每秒的速度向點B運動,點Q同時從C點出發(fā),以相同的速度向y軸正方向運動,運動時間為t秒,點P到達B點時,點Q同時停止運動．設(shè)PQ交直線AC于點G． 〔1求直線AC的解析式； 〔2設(shè)△PQC的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式； 〔3在y軸上找一點M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)； 〔4過點P作PE⊥AC,垂足為E,當(dāng)P點運動時,線段EG的長度是否發(fā)生改變,請說

23、明理由． 26．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A〔﹣1,0、B〔3,0兩點,頂點為C． 〔1求此二次函數(shù)解析式； 〔2點D為點C關(guān)于x軸的對稱點,過點A作直線l：交BD于點E,過點B作直線BK∥AD交直線l于K點．問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P,使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等？若存在,請求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由； 〔3在〔2的條件下,若M、N分別為直線AD和直線l上的兩個動點,連結(jié)DN、NM、MK,求DN+NM+MK和的最小值． 27．如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸

24、上,OA=AB=2,OC=3,過點B作BD⊥BC,交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F． 〔1求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式； 〔2當(dāng)BE經(jīng)過〔1中拋物線的頂點時,求CF的長； 〔3在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q〔點Q在點P的上方,且PQ=1,要使四邊形BCPQ的周長最小,求出P、Q兩點的坐標(biāo)． 28．如圖,已知拋物線與x軸交于點A〔﹣2,0,B〔4,0,與y軸交于點C〔0,． 〔1求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo)； 〔2設(shè)直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線,交直線CD于點F,在直線CD的上方,y軸及y軸的右

25、側(cè)的平面內(nèi)找一點G,使以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似,請直接寫出符合要求的點G的坐標(biāo)； 〔3如圖,拋物線的對稱軸與x軸的交點M,過點M作一條直線交∠ADB于T,N兩點, ①當(dāng)∠DNT=90°時,直接寫出的值； ②當(dāng)直線TN繞點M旋轉(zhuǎn)時, 試說明：△DNT的面積S△DNT=DN?DT； 并猜想：的值是否是定值？說明理由． 29．如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x軸．它的頂點A的坐標(biāo)為〔10,0,頂點B的坐標(biāo)為,點P從點A出發(fā),沿A→B→C的方向勻速運動,同時點Q從點D〔0,2出發(fā),沿y軸正方向以相同速度運動,當(dāng)點P到達點C時,兩點同時停止運動,

26、設(shè)運動的時間為t秒． 〔1求∠BAO的度數(shù)．〔直接寫出結(jié)果 〔2當(dāng)點P在AB上運動時,△OPQ的面積S與時間t〔秒之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分〔如圖②,求點P的運動速度． 〔3求題〔2中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式,及面積S取最大值時,點P的坐標(biāo)． 〔4如果點P,Q保持題〔2中的速度不變,當(dāng)t取何值時,PO=PQ,請說明理由． 30．如圖,已知直線l：y=x+2與y軸交于點D,過直線l上一點E作EC丄y軸于點C,且C點坐標(biāo)為〔0,4,過C、E兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)． 〔1求拋物線的解析式： 〔2動點Q從點C出發(fā)沿線段CE以1單位/

27、秒的速度向終點E運動,過點Q作QF⊥ED于點F,交BD于點H,設(shè)點Q運動時間為t秒,△DFH的面積為S,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式〔并直接寫出自變量t的取值范圍； 〔3若動點P為直線CE上方拋物線上一點,連接PE,過點E作EM⊥PE交線段BD于點M,當(dāng)△PEM是等腰直角三角形時,求四邊形PMBE的面積． 31．已知在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0,且a,b,c為常數(shù)的對稱軸為：直線x=,與x軸分別交于點A、點B,與y軸交于點C〔0,﹣,且過點〔3,﹣5,D為x軸正半軸上的動點,E為y軸負(fù)半軸上的動點． 〔1求該拋物線的表達式； 〔2如圖1,當(dāng)點D為〔3,0時,DE交該

28、拋物線于點M,若∠ADC=∠CDM,求點M的坐標(biāo)； 〔3如圖2,把〔1中拋物線平移使其頂點與原點重合,若直線ED與新拋物線僅有唯一交點Q時,y軸上是否存在一個定點P使PE=PQ？若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 參考答案與試題解析 一．解答題〔共31小題 1．〔2017秋?上杭縣期中如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點． 〔1求拋物線的解析式； 〔2點E是直角△ABC斜邊AB上一動點〔點A、B除外,過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E、F的坐

29、標(biāo)； 〔3在〔2的條件下：在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在,請求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]151：代數(shù)綜合題；32 ：分類討論． [分析]〔1根據(jù)AC=BC,求出BC的長,進而得到點A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式； 〔2利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,用含m的式表示出E,F的坐標(biāo),求出EF的長度最大時m的值,即可求得E,F的坐標(biāo)； 〔3分兩種情況：∠E﹣90°和∠F=90°,分別得到點P的縱坐標(biāo),將縱坐標(biāo)代入拋物線解析式,即可求得點P的值． [解答]解：〔1∵O

30、A=1,OC=4,AC=BC, ∴BC=5, ∴A〔﹣1,0,B〔4,5, 拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點, ∴,解得：, ∴y=x2﹣2x﹣3； 〔2設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b, 直線經(jīng)過點A,B兩點, ∴,解得：, ∴直線AB的解析式為：y=x+1, 設(shè)點E的坐標(biāo)為〔m,m+1,則點F〔m,m2﹣2m﹣3, ∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣〔m﹣2+, ∴當(dāng)EF最大時,m=, ∴點E〔,,F〔,； 〔3存在． ①當(dāng)∠FEP=90°時,點P的縱坐標(biāo)為, 即x2﹣2x﹣3=,解得：x1=,x2=, ∴點P1〔,,P2〔,,

31、②當(dāng)∠EFP=90°時,點P的縱坐標(biāo)為, 即x2﹣2x﹣3=,解得：x1=,x2=〔舍去, ∴點P3〔,, 綜上所述,P1〔,,P2〔,,P3〔,． [點評]本題主要考查二次函數(shù)的綜合題,其中第〔3小題要注意分類討論,分∠E=90°和∠F=90°兩種情況． 2．〔2017秋?鄂城區(qū)期中如圖,關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A〔1,0和點B,與y軸交于點C〔0,3,拋物線的對稱軸與x軸交于點D． 〔1求二次函數(shù)的表達式； 〔2在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標(biāo)； 〔3有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B

32、運動,另一個點N從 點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)點M到達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1代入A〔1,0和C〔0,3,解方程組即可； 〔2求出點B的坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理得到BC,當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC； 〔3設(shè)AM=t則DN=2t,由AB=2,得BM=2﹣t,S△MNB=×〔2﹣t×2t=﹣t2+2t,運用二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)解決問題；此時點M在D點,點N在對稱軸

33、上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處． [解答]解：〔1把A〔1,0和C〔0,3代入y=x2+bx+c, 解得：b=﹣4,c=3, ∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3； 〔2令y=0,則x2﹣4x+3=0, 解得：x=1或x=3, ∴B〔3,0, ∴BC=3, 點P在y軸上,當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1, ①當(dāng)CP=CB時,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1〔0,3+3,P2〔0,3﹣3； ②當(dāng)BP=BC時,OP=OB=3, ∴P3〔0,﹣3； ③當(dāng)PB=PC時, ∵OC=OB=3

34、∴此時P與O重合, ∴P4〔0,0； 綜上所述,點P的坐標(biāo)為：〔0,3+3或〔0,3﹣3或〔0,﹣3或〔0,0； 〔3如圖2,設(shè)A運動時間為t,由AB=2,得BM=2﹣t,則DN=2t, ∴S△MNB=×〔2﹣t×2t=﹣t2+2t=﹣〔t﹣12+1, 即當(dāng)M〔2,0、N〔2,2或〔2,﹣2時△MNB面積最大,最大面積是1． [點評]本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù),等腰三角形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)等知識,運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵． 3．〔2017?XX如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象經(jīng)過A〔﹣1,0、B〔4,0、

35、C〔0,2三點． 〔1求該二次函數(shù)的解析式； 〔2點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO〔O是坐標(biāo)原點,求點D的坐標(biāo)； 〔3點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點,連接PA分別交BC、y軸于點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1﹣S2的最大值． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1由A、B、C三點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式； 〔2當(dāng)點D在x軸上方時,則可知當(dāng)CD∥AB時,滿足條件,由對稱性可求得D點坐標(biāo)；當(dāng)點D在x軸下方時,可證得BD∥AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直

36、線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標(biāo)； 〔3過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,可設(shè)出P點坐標(biāo),從而可表示出PH的長,可表示出△PEB的面積,進一步可表示出直線AP的解析式,可求得F點的坐標(biāo),聯(lián)立直線BC和PA的解析式,可表示出E點橫坐標(biāo),從而可表示出△CEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S1﹣S2的最大值． [解答]解： 〔1由題意可得,解得, ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2； 〔2當(dāng)點D在x軸上方時,過C作CD∥AB交拋物線于點D,如圖1, ∵A、B關(guān)于對稱軸對稱,C、D關(guān)于對稱軸對稱, ∴四邊形ABDC為等腰梯形, ∴∠CAO=∠DBA,即點D滿足條件, ∴D〔

37、3,2； 當(dāng)點D在x軸下方時, ∵∠DBA=∠CAO, ∴BD∥AC, ∵C〔0,2, ∴可設(shè)直線AC解析式為y=kx+2,把A〔﹣1,0代入可求得k=2, ∴直線AC解析式為y=2x+2, ∴可設(shè)直線BD解析式為y=2x+m,把B〔4,0代入可求得m=﹣8, ∴直線BD解析式為y=2x﹣8, 聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得,解得或, ∴D〔﹣5,﹣18； 綜上可知滿足條件的點D的坐標(biāo)為〔3,2或〔﹣5,﹣18； 〔3過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,如圖2, 設(shè)P〔t,﹣t2+t+2, 由B、C兩點的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=﹣x+2, ∴H〔t,﹣t+

38、2, ∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣〔﹣t+2=﹣t2+2t, 設(shè)直線AP的解析式為y=px+q, ∴,解得, ∴直線AP的解析式為y=〔﹣t+2〔x+1,令x=0可得y=2﹣t, ∴F〔0,2﹣t, ∴CF=2﹣〔2﹣t=t, 聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得,解得x=,即E點的橫坐標(biāo)為, ∴S1=PH〔xB﹣xE=〔﹣t2+2t〔4﹣,S2=??, ∴S1﹣S2=〔﹣t2+2t〔4﹣﹣??=﹣t2+4t=﹣〔t﹣2+, ∴當(dāng)t=時,有S1﹣S2有最大值,最大值為． [點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、平行線的判定和性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)

39、、方程思想伋分類討論思想等知識．在〔1中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2中確定出D點的位置是解題的關(guān)鍵,在〔3中用P點的坐標(biāo)分別表示出兩個三角形的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強,計算量大,難度較大． 4．〔2017?XX如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a、b、c為常數(shù),a≠0的圖象過點O〔0,0和點A〔4,0,函數(shù)圖象最低點M的縱坐標(biāo)為﹣,直線l的解析式為y=x． 〔1求二次函數(shù)的解析式； 〔2直線l沿x軸向右平移,得直線l′,l′與線段OA相交于點B,與x軸下方的拋物線相交于點C,過點C作CE⊥x軸于點E,把△BCE沿直線l′折疊,當(dāng)點E恰好落在拋物線上點E′時

40、〔圖2,求直線l′的解析式； 〔3在〔2的條件下,l′與y軸交于點N,把△BON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135°得到△B′ON′,P為l′上的動點,當(dāng)△PB′N′為等腰三角形時,求符合條件的點P的坐標(biāo)． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1由題意拋物線的頂點坐標(biāo)為〔2,﹣,設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣22﹣,把〔0,0代入得到a=,即可解決問題； 〔2如圖1中,設(shè)E〔m,0,則C〔m,m2﹣m,B〔﹣m2+m,0,由E、B關(guān)于對稱軸對稱,可得=2,由此即可解決問題； 〔3分兩種情形求解即可①當(dāng)P1與N重合時,△P1B′N′是等腰三角形,此時P1〔0,﹣3

41、．②當(dāng)N′=N′B′時,設(shè)P〔m,m﹣3,列出方程解方程即可； [解答]解：〔1由題意拋物線的頂點坐標(biāo)為〔2,﹣,設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣22﹣, 把〔0,0代入得到a=, ∴拋物線的解析式為y=〔x﹣22﹣,即y=x2﹣x． 〔2如圖1中,設(shè)E〔m,0,則C〔m,m2﹣m,B〔﹣m2+m,0, ∵E′在拋物線上,易知四邊形EBE′C是正方形,拋物線的對稱軸也是正方形的對稱軸, ∴E、B關(guān)于對稱軸對稱, ∴=2, 解得m=1或6〔舍棄, ∴B〔3,0,C〔1,﹣2, ∴直線l′的解析式為y=x﹣3． 〔3如圖2中, ①當(dāng)P1與N重合時,△P1B′N′是等腰三角形,

42、此時P1〔0,﹣3． ②當(dāng)N′=N′B′時,設(shè)P〔m,m﹣3, 則有〔m﹣2+〔m﹣3﹣2=〔32, 解得m=或, ∴P2〔,,P3〔,． 綜上所述,滿足條件的點P坐標(biāo)為〔0,﹣3或〔,或〔,． [點評]本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、兩點間距離公式等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題,學(xué)會根據(jù)方程,屬于中考壓軸題． 5．〔2017?XX如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A〔﹣1,0,B〔5,0兩點． 〔1求拋物線的解析式； 〔2在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸

43、向右平移m個單位,當(dāng)點C落在拋物線上時,求m的值； 〔3在〔2的條件下,當(dāng)點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,請出點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式； 〔2由題意可求得C點坐標(biāo),設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′,則C′點的縱坐標(biāo)為8,代入拋物線解析式可求得C′點的坐標(biāo),則可求得平移的單位,可求得m的值； 〔3由〔2可求得E點坐標(biāo),連接BE交對稱軸于點M,過E

44、作EF⊥x軸于點F,當(dāng)BE為平行四邊形的邊時,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,則可證得△PQN≌△EFB,可求得QN,即可求得Q到對稱軸的距離,則可求得Q點的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點坐標(biāo)；當(dāng)BE為對角線時,由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點坐標(biāo),設(shè)Q〔x,y,由P點的橫坐標(biāo)則可求得Q點的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點的坐標(biāo)． [解答]解： 〔1∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A〔﹣1,0,B〔5,0兩點, ∴,解得, ∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5； 〔2∵AD=5,且OA=1, ∴OD=6,且CD=8, ∴C〔﹣6,8, 設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C

45、′,則C′點的縱坐標(biāo)為8, 代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3, ∴C′點的坐標(biāo)為〔1,8或〔3,8, ∵C〔﹣6,8, ∴當(dāng)點C落在拋物線上時,向右平移了7或9個單位, ∴m的值為7或9； 〔3∵y=﹣x2+4x+5=﹣〔x﹣22+9, ∴拋物線對稱軸為x=2, ∴可設(shè)P〔2,t, 由〔2可知E點坐標(biāo)為〔1,8, ①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時,連接BE交對稱軸于點M,過E作EF⊥x軸于點F,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,如圖, 則∠BEF=∠BMP=∠QPN, 在△PQN和△EFB中 ∴△PQN≌△EFB〔AAS, ∴NQ=BF=OB﹣OF

46、=5﹣1=4, 設(shè)Q〔x,y,則QN=|x﹣2|, ∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6, 當(dāng)x=﹣2或x=6時,代入拋物線解析式可求得y=﹣7, ∴Q點坐標(biāo)為〔﹣2,﹣7或〔6,﹣7； ②當(dāng)BE為對角線時, ∵B〔5,0,E〔1,8, ∴線段BE的中點坐標(biāo)為〔3,4,則線段PQ的中點坐標(biāo)為〔3,4, 設(shè)Q〔x,y,且P〔2,t, ∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得y=5, ∴Q〔4,5； 綜上可知Q點的坐標(biāo)為〔﹣2,﹣7或〔6,﹣7或〔4,5． [點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形

47、的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在〔1注意待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2中求得平移后C點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在〔3中確定出Q點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中． 6．〔2017?XX如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,拋物線y=﹣x2﹣x+8與x軸正半軸交于點A,與y軸交于點B,連接AB,點M,N分別是OA,AB的中點,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始終保持邊ED經(jīng)過點M,邊CD經(jīng)過點N,邊DE與y軸交于點H,邊CD與y軸交于點G． 〔1填空：OA的長是　8　,∠ABO的度數(shù)是　30　度； 〔2如圖2,當(dāng)DE∥AB,連接HN． ①求證：

48、四邊形AMHN是平行四邊形； ②判斷點D是否在該拋物線的對稱軸上,并說明理由； 〔3如圖3,當(dāng)邊CD經(jīng)過點O時,〔此時點O與點G重合,過點D作DQ∥OB,交AB延長線上于點Q,延長ED到點K,使DK=DN,過點K作KI∥OB,在KI上取一點P,使得∠PDK=45°〔點P,Q在直線ED的同側(cè),連接PQ,請直接寫出PQ的長． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1先求拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),表示OA和OB的長,利用正切值可得∠ABO=30°； 〔2①根據(jù)三角形的中位線定理證明HN∥AM,由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得結(jié)論； ②如圖1,作垂

49、線段DR,根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)求DR=2,可知：點D的橫坐標(biāo)為﹣2,由拋物線的解析式可計算對稱軸是直線：x=﹣=﹣2,所以點D在該拋物線的對稱軸上； 〔3想辦法求出P、Q的坐標(biāo)即可解決問題； [解答]解：〔1當(dāng)x=0時,y=8, ∴B〔0,8, ∴OB=8, 當(dāng)y=0時,y=﹣x2﹣x+8=0, x2+4x﹣96=0, 〔x﹣8〔x+12=0, x1=8,x2=﹣12, ∴A〔8,0, ∴OA=8, 在Rt△AOB中,tan∠ABO===, ∴∠ABO=30°, 故答案為：8,30； 〔2①證明：∵DE∥AB, ∴, ∵OM=AM, ∴OH=BH,

50、∵BN=AN, ∴HN∥AM, ∴四邊形AMHN是平行四邊形； ②點D在該拋物線的對稱軸上, 理由是：如圖1,過點D作DR⊥y軸于R, ∵HN∥OA, ∴∠NHB=∠AOB=90°, ∵DE∥AB, ∴∠DHB=∠OBA=30°, ∵Rt△CDE≌Rt△ABO, ∴∠HDG=∠OBA=30°, ∴∠HGN=2∠HDG=60°, ∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°, ∴∠HDN=∠HND, ∴DH=HN=OA=4, ∴Rt△DHR中,DR=DH==2, ∴點D的橫坐標(biāo)為﹣2, ∵拋物線的對稱軸是直線：x=﹣=﹣=﹣2, ∴點D在該拋物線的對稱

51、軸上； 〔3如圖3中,連接PQ,作DR⊥PK于R,在DR上取一點T,使得PT=DT．設(shè)PR=a． ∵NA=NB, ∴HO=NA=NB, ∵∠ABO=30°, ∴∠BAO=60°, ∴△AON是等邊三角形, ∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD, ∵∠ODM=30°, ∴∠OMD=∠ODM=30°, ∴OM=OD=4,易知D〔﹣2,﹣2,Q〔﹣2,10, ∵N〔4,4, ∴DK=DN==12, ∵DR∥x軸, ,∴∠KDR=∠OMD=30° ∴RK=DK=6,DR=6, ∵∠PDK=45°, ∴∠TDP=∠TPD=15°, ∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=3

52、0°, ∴TP=TD=2a,TR=a, ∴a+2a=6, ∴a=12﹣18, 可得P〔﹣2﹣6,10﹣18, ∴PQ==12． [點評]本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考壓軸題． 7．〔2017?XX如圖,拋物線y=x2+x+c與x軸的負(fù)半軸交于點A,與y軸交于點B,連結(jié)AB,點C〔6,在拋物線上,直線AC與y軸交于點D． 〔1求c的值及直線

53、AC的函數(shù)表達式； 〔2點P在x軸正半軸上,點Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點M,連結(jié)MO并延長交AB于點N,若M為PQ的中點． ①求證：△APM∽△AON； ②設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,求AN的長〔用含m的代數(shù)式表示． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1把C點坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得c的值,令y=0可求得A點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達式； 〔2①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD,在Rt△OPQ中可求得MP=MO,可求得∠MPO=∠MOP=∠AON,則可證得△APM∽△AON； ②過M作ME⊥x軸

54、于點E,用m可表示出AE和AP,進一步可表示出AM,利用△APM∽△AON可表示出AN． [解答]解： 〔1把C點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得=9++c,解得c=﹣3, ∴拋物線解析式為y=x2+x﹣3, 令y=0可得x2+x﹣3=0,解得x=﹣4或x=3, ∴A〔﹣4,0, 設(shè)直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b〔k≠0, 把A、C坐標(biāo)代入可得,解得, ∴直線AC的函數(shù)表達式為y=x+3； 〔2①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB==,在RtAOD中,tan∠OAD==, ∴∠OAB=∠OAD, ∵在Rt△POQ中,M為PQ的中點, ∴OM=MP, ∴∠MOP=∠MPO,

55、且∠MOP=∠AON, ∴∠APM=∠AON, ∴△APM∽△AON； ②如圖,過點M作ME⊥x軸于點E,則OE=EP, ∵點M的橫坐標(biāo)為m, ∴AE=m+4,AP=2m+4, ∵tan∠OAD=, ∴cos∠EAM=cos∠OAD=, ∴=, ∴AM=AE=, ∵△APM∽△AON, ∴=,即=, ∴AN=． [點評]本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及方程思想等知識．在〔1中注意函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式,以及待定系數(shù)法的應(yīng)用,在〔2①中確定出兩對對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵,在〔

56、2②中用m表示出AP的長是解題的關(guān)鍵,注意利用相似三角形的性質(zhì)．本題考查知識點較多,綜合性較強,難度較大． 8．〔2017?XX拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A〔x1,0,B〔x2,0〔0＜x1＜x2兩點,與y軸交于點C． 〔1設(shè)AB=2,tan∠ABC=4,求該拋物線的解析式； 〔2在〔1中,若點D為直線BC下方拋物線上一動點,當(dāng)△BCD的面積最大時,求點D的坐標(biāo)； 〔3是否存在整數(shù)a,b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立,請證明你的結(jié)論． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1由tan∠ABC=4,可以假設(shè)B〔m,0,則A〔m﹣2

57、,0,C〔0,4m,可得拋物線的解析式為y=4〔x﹣m〔x﹣m+2,把C〔0,4m代入y=4〔x﹣m〔x﹣m+2,求出m的值即可解決問題； 〔2設(shè)P〔m,4m2﹣16m+12．作PH∥OC交BC于H,根據(jù)S△PBC=S△PHC+S△PHB構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題； 〔3不存在．假設(shè)存在,由題意由題意可知,且1＜﹣＜2,首先求出整數(shù)a的值,代入不等式組,解不等式組即可解決問題． [解答]解：〔1∵tan∠ABC=4 ∴可以假設(shè)B〔m,0,則A〔m﹣2,0,C〔0,4m, ∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=4〔x﹣m〔x﹣m+2, 把C〔0,4m代入y=4〔x﹣m〔x﹣m+

58、2,得m=3, ∴拋物線的解析式為y=4〔x﹣3〔x﹣1, ∴y=4x2﹣16x+12, 〔2如圖,設(shè)D〔m,4m2﹣16m+12．作DH∥OC交BC于H． ∵B〔3,0,C〔0,12, ∴直線BC的解析式為y=﹣4x+12, ∴H〔m,﹣4m+12, ∴S△DBC=S△DHC+S△DHB=?〔﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12?3=﹣6〔m﹣2+, ∵﹣6＜0, ∴m=時,△DBC面積最大, 此時D〔,﹣3． 〔3不存在． 理由：假設(shè)存在．由題意可知, 且1＜﹣＜2, ∴4＜a＜8, ∵a是整數(shù), ∴a=5 或6或7, 當(dāng)a=5時,代入不等式組,不等式組無解

59、． 當(dāng)a=6時,代入不等式組,不等式組無解． 當(dāng)a=7時,代入不等式組,不等式組無解． 綜上所述,不存在整數(shù)a、b,使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立． [點評]本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積,不等式組等整數(shù),解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,學(xué)會利用不等式組解決問題,屬于中考壓軸題． 9．〔2017?日照模擬如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè),直線l與拋物線交于A,C兩點,其中點C的橫坐標(biāo)為2． 〔1求A,B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式； 〔2P是線段AC上的一

60、個動點〔P與A,C不重合,過P點作y軸的平行線交拋物線于點E,求△ACE面積的最大值； 〔3若直線PE為拋物線的對稱軸,拋物線與y軸交于點D,直線AC與y軸交于點Q,點M為直線PE上一動點,則在x軸上是否存在一點N,使四邊形DMNQ的周長最??？若存在,求出這個最小值及點M,N的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 〔4點H是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A、C、F、H四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在,請直接寫出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由． [考點]HF：二次函數(shù)綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1令拋物線y=x2﹣2x﹣3=0,求出x的值,

61、即可求A,B兩點的坐標(biāo),根據(jù)兩點式求出直線AC的函數(shù)表達式； 〔2設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x〔﹣1≤x≤2,求出P、E的坐標(biāo),用x表示出線段PE的長,求出PE的最大值,進而求出△ACE的面積最大值； 〔3根據(jù)D點關(guān)于PE的對稱點為點C〔2,﹣3,點Q〔0,﹣1點關(guān)于x軸的對稱點為M〔0,1,則四邊形DMNQ的周長最小,求出直線CM的解析式為y=﹣2x+1,進而求出最小值和點M,N的坐標(biāo)； 〔4結(jié)合圖形,分兩類進行討論,①CF平行x軸,如圖1,此時可以求出F點兩個坐標(biāo)；②CF不平行x軸,如題中的圖2,此時可以求出F點的兩個坐標(biāo)． [解答]解：〔1令y=0,解得x1=﹣1或x2=3, ∴A〔﹣1

62、,0,B〔3,0； 將C點的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3, ∴C〔2,﹣3, ∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1, 〔2設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x〔﹣1≤x≤2, 則P、E的坐標(biāo)分別為：P〔x,﹣x﹣1,E〔x,x2﹣2x﹣3, ∵P點在E點的上方,PE=〔﹣x﹣1﹣〔x2﹣2x﹣3=﹣x2+x+2, ∴當(dāng)x=時,PE的最大值=, △ACE的面積最大值=PE[2﹣〔﹣1]=PE=, 〔3D點關(guān)于PE的對稱點為點C〔2,﹣3,點Q〔0,﹣1點關(guān)于x軸的對稱點為K〔0,1, 連接CK交直線PE于M點,交x軸于N點,可求直線CK的解析式為y=﹣2x+1,此時四邊形DMN

63、Q的周長最小, 最小值=|CM|+QD=2+2, 求得M〔1,﹣1,N〔,0． 〔4存在如圖1,若AF∥CH,此時的D和H點重合,CD=2,則AF=2, 于是可得F1〔1,0,F2〔﹣3,0, 如圖2,根據(jù)點A和F的坐標(biāo)中點和點C和點H的坐標(biāo)中點相同, 再根據(jù)|HA|=|CF|, 求出F4〔4﹣,0,F3． 綜上所述,滿足條件的F點坐標(biāo)為F1〔1,0,F2〔﹣3,0,F3,F4〔4﹣,0． [點評]本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱的知識和分類討論解決問題的思路,此題難度較大． 10．〔2017?黃岡模擬如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直

64、角坐標(biāo)系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點O,C,A三點． 〔1求該拋物線的解析式； 〔2在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線,交x軸于E,F兩點,問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有,請求出最值,并寫出解答過程；如果沒有,請說明理由． 〔3如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O〔原點、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在,求出N點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． [考點]HF：二次函數(shù)

65、綜合題． [專題]16 ：壓軸題． [分析]〔1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標(biāo)和A的坐標(biāo),又因為拋物線經(jīng)過原點,故設(shè)y=ax2+bx把〔2,4,〔4,0代入,求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式； 〔2四邊形PEFM的周長有最大值,設(shè)點P的坐標(biāo)為P〔a,﹣a2+4a則由拋物線的對稱性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+〔﹣a2+4a]=﹣2〔a﹣12+10,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值； 〔3在拋物線上存在點N,使O〔原點、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形,由〔1可求出拋物線的頂點坐標(biāo),

66、過點C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,這兩個交點為所求的N點坐標(biāo)所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交點坐標(biāo)． [解答]解：〔1因為OA=4,AB=2,把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°, 可以確定點C的坐標(biāo)為〔2,4；由圖可知點A的坐標(biāo)為〔4,0, 又因為拋物線經(jīng)過原點,故設(shè)y=ax2+bx把〔2,4,〔4,0代入, 得, 解得 所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x； 〔2四邊形PEFM的周長有最大值,理由如下： 由題意,如圖所示,設(shè)點P的坐標(biāo)為P〔a,﹣a2+4a則由拋物線的對稱性知OE=AF, ∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a, 則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+〔﹣a2+4a]=﹣2〔a﹣12+10, ∴當(dāng)a=1時,矩形PEFM的周長有最大值,Lmax=10； 〔3在拋物線上存在點N,使O〔原點、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形,理由如下： ∵y=﹣x2+4x=﹣〔x﹣22+4可知頂點坐標(biāo)〔2,4, ∴知道C點正好是頂點坐標(biāo),知道C點到x軸的距離為4個單位長度, 過點