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1、編號：
時間：2021年x月x日
書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟
頁碼：第7頁 共7頁
《保險精算學》筆記：多重損失模型
第一節(jié)??????? 簡介
一、 背景介紹
如果被保險人投保壽險且在繳費期間死亡，那就意味著他將獲得保險賠付而且不再繳納保險費了。就這人而言，保險人遭受到了損失。在前面七章中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時，各種保險要素的確定。在實際中，除了死亡這個損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費的損失變量，比如，壽險中，被保險人退保；勞動力計劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時的繳納——賠付之間的平衡構成影響。多重損失模型就是在這
2、種背景下產(chǎn)生的。
二、 多損失模型的構造
1、兩變量模型
多種損失模型的實質(zhì)就是一個兩變量模型。變量一是狀況終止的時間 ，在壽險場合它可以表示為剩余壽命；變量二是狀況終止的原因 ，這是一個離散隨機變量，比如在壽險場合，我們可以令 ,表示死亡， ，表示退保。
????????? 2、聯(lián)合密度函數(shù)
3、邊際分布函數(shù)
4、事件的概率
5、多重損失函數(shù)
：由原因 引起的，且損失發(fā)生在時間 之前的概率
：由原因 引起的損失發(fā)生的概率
： 的密度函數(shù)
： 的分布函數(shù)
：由各種原因引起的損失發(fā)生在時間 之前的概率
：損失不會發(fā)生在時間 之前的概率
3、
： 時刻由原因 引起的損失效力
： 時刻由各種原因引起的總損失效力
：給定損失時間 ， 的條件概率
第二節(jié)??????? 殘存組的確定
一、 隨機殘存組
1、? 隨機殘存組的定義：考察一組 歲的 個生命，每一個生命的終止（損失）時間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定：
2、? 隨即殘存組函數(shù)
：在年齡 與 之間因原因 而離開的成員的期望個數(shù)
：在年齡 與 之間因各種原因而總共離開的成員的期望個數(shù)
：原先 個 歲的成員在 歲時的期望殘存?zhèn)€數(shù)
二、 決定性殘存組
1、確定性殘存組的定義：總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。
4、則一組 個 歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力演變 ，則原先 個歲成員在 歲時的殘存數(shù)為
2、確定性殘存組函數(shù)
：在年齡 與 之間因各種原因而離開的成員數(shù)
：現(xiàn)年 歲，將來因為原因 而終結的個體數(shù)
：因原因 引起的損失效力
：因各種原因引起的總損失效力
第三章??????? 多重損失表的構造
一、 單重損失函數(shù)
1、? 絕對損失率
（1）?????? 單重損失函數(shù)定義
（2）?????? 絕對損失函數(shù)定義
稱為絕對損失率，是指原因 在 的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（net probabilities of decremen
5、t）或獨立損失率(independent rate of decrement)。
2、? 基本關系
由此可以推導出
3、? 常數(shù)損失效力假定
（1）?????? 假定：每一年內(nèi)死亡效力恒定，即
等價推出
（2）?????? 關系時式
4、? 多重損失均勻分布假定
（1）?????? 假定： 每種損失在每一年內(nèi)均勻分布
等價推出
（2）?????? 關系式
與常數(shù)損失效力假定情況下的關系式相同。
二、 多重損失表的構造
1、? 由單重損失函數(shù)推導多重損失函數(shù)
2、? 多重損失表構造
示例
年齡
單重損失表
多重損失表
……
……
65
0.02
……
0.04
0.01941
……
0.03921
66
0.025
……
0.06
0.02401
……
0.05866
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