2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第44講 立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直學(xué)案
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1、 第44講 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.理解直線的方向向量與平面法向量的意義. 2.能用向量語言表達(dá)直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系. 3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). 2016·山東卷,17 2016·浙江卷,17 2016·天津卷,17 空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算在高考中主要作為解題工具,解決直線、平面的平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題. 分值:5~6分 1.直線的方向向量與平面的法向量的確定 (1)直線的方向向量:在直線上任取一__非零
2、__向量作為它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程組求出:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為 2.用向量證明空間中的平行關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1∥l2(或l1與l2重合)?__v1∥v2__. (2)設(shè)直線l的方向向量為v,與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2,則l∥α或l?α?__存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使v=xv1+yv2__. (3)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l∥α或l?α?__v⊥u__. (4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1,u2,則α∥β?__u1∥u2__. 3.用向
3、量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2, 則l1⊥l2?__v1⊥v2__?__v1·v2=0__. (2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?__v∥u__. (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?__u1⊥u2__?__u1·u2=0__. 1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”). (1)直線的方向向量是唯一確定的.( × ) (2)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.( √ ) (3)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行或重合.( √ ) (4)若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平
4、行.( × ) 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是( C ) A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C. D. 解析 =(-1,1,0),=(-1,0,1),經(jīng)計(jì)算得C符合題意. 3.已知直線l的方向向量v=(1,2,3),平面α的法向量為u=(5,2,-3),則l與α的位置關(guān)系是__l∥a或l?α__. 解析 ∵v=(1,2,3),u=(5,2,-3),1×5+2×2+3×(-3)=0, ∴v⊥u,∴l(xiāng)∥a或l?α. 4.設(shè)u,v分別是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),當(dāng)v=(3,-2,2)時(shí),
5、α與β的位置關(guān)系為__α⊥β__;當(dāng)v=(4,-4,-10)時(shí),α與β的位置關(guān)系為__α∥β__. 解析 當(dāng)v=(3,-2,2)時(shí),u⊥v,則α⊥β,當(dāng)v=(4,-4,-10)時(shí),u∥v,則α∥β. 5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM的位置關(guān)系是__異面垂直__. 解析 以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),則=(1,0,2),∴·=0,∴⊥,∴ON⊥AM.
6、 一 利用空間向量證明平行問題 (1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. (2)證明直線與平面平行,只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算. 【例1】 如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:PB∥平面EFG. 證明 ∵平面PAD⊥平面ABCD,且AB
7、CD為正方形,∴AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),G(1,2,0). ∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1), 設(shè)=s+t,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ∴解得s=t=2.∴=2+2, 又∵與不共線,∴,與共面. ∵PB?平面EFG,∴PB∥平面EFG. 二 利用空間向量證明垂直問題 證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐
8、標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵. (2)證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直;證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可,當(dāng)然,也可證直線的方向向量與平面的法向量平行;證明面面垂直:①證明兩平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可. 【例2】 如圖所示,正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD. 證明 如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.
9、 因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以AO⊥BC. 因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1, 所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為原點(diǎn),分別以,,所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,0,),A1(0,2,),B1(1,2,0). 設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0). 因?yàn)閚⊥,n⊥,故? 令x=1,則y=2,z=-,故n=(1,2,-)為平面A1BD的一個(gè)法向量,而=(1,2,-),所以=n,所以∥n, 故AB1⊥平面A1BD.
10、【例3】 如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)證明AP⊥BC; (2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC. 證明 (1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過O平行于BD的直線為x軸,以AD,OP分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4). 于是=(0,3,4),=(-8,0,0), ∴·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,∴⊥,即AP⊥BC.
11、 (2)由(1)知|AP|=5, 又|AM|=3,且點(diǎn)M在線段AP上, ∴==, 又=(-8,0,0),=(-4,5,0), =(-4,-5,0),∴=+=, 則·=(0,3,4)·=0, ∴⊥,即AP⊥BM,又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC,且BM∩BC=C,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC,∴平面AMC⊥平面BMC. 三 利用空間向量解決探索性問題 對(duì)于“是否存在”型問題的探索方式有兩種:一種是先根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證;另一種是利用空間向量,先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn)”,若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,則
12、判定“不存在”. 【例4】 如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求證:BD⊥AA1; (2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1.若存在,求出點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析 (1)證明:設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,則BD⊥AC,連接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°, 由余弦定理,得A1O2=AA+AO2-2AA1·AOcos 60°=3, ∴AO2+A1O2=AA,∴A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥平面
13、ABCD. 以O(shè)B,OC,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,). 由于=(-2,0,0),=(0,1,),·=0×(-2)+1×0+×0=0, ∴⊥,即BD⊥AA1. (2)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1, 設(shè)=λ,P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,). 從而有P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ). 設(shè)n3=(x3,y3,z3)為平面DA1C1的一個(gè)法向量, 則又=(0,2,0),=(,0,),
14、 則取n3=(1,0,-1), ∵BP∥平面DA1C1,則n3⊥,即n3·=--λ=0, 得λ=-1, 即點(diǎn)P在C1C的延長線上,且C1C=CP. 1.如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD. 證明 如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所在射線分別為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由題意知,A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0). 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0). 因?yàn)椋?,所以Q. 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)
15、,故M(0,,1). 又P為BM的中點(diǎn),故P, 所以=. 又平面BCD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1),故·a=0. 又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. 2.如圖所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn),求證: (1)DE∥平面ABC; (2)B1F⊥平面AEF. 證明 導(dǎo)學(xué)號(hào)74780343 (1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,令A(yù)B=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(xiàn)(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4) . 取AB中點(diǎn)
16、為N,連接CN, 則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), ∴=(-2,4,0),=(-2,4,0), ∴=,∴DE∥NC, 又∵NC?平面ABC,DE?平面ABC. 故DE∥平面ABC. (2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0). ·=(-2)×2+2×(-2)+(-4) ×(-2)=0, ·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴⊥,⊥,即B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又∵AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF. 3.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,A
17、B=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°角. (1)求證:CM∥平面PAD; (2)求證:平面PAB⊥平面PAD. 證明 (1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz, ∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°. ∵|PC|=2,∴|BC|=2,|PB|=4. ∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M, ∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=, 令n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)
18、法向量. 則即∴ 令y=2,得n=(-,2,1). ∵n·=-×+2×0+1×=0, ∴n⊥,又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中點(diǎn)E,則E(,2,1),=(-,2,1). ∵|PB|=|AB|,∴BE⊥PA. 又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0, ∴⊥,∴BE⊥DA, 又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD, 又∵BE?平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAD. 4.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F(xiàn)分別是AB,PB的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥CD; (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,
19、使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論. 解析 (1)證明:如圖,分別以DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F(xiàn). =,=(0,a,0). ∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD. (2)設(shè)G(x,0,z), 則=, 若使GF⊥平面PCB,則 由·=·(a,0,0) =a=0,得x=; 由·=·(0,-a,a) =+a=0,得z=0, ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn). 易錯(cuò)點(diǎn) 坐標(biāo)系建立不恰當(dāng)、點(diǎn)的坐標(biāo)出錯(cuò) 錯(cuò)因分析:①寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵
20、,要利用中點(diǎn)、向量共線、相等來確定點(diǎn)的坐標(biāo).②利用a=λb證明直線平行需強(qiáng)調(diào)兩直線不重合,證明直線與平面平行仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外. 【例1】 如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng),且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ; (2)是否存在λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由. 解析 以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dx
21、yz. 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(xiàn)(1,0,0), P(0,0,λ),M(2,1,2),N(1,0,2),=(-2,0,2), =(-1,0,λ),=(1,1,0),=(-1,-1,0), =(-1,0,λ-2). (1)證明:當(dāng)λ=1時(shí),=(-1,0,1), 因?yàn)椋?-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ, 故直線BC1∥平面EFPQ. (2)設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則 可得于是可取n=(λ,-λ,1). 同理可得平面PQMN的一個(gè)法向量為m=(λ-2,
22、2-λ,1). 若存在λ,使平面EFPQ與平面PQMN所成二面角為直二面角,則m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±. 故存在λ=1±,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角. 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2018·河北衡水中學(xué)檢測(cè))如圖所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1)求證:AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC,則側(cè)棱SC上的是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析 連接BD,設(shè)AC交BD于O
23、,則AC⊥BD. 由題意知SO⊥平面ABCD. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 設(shè)底面邊長為a,則高|SO|=a. 于是S,D, B,C. (1)證明:=,=, 則·=0.故OC⊥SD,從而AC⊥SD. (2)棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC. 理由如下:由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量, 且=,=, =. 設(shè)=t, 則=+=+t=, 而·=0, 所以·=0, 解得t=,即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),⊥. 又BE?平面PAC,故BE∥平面PAC. 課時(shí)達(dá)標(biāo) 第44講 [解密考綱]利用空間向量證明平行與垂直
24、關(guān)系,常出現(xiàn)于選擇、填空題中,或在解答題立體幾何部分的第(1)問考查,難度中等或較?。? 一、選擇題 1.若直線l∥平面α,直線l的方向向量為s,平面α的法向量為n,則下列結(jié)論可能正確的是( C ) A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1) B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1) C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1) D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2) 解析 由已知需s·n=0,逐個(gè)驗(yàn)證知,只有C項(xiàng)符合要求,故選C. 2.若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,能使l⊥α的是( A ) A.a(chǎn)=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.
25、a=(1,3,5),n=(1,0,-1) C.a(chǎn)=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a(chǎn)=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若l⊥α,則a∥n,一一驗(yàn)證,可知選A. 3.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面α,則x=( D ) A.-2 B.- C. D.± 解析 由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±. 4.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,|AB|=,|AF|=1,
26、M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為( C ) A.(1,1,1) B. C. D. 解析 由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),設(shè)M(x,x,1). 則=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=(a,b,c). 則即 解得令b=1,則n=(1,1,). 又AM∥平面BDE,所以n·=0, 即2(x-)+=0,得x=,所以M. 5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,則( B ) A.EF至多與A1D,
27、AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF與BD1相交 D.EF與BD1異面 解析 以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1, 則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F(xiàn),B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1),=(-1,1,0), =,=(-1,-1,1), =-,·=·=0, 從而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC,故選B. 6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則
28、MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( B ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.不確定 解析 建立如圖所示的坐標(biāo)系, 由于A1M=AN=, 則M,N,=, 又C1D1⊥平面BB1C1C, 所以=(0,a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量. 因?yàn)椤ぃ?,所以⊥, 所以MN∥平面BB1C1C,故選B. 二、填空題 7.若直線l的方向向量e=(2,1,m),平面α的法向量n=,且l⊥α,則m=__4__. 解析 因?yàn)閘⊥α,所以e∥n,即e=λn(λ≠0),亦即(2,1,m)=λ,所以則m=4. 8.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(
29、x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為__,-,4__. 解析 由已知得解得 9.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個(gè)法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是__平行__. 解析 由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),設(shè)平面α的一個(gè)法向量為m=(x,y,z), 則得 得令z=1,得m=(1,1,1). 又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n,所以α∥β. 三、解答題 10.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別為A1B1,B1
30、C1,C1D1的中點(diǎn). (1)求證:AG∥平面BEF; (2)試在棱長BB1上找一點(diǎn)M,使DM⊥平面BEF,并證明你的結(jié)論. 解析 (1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(1,0,0),B(1,1,0),E,F(xiàn),G, 因?yàn)椋?,=? 而=,所以=+, 故與平面BEF共面, 又因?yàn)锳G不在平面BEF內(nèi),所以AG∥平面BEF. (2)設(shè)M(1,1,m),則=(1,1,m), 由·=0,·=0,所以-+m=0?m= , 所以M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),DM⊥平面BEF. 11.(2018·北京西城二模)如圖,直角梯形A
31、BCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求證:AB⊥DE; (2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值; (3)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析 (1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接EO,DO. 因?yàn)镋B=EA,所以EO⊥AB. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形. AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四邊形OBCD為正方形, 所以AB⊥OD. 因?yàn)镋O∩DO=O,所以AB⊥平面EOD,所以AB⊥ED. (2)因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD,且E
32、O⊥AB, 所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD. 由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形, 所以O(shè)A=OB=OD=OE, 設(shè)OB=1,所以O(shè)(0,0,0), A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1). 所以=(1,1,-1), 平面ABE的一個(gè)法向量為=(0,1,0). 設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ, 所以sin θ=|cos〈,〉|==, 即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為. (3)存在點(diǎn)F,且=時(shí),有EC∥平面FBD. 證明如下:由=
33、=, F,所以=,=(-1,1,0). 設(shè)平面FBD的法向量為v=(a,b,c), 則有所以取a=1,得v=(1,1,2). 因?yàn)椤=(1,1,-1)·(1,1,2)=0, 且EC?平面FBD,所以EC∥平面FBD, 即點(diǎn)F滿足=時(shí),有EC∥平面FBD. 12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE=FC1=1. (1)求證:E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面; (2)若點(diǎn)G在BC上,BG=,點(diǎn)M在BB1上,GM⊥BF,垂足為H,求證:EM⊥平面BCC1B1. 證明 (1)以B為原點(diǎn),以BA,BC,BB1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz, 則B(0,0,0),E(3,0,1),F(xiàn)(0,3,2),D1(3,3,3),則=(3,0,1),=(0,3,2),=(3,3,3),所以=+. 由向量共面的充要條件知E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面. (2)設(shè)M(0,0,z0),G,則=, 而=(0,3,2), 由題設(shè)得·=-×3+z0·2=0, 得z0=1.故M(0,0,1),有=(3,0,0). 又=(0,0,3),=(0,3,0), 所以·=0,·=0,從而ME⊥BB1,ME⊥BC. 又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1. 19
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