《正弦定理》教學設計

《《正弦定理》教學設計》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《正弦定理》教學設計（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

《正弦定理》教學設計 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的內容,是使學生在已有知識的基礎上，通過對三角形邊角關系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊與角之間的數(shù)量關系。通過創(chuàng)設問題情景，從而引導學生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學生學習的興趣，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題： （1）已知兩角和一邊，解三角形； （2）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。 二、學情分析 本節(jié)授課對象是高一學生，是在學生學習了必修④基本初等函數(shù)Ⅱ和三角恒等變換的基礎上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關系，得出正弦定理。高一學生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實際問題出發(fā)可以激起學生的學習興趣，使學生產(chǎn)生探索研究的愿望。 根據(jù)上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平 ，制定如下教學目標和重、難點。 三、教學目標： 1.知識與技能：通過創(chuàng)設問題情境，引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會初步運用正弦定理與三角形的內角和定理解斜三角形的兩類問題。 2.過程與方法：引導學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角正弦的比值之間的關系，培養(yǎng)學生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。 3.情感、態(tài)度與價值觀：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發(fā)學生學習的興趣。 四、教學重點與難點： 重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。 難點： ①正弦定理的證明； ②了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，解的情況不唯一。 五、學法與教法 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：， 接著就一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎，培養(yǎng)學生“會觀察”、 “會類比”、“會分析”、“會論證”的能力。 教法：運用“發(fā)現(xiàn)問題—自主探究—嘗試指導—合作交流”的教學模式 （1）新課引入——提出問題, 激發(fā)學生的求知欲。 （2）掌握正弦定理的推導證明——分類討論，數(shù)形結合，動腦思考,由特殊到一般，組織學生自主探索,獲得正弦定理及證明過程。 （3）例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識。 （4）鞏固練習——深化對正弦定理的理解。 六、教學過程 創(chuàng)設問題情境：如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出兩點間A、C的距離55m，∠ACB=600，∠BAC=450求A、B兩點間的距離。 A C B 引導學生理清題意，研究設計方案，并畫出圖形，探索解決問題的方法． 啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題實質是：已知△ABC中∠A、∠C和AC長度，求AB距離.即：已知三角形中兩角及其夾邊，求其它邊． 新知探究 1.提出問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系．我們是否能得到這個邊、角關系的準確量化的表示呢？ 2.解決問題： C B A c b a 回憶直角三角形中的邊角關系： 根據(jù)正弦函數(shù)的定義有： ，sinC=1。 經(jīng)過學生思考、交流、討論得出： ， 問題1：這個結論在任意三角形中還成立嗎？ （引導學生首先分為兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形，然后按照化未知為已知的思路，構造直角三角形完成證明。） a b D A B C ①當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。 由此，得 ， 同理可得 ， 故有 . 從而這個結論在銳角三角形中成立. A B C D b a ②當ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。 由此，得 ， 同理可得 故有 . 由①②可知，在ABC中， 成立. 從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即. 這就是我們今天要研究的—— 正弦定理 思考：你還有其它方法證明正弦定理嗎？（由學生討論、分析） 證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中 S△ABC= 兩邊同除以即得：== 證明二：（外接圓法） 如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ 同理 =2R，＝2R 證明三：（向量法） 過A作單位向量垂直于 由　+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)= 則+= ∴||||cos90+||||cos(90-C)=||||cos(90-A) ∴ ∴= 同理，若過C作垂直于得： = ∴==。 正弦定理：===2R（R是外接圓的半徑） 變形：。 接著給出解三角形的概念：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形． 問題2：你能否從方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的幾個元素？ 問題 3：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？ （1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。 （2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。 3. 應用定理： 例1. 應用正弦定理解決提出的求河岸兩側兩點間距離問題. 題目見創(chuàng)設問題情境, 引導學生給出解決方法 例2.（1）在． （2） 在． 解：（1）∵， 為銳角， ∴ （，而） （2） ， 變式訓練： 根據(jù)已知條件,求解三角形 七、課堂小結：（學生發(fā)言，互相補充，老師評價.） 1．用三種方法證明了正弦定理： （1）轉化為直角三角形中的邊角關系； （2）利用向量的數(shù)量積． （3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題： （1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角； （2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角． 八、布置作業(yè)： 1.思考：已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,解的情況可能有幾種？試從理論上說明. 2.P10.習題1.1.A組：1，2. 九、教學反思： 本設計通過解斜三角形的一個實際問題引導學生發(fā)現(xiàn)三角形的邊角關系，將斜三角形的邊角關系轉化為直角三角形的邊角關系導出正弦定理，思路自然，學生樂于接受。通過引導學生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理，進而探究在任意三角形中是否還成立？將學生帶入探索新知的氛圍，學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，探索得出新結論，體驗了成功的樂趣，對如何運用定理解決問題也是躍躍欲試，在課堂小結教學中，給學生一個暢所欲言的機會，互相評價，最終得到完善的答案．這樣做，可以鍛煉學生的語言表達能力，這也體現(xiàn)了一個人成長、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過程，對于培養(yǎng)意志品質起到了重要作用． 本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教師的啟發(fā)引導下，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內容，為學生提供表達、質疑、探究問題的機會，讓學生在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力。 一點感悟：新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！