《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

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《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的內(nèi)容,是使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系。通過創(chuàng)設(shè)問題情景，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，并指出解決問題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問題： （1）已知兩角和一邊，解三角形； （2）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。 二、學(xué)情分析 本節(jié)授課對象是高一學(xué)生，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修④基本初等函數(shù)Ⅱ和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，由實(shí)際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關(guān)系，得出正弦定理。高一學(xué)生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實(shí)際問題出發(fā)可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的愿望。 根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學(xué)生的認(rèn)知水平 ，制定如下教學(xué)目標(biāo)和重、難點(diǎn)。 三、教學(xué)目標(biāo)： 1.知識(shí)與技能：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會(huì)初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。 2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角正弦的比值之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結(jié)論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。 難點(diǎn)： ①正弦定理的證明； ②了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，解的情況不唯一。 五、學(xué)法與教法 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：， 接著就一般斜三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡捷，新穎，培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)觀察”、 “會(huì)類比”、“會(huì)分析”、“會(huì)論證”的能力。 教法：運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)問題—自主探究—嘗試指導(dǎo)—合作交流”的教學(xué)模式 （1）新課引入——提出問題, 激發(fā)學(xué)生的求知欲。 （2）掌握正弦定理的推導(dǎo)證明——分類討論，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)腦思考,由特殊到一般，組織學(xué)生自主探索,獲得正弦定理及證明過程。 （3）例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們在探索中自得知識(shí)。 （4）鞏固練習(xí)——深化對正弦定理的理解。 六、教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)問題情境：如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離。測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出兩點(diǎn)間A、C的距離55m，∠ACB=600，∠BAC=450求A、B兩點(diǎn)間的距離。 A C B 引導(dǎo)學(xué)生理清題意，研究設(shè)計(jì)方案，并畫出圖形，探索解決問題的方法． 啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)是：已知△ABC中∠A、∠C和AC長度，求AB距離.即：已知三角形中兩角及其夾邊，求其它邊． 新知探究 1.提出問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系．我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢？ 2.解決問題： C B A c b a 回憶直角三角形中的邊角關(guān)系： 根據(jù)正弦函數(shù)的定義有： ，sinC=1。 經(jīng)過學(xué)生思考、交流、討論得出： ， 問題1：這個(gè)結(jié)論在任意三角形中還成立嗎？ （引導(dǎo)學(xué)生首先分為兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形，然后按照化未知為已知的思路，構(gòu)造直角三角形完成證明。） a b D A B C ①當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。 由此，得 ， 同理可得 ， 故有 . 從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立. A B C D b a ②當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。 由此，得 ， 同理可得 故有 . 由①②可知，在ABC中， 成立. 從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即. 這就是我們今天要研究的—— 正弦定理 思考：你還有其它方法證明正弦定理嗎？（由學(xué)生討論、分析） 證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中 S△ABC= 兩邊同除以即得：== 證明二：（外接圓法） 如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ 同理 =2R，＝2R 證明三：（向量法） 過A作單位向量垂直于 由　+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)= 則+= ∴||||cos90+||||cos(90-C)=||||cos(90-A) ∴ ∴= 同理，若過C作垂直于得： = ∴==。 正弦定理：===2R（R是外接圓的半徑） 變形：。 接著給出解三角形的概念：一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形． 問題2：你能否從方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的幾個(gè)元素？ 問題 3：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？ （1）已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊和另一角。 （2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計(jì)算另一邊的對角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。 3. 應(yīng)用定理： 例1. 應(yīng)用正弦定理解決提出的求河岸兩側(cè)兩點(diǎn)間距離問題. 題目見創(chuàng)設(shè)問題情境, 引導(dǎo)學(xué)生給出解決方法 例2.（1）在． （2） 在． 解：（1）∵， 為銳角， ∴ （，而） （2） ， 變式訓(xùn)練： 根據(jù)已知條件,求解三角形 七、課堂小結(jié)：（學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，老師評價(jià).） 1．用三種方法證明了正弦定理： （1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系； （2）利用向量的數(shù)量積． （3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題： （1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角； （2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角． 八、布置作業(yè)： 1.思考：已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時(shí),解的情況可能有幾種？試從理論上說明. 2.P10.習(xí)題1.1.A組：1，2. 九、教學(xué)反思： 本設(shè)計(jì)通過解斜三角形的一個(gè)實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的邊角關(guān)系，將斜三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角關(guān)系導(dǎo)出正弦定理，思路自然，學(xué)生樂于接受。通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理，進(jìn)而探究在任意三角形中是否還成立？將學(xué)生帶入探索新知的氛圍，學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索得出新結(jié)論，體驗(yàn)了成功的樂趣，對如何運(yùn)用定理解決問題也是躍躍欲試，在課堂小結(jié)教學(xué)中，給學(xué)生一個(gè)暢所欲言的機(jī)會(huì)，互相評價(jià)，最終得到完善的答案．這樣做，可以鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，這也體現(xiàn)了一個(gè)人成長、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過程，對于培養(yǎng)意志品質(zhì)起到了重要作用． 本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供表達(dá)、質(zhì)疑、探究問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力。 一點(diǎn)感悟：新課標(biāo)下的課堂是學(xué)生和教師共同成長的舞臺(tái)！