微積分求極限的方法(2·完整版)

專題一 求極限的方法【考點(diǎn)】求極限1、 近幾年來的考試必然會涉及求極限的大題目，一般為2-3題12-18分左右，而用極限的概念求極限的題目已不會出現(xiàn)。一般來說涉及到的方法主要涉及等價量代換、洛必達(dá)法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時要注意條件，如等價量代換是在幾塊式子乘積時才可使用，洛必達(dá)法則是在0比0，無窮比無窮的情況下才可使用，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算時要各部分極限存在時才可使用等。2、 極限收斂的幾個準(zhǔn)則：歸結(jié)準(zhǔn)則（聯(lián)系數(shù)列和函數(shù)）、夾逼準(zhǔn)則（常用于數(shù)列的連加）、單調(diào)有界準(zhǔn)則、子數(shù)列收斂定理（可用于討論某數(shù)列極限不存在）3、 要注意除等價量代換和洛必達(dá)法則之外其他輔助方法的運(yùn)用，比如因式分解，分子有理化，變量代換等等。4、 兩個重要極限 ，注意變形，如將第二個式子中的變成某趨向于0的函數(shù)以構(gòu)造“”的形式的典型求極限題目。5、 一些有助于解題的結(jié)論或注意事項(xiàng)需要注意總結(jié)，如：（1） 利用歸結(jié)原則將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限（2） 函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時可以利用這點(diǎn)進(jìn)行解題，如因左右極限不相等而在這點(diǎn)極限不存在。（當(dāng)式子中出現(xiàn)絕對值和e的無窮次方的結(jié)構(gòu)時可以考慮從這個角度出發(fā)）（3） 遇到無限項(xiàng)和式求極限時想三種方法：看是否能直接求出這個和式(如等比數(shù)列求和)再求極限夾逼定理用定積分的概念求解。（4）如果f(x)/g(x)當(dāng)xx0時的極限存在，而當(dāng)xx0時g(x)0，則當(dāng)xx0時f(x)也 0（5）一個重要的不等式：（）*其中方法考到的可能性較大。6、 有關(guān)求極限時能不能直接代入數(shù)據(jù)的問題。7、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、根的存在性定理、介值定理）8、 此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分?jǐn)?shù)?！纠}精解求極限的方法】方法一：直接通過化簡，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算?！纠?】求極限 解 =注：此題通過洛必達(dá)法則進(jìn)行求解也非常方便。還可通過變量代換構(gòu)造等價量?！纠?】求極限解 注：1、遇到“根號加減根號”基本上有兩種方法有理化和采取倒變量的方法。2、一個最基本的多項(xiàng)式極限(系數(shù)均不為0)：若n>m，則極限為正無窮；若n<m，則極限為0；若n=m，則極限為。（本質(zhì)為比較次數(shù)）要注意的是是趨向于正無窮，而且分子分母遇到根號時要以根號里的最高次的次來計算，如的次數(shù)為1。方法二：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則來證明極限存在并求極限【例3】設(shè)，,證明存在并求之方法三：利用夾逼定理適用于無限項(xiàng)求極限時可放縮的情況?！纠?】求極限解 因 而 故由夾逼定理=1方法四&方法五：等價量代換、洛必達(dá)法則未定式極限。（化加減為乘除！）【例5】求極限解 原式=【例6】求極限解 = 【例7】求極限解 原式= = = 【例8】求極限解：直接運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價量代換可得=1+4+9=14【例9】求極限解： 由換底公式，=()= 若，則極限為；若，則極限為，綜上，極限為方法六：冪指函數(shù)求極限取對數(shù)再取指數(shù)?！纠?0】解 【例11】解 【例12】求極限注意x是趨向正無窮，此時需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少，分析底數(shù)易知底數(shù)趨向于正無窮。但是指數(shù)arccotx這個函數(shù)不是很熟，可以通過圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少，最后得出結(jié)論是指數(shù)趨于0。故是一個“”型，所以要用“先取對數(shù)再取指數(shù)”的方法。對于之后arccotx的處理，若用羅比達(dá)對其求導(dǎo)則會發(fā)現(xiàn)再接下來比較難做，這里給出一個轉(zhuǎn)化為熟悉的，可等加量代換的式子的方法，方法較靈活，需要對三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有很深的熟悉度。解 原式= =關(guān)于第三個等號左右的變化：令，則，故，綜上，方法七：運(yùn)用泰勒定理求極限適用于直接洛必達(dá)不好算時考慮的方法?！纠?3】求極限解 , 代入原式可得，原式=方法八：通過定積分的概念來求極限【例14】求解 由于此題無法直接對式子進(jìn)行化簡，也無法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來求解，即 原式=此時由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)在0,1上的定積分，故=【例15】求極限解 【例16】【分析】此題看似復(fù)雜，其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)仍為無限項(xiàng)的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“”和“”?！啊蔽覀兛梢灶愃啤纠?】，自己把這一項(xiàng)構(gòu)造出來，而這一項(xiàng)不同于我們以往做過的題目中經(jīng)常取小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)，而是取了中間一個點(diǎn)，但是無論如何，由于“取點(diǎn)的任意性”，只要能表示成中的一種即可看作為0到1上的定積分。解： 原式= 故原式=【一些核心問題&問的很多的題目】1、求極限的時候到底什么時候可以直接代進(jìn)去？【例子1】【例子2】【例子3】【例子4】,2、蘇德礦版微積分P104 T107令，化簡方程【一些練習(xí)題，有點(diǎn)難度，可做可不做】1、2、=1，=2，求3、答案：1、12、03、