2020高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 立體幾何怎么解-高考必考

立體幾何題怎么解高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T(mén)話題.例1 四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB面ABCD.（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；（2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°講解:（1）正方形ABCD是四棱錐PABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.面ABCD,BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB， PADA， PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60°. 而PB是四棱錐PABCD的高，PB=AB·tg60°=a, .（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形. 作AEDP，垂足為E，連結(jié)EC，則ADECDE， 是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角. 設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EOAC， 在 故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°. 本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎, 特征鮮明的好題.例2 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C點(diǎn)到AB1的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).（1）求證：AB1平面CED；（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；（3）求二面角B1ACB的平面角.講解:（1）D是AB中點(diǎn)，ABC為等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是異面直線AB1與CD的公垂線段CE=，AC=1 , CD=；（3）連結(jié)B1C，易證B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=600， , , .作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.例3 如圖al是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90°，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形ACB=（I） 求三棱錐DABC的體積；（2）求二面角DACB的大?。?（3）求異面直線AB、CD所成的角. 講解: (1) 過(guò)D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E. 為二面角al的平面角.是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=（2）過(guò)O在內(nèi)作OMAC,交AC的反向延長(zhǎng)線于M,連結(jié)DM.則ACDM.DMO 為二面角DACB的平面角. 又在DOA中，OA=2cos60°=1.且 （3）在平在內(nèi)，過(guò)C作AB的平行線交AE于F，DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即ABC斜邊上的高,異面直線AB,CD所成的角為arctg比較例2與例3解法的異同, 你會(huì)得出怎樣的啟示? 想想看. 例4在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖若用剩下的部分折成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱形容器，如圖則當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值 圖 圖 講解: 設(shè)容器的高為x則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為, . 當(dāng)且僅當(dāng) .故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為對(duì)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來(lái)講，三次函數(shù)的最值問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類似的問(wèn)題是:某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最?。慈萜鞯谋砻娣e最?。? 例5 已知三棱錐PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DEAP于E （1）求證：AP平面BDE； （2）求證：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比講解: (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2則 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分體積的比為12或21值得注意的是, “截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比”并沒(méi)有說(shuō)明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè), 希不要犯這種”會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.例6 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，它被過(guò)底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為p的拋物線.（1）求圓錐的母線與底面所成的角；（2）求圓錐的全面積 講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，由題意得：,即,所以母線和底面所成的角為（2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與AC的交點(diǎn)，則OO1/AB且在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，R），代入方程得R2=2p（R），得R=2p，l=2R=4p.圓錐的全面積為.將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向. 類似請(qǐng)思考如下問(wèn)題: 一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5，短軸長(zhǎng)為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母 線長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積等于 例7 如圖，幾何體ABCDE中，ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).（1）求證：FD平面ABC；（2）求證：AFBD； (3) 求二面角BFCG的正切值.講解: F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)G=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， 四邊形FGCD為平行四邊形，F(xiàn)DGC，又GC面ABC， FD面ABC.（2）AB=EA，且F為EB中點(diǎn)，AFEB 又FGEA，EA面ABCFG面ABC G為等邊ABC，AB邊的中點(diǎn)，AGGC.AFGC又FDGC，AFFD 由、知AF面EBD，又BD面EBD，AFBD.（3）由（1）、（2）知FGGB，GCGB，GB面GCF.過(guò)G作GHFC，垂足為H，連HB，HBFC.GHB為二面角B-FC-G的平面角.易求.例8 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點(diǎn)，且D1PPA=DQQB=512. (1) 求證PQ平面CDD1C1； (2) 求證PQAD； (3) 求線段PQ的長(zhǎng). 講解: （1）在平面AD1內(nèi)，作PP1AD與DD1交于點(diǎn)P1，在平面AC內(nèi)，作QQ1BC交CD于點(diǎn)Q1，連結(jié)P1Q1. , PP1QQ1 .由四邊形PQQ1P1為平行四邊形, 知PQP1Q1 而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ平面CDD1C1（2）AD平面D1DCC1， ADP1Q1，又PQP1Q1， ADPQ.（3）由（1）知P1Q1 PQ,，而棱長(zhǎng)CD=1. DQ1=. 同理可求得 P1D=.在RtP1DQ1中，應(yīng)用勾股定理, 立得P1Q1=.做為本題的深化, 筆者提出這樣的問(wèn)題: P, Q分別是BD,上的動(dòng)點(diǎn),試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國(guó)高考試題做以對(duì)照, 你會(huì)得到什么啟示?如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=（1） 求MN的長(zhǎng)；（2） 當(dāng)為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。唬?） 當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。立體幾何知識(shí)是復(fù)課耗時(shí)較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點(diǎn), 依據(jù)課本, 熟化知識(shí), 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會(huì)突破解答立幾考題的道道難關(guān).