2020高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題五綜合測(cè)試題 文

專(zhuān)題五綜合測(cè)試題(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知無(wú)窮數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有()A.<B.C.> D.解析：a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2，a(a15d)2a10a1d25d2，故.答案：B2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn29n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足5<ak<8，則k()A9 B8C7 D6解析：由題意知，數(shù)列an為等差數(shù)列，anSnSn12n10，由5<2k10<8，kN*，得到k8.答案：B3對(duì)于非零實(shí)數(shù)a、b，“b(ba)0”是“1”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：a0，b0，故有b(ba)00101.故選C.答案：C4已知函數(shù)f(x)，若f(2a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)解析：由題知f(x)在R上是增函數(shù)，可得2a2>a，解得2<a<1，故選C.答案：C5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a是不為0的實(shí)數(shù))，那么an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列D既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列答案：C6(2020·保定)等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，a12020，2，則S2020的值為()A2020 B2020C2020 D2020解析：由已知2的結(jié)構(gòu)，可聯(lián)想到等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的變式，a1(n1)，故由2，得1，2020(20201)·11，S20202020.答案：C7已知a0，b0，且ab2，則()Aab BabCa2b23 Da2b22解析：a0，b0，且ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.答案：D8已知等比數(shù)列an中，a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()A(，1 B(，1)(1，)C3，) D(，13，)解析：等比數(shù)列an中，a21，S3a1a2a3a21q.當(dāng)公比q>0時(shí)，S31q12 3，當(dāng)公比q<0時(shí)，S3112 1，S3(，13，)答案：D9(2020·廣東廣州模擬)p，q· (m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小關(guān)系為()Apq BpqCp>q D不確定解析：q p，故選B.答案：B10設(shè)Sn123n，nN*，則函數(shù)f(n)的最大值為()A.B. C.D.解析：由Sn得f(n)，當(dāng)且僅當(dāng)n，即n8時(shí)取等號(hào)，即f(n)maxf(8).答案：D11設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z5xy的最大值為()A4B5C6 D7解析：如圖，由圖可知目標(biāo)函數(shù)z5xy過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí)z取得最大值，zmax5.答案：B12an為等差數(shù)列，若<1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n()A11 B17C19 D21解析：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則公差小于零又<1，則有a11<0，a10>0，a10a11<0，即S19>0，S20<0，則當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n19.答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線(xiàn)上13在公差為d(d0)的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數(shù)列，且公差為100d.類(lèi)比上述結(jié)論，在公比為q(q1)的等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)之積，則有_答案：，也成等比數(shù)列，且公比為q10014(2020·陜西省高三診斷)觀察下列等式：1222，122232，12223242，根據(jù)上述規(guī)律可得122232n2_.解析：通過(guò)觀察前三個(gè)等式可得122232n2.答案：15已知數(shù)列an為等差數(shù)列，則有等式a12a2a30，a13a23a3a40，a14a26a34a4a50，(1)若數(shù)列an為等比數(shù)列，通過(guò)類(lèi)比，則有等式_ _(2)通過(guò)歸納，試寫(xiě)出等差數(shù)列an的前n1項(xiàng)a1，a2，an，an1之間的關(guān)系為_(kāi)解析：因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算，后者是乘法運(yùn)算，所以類(lèi)比規(guī)律是由第一級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級(jí)運(yùn)算，從而解出第(1)問(wèn)；通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，已知等式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，解出第(2)問(wèn)答案：(1)a1aa31，a1aaa1，a1aaaa51(2)Ca1Ca2Ca3(1)nCan1016若不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)解析：由題得a4x2x1在1,2上恒成立，即a(4x2x1)min(2x1)21min0.答案：(，0三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足ax·f(x)bf(x)(a·b0)，f(1)2且f(x2)f(2x)對(duì)定義域中任意x都成立(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn2，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列解：(1)由ax·f(x)bf(x)(a·b0)，得f(x)(ax1)b，若ax10，則b0，不合題意，故ax10，f(x).由f(1)2，得2a2b， 由f(x2)f(2x)對(duì)定義域中任意x都成立，得，由此解得a， 把代入，可得b1，f(x)(x2)(2)證明：f(an)，Sn2，Sn(an1)2，a1(a11)2，a11；當(dāng)n2時(shí)，Sn1(an11)2，anSnSn1(aa2an2an1)，(anan1)(anan12)0，an>0，anan120，即anan12，數(shù)列an是等差數(shù)列18(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·山東青島十九中模擬)等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a13，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn中，b11，b2S264，ban是公比為64的等比數(shù)列(1)求an與bn；(2)證明：<.解：(1)設(shè)an的公差為d，d為正數(shù)，bn的公比為q，則an3(n1)d，bnqn1.依題意有，由(6d)q64知q為正有理數(shù)，又由q知，d為6的因數(shù)1,2,3,6之一，解之得d2，q8.故an2n1，bn8n1.(2)證明：由(1)知Snn(n2)，<.19(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·山東青島模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2·3nk(kR，nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式和k的值；(2)設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足an4(5k)anbn，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，試比較316Tn與4(n1)bn1的大小，并證明你的結(jié)論解：(1)由Sn2·3nk(kR，nN*)，得當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14·3n1.an是等比數(shù)列，a1S16k4，k2，故an4·3n1(nN*)(2)由an4(5k)anbn，an4·3n1和k2，得bn，Tnb1b2b3bn1bn 3Tn 由得，2Tn，Tn.4(n1)bn1(316Tn)，n(n1)3(2n1)n25n3，當(dāng)n>或n<<0時(shí)，有n(n1)>3(2n1)，當(dāng)n>5(nN*)時(shí)，有316Tn<4(n1)bn1.同理可得，當(dāng)<n<時(shí)，有n(n1)<3(2n1)，當(dāng)1n5(nN*)時(shí)，有316Tn>4(n1)bn1.綜上，當(dāng)n>5(nN*)時(shí)，有316Tn<4(n1)bn1；當(dāng)1n5(nN*)時(shí)，有316Tn>4(n1)bn1.20(本小題滿(mǎn)分12分)某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某種北京奧運(yùn)會(huì)特許紀(jì)念品，經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60天，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中市場(chǎng)調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品期間第n天的利潤(rùn)an(單位：萬(wàn)元，nN*)記第n天的利潤(rùn)率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利潤(rùn)率bn；(3)該商店在經(jīng)銷(xiāo)此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤(rùn)率最大？并求該天的利潤(rùn)率解：(1)當(dāng)n1時(shí)，b1；當(dāng)n2時(shí)，b2.(2)當(dāng)1n20時(shí)，a1a2a3an1an1.bn.當(dāng)21n60時(shí)，bn，第n天的利潤(rùn)率bn(3)當(dāng)1n20時(shí)，bn是遞減數(shù)列，此時(shí)bn的最大值為b1；當(dāng)21n60時(shí)，bn(當(dāng)且僅當(dāng)n，即n40時(shí)，“”成立)又>，當(dāng)n40時(shí)，(bn)max.該商店經(jīng)銷(xiāo)此紀(jì)念品期間，第40天的利潤(rùn)率最大，且該天的利潤(rùn)率為.21(本小題滿(mǎn)分12分)(2020·廣東潮州模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的nN*，都有an>0，Sn.(1)求a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(3)證明：aaa.解：(1)當(dāng)n1時(shí)，有a1S1，由于an>0，所以a11.當(dāng)n2時(shí)，有S2，即a1a2，將a11代入上式，由于an>0，所以a22.(2)由Sn，得aaa(a1a2an)2， 則有aaaa(a1a2anan1)2. 得a(a1a2anan1)2(a1a2an)2.由于an>0，所以a2(a1a2an)an1. 同樣有a2(a1a2an1)an(n2)， ，得aaan1an.所以an1an1.由于a2a11，即當(dāng)n1時(shí)都有an1an1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列故ann.(3)證明：要證aaa，只需證(2n1)n(2n)n(2n1)n，只需證n1n.由于nn2121，因此原不等式成立22(本小題滿(mǎn)分14分)已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an>0，令bn，則數(shù)列bn(nN*)也是等比數(shù)列”類(lèi)比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論解：由題意，得等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列an是等差數(shù)列，令bn，則數(shù)列bn(nN*)也是等差數(shù)列證明這個(gè)結(jié)論：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則bna1(n1)，所以數(shù)列bn是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故所得命題成立