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【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專題8 第38練

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【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專題8 第38練

第38練概率的兩類模型題型分析高考展望概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考知識(shí)點(diǎn).在高考中,概率部分的命題主要有三個(gè)方面的特點(diǎn):一是以古典概型的概率公式為考查對(duì)象,二是以幾何概型的概率公式為考查對(duì)象,三是古典概型與其他知識(shí)相交匯,題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).??碱}型精析題型一古典概型問(wèn)題例1(1)(2015課標(biāo)全國(guó))如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A. B. C. D.(2)某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生,其中4位男生,2位女生,現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組,求下列事件的概率:選取的2位學(xué)生都是男生;選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生.點(diǎn)評(píng)求解古典概型問(wèn)題的三個(gè)步驟(1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的,設(shè)出所求事件A.(2)分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率.若直接求解比較困難,則可以利用間接的方法,如逆向思維,先求其對(duì)立事件的概率,進(jìn)而再求所求事件的概率.變式訓(xùn)練1(2014課標(biāo)全國(guó))4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A. B. C. D.題型二幾何概型問(wèn)題例2(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A. B. C. D.(2)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹(shù)上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()A. B. C. D.點(diǎn)評(píng)(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn),如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果,每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示,而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域,這時(shí),與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決.(2)幾何概型的概率求解,一般要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問(wèn)題.在轉(zhuǎn)化中,面積問(wèn)題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí),也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域.幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān),而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).變式訓(xùn)練2(1)(2014遼寧)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(1,1),B(1,1),C(1,1),D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上,如圖所示.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是_.(2)如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為_(kāi).高考題型精練1.(2015山東)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“11”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.2.(2015廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球,所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為()A. B. C. D.13.(2015福建)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.4.(2014遼寧)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB2,BC1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A. B.C. D.5.從標(biāo)有1,2,3,7的7個(gè)小球中取出一球,記下它上面的數(shù)字,放回后再取出一球,記下它上面的數(shù)字,然后把兩數(shù)相加得和,則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是()A. B.C. D.6.已知實(shí)數(shù)a,b滿足x1,x2是關(guān)于x的方程x22xba30的兩個(gè)實(shí)根,則不等式0<x1<1<x2成立的概率是()A. B.C. D.7.(2014江西)擲兩顆均勻的骰子,則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()A. B. C. D.8.有一底面半徑為1,高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A. B. C. D.9.(2014重慶)某校早上8:00開(kāi)始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi).(用數(shù)字作答)10.在日前舉行的全國(guó)大學(xué)生智能總決賽中,某高校學(xué)生開(kāi)發(fā)的智能機(jī)器人在一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),每次只能移動(dòng)一個(gè)單位,沿x軸正方向移動(dòng)的概率是,沿y軸正方向移動(dòng)的概率為,則該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好移動(dòng)到點(diǎn)(3,3)的概率為_(kāi).11.(2014四川)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率;(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.12.(2014山東)海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來(lái)自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.答案精析第38練概率的兩類模型??碱}型精析例1C 從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.(2)解設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4,2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生,所取的2位全是男生的方法數(shù),即從4位男生中任取2個(gè)的方法數(shù),共有6種,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1.從6位學(xué)生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8種.所以選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生的概率為P2.變式訓(xùn)練1D 4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的情況有2416(種),其中僅在周六(周日)參加的各有1種,所求概率為1.例2(1)D(2)C解析(1)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域.易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是,所以選D.(2)如圖所示,設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi),甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y,x、y相互獨(dú)立,由題意可知所以兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過(guò)2秒的概率為P(|xy|2).變式訓(xùn)練2(1)解析正方形內(nèi)空白部分面積為x2(x2)dx2x2dxx3|(),陰影部分面積為22,所以所求概率為.(2) 解析由題意知,所給圖中兩陰影部分面積相等,故陰影部分面積為S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又該正方形面積為e2,故由幾何概型的概率公式可得所求概率為.高考題型精練1.A 由11,得x2,0x.由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P.2.B 從袋中任取2個(gè)球共有C105種取法,其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有CC50種取法,所以所取的球恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.3.B 由圖形知C(1,2),D(2,2),S四邊形ABCD6,S陰31.P.4.B 設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A,則P(A).5.A6.A 由題意,關(guān)于x的方程x22xba30對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)f(x)x22xba3滿足f(0)>0,f(1)<0,即建立平面直角坐標(biāo)系如圖.滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,故所求概率P.7.B 擲兩顆骰子,點(diǎn)數(shù)有以下情況:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種,其中點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,故所求概率為.8.B 設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1,由幾何概型,則P1,故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P21.9. 設(shè)小王到校時(shí)間為x,小張到校時(shí)間為y,則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足xy5.如圖,原點(diǎn)O表示7:30,在平面直角坐標(biāo)系中畫出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域),該正方形區(qū)域的面積為400,小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515,故所求概率P.10.解析若該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好到點(diǎn)(3,3),則機(jī)器人在移動(dòng)過(guò)程中沿x軸正方向移動(dòng)3次、沿y軸正方向移動(dòng)3次,因此機(jī)器人移動(dòng)6次后恰好位于點(diǎn)(3,3)的概率為PC3320.11.解(1)由題意知,(a,b,c)所有的可能為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A,則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.所以P(A).因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率為.(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,則事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以P(B)1P()1.因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為.12.解(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是,所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是501,1503,1002.所以A,B,C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.(2)設(shè)6件來(lái)自A,B,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A;B1,B2,B3;C1,C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15個(gè).每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D:“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件有:B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4個(gè).所以P(D),即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為.

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