【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專(zhuān)題8 第38練

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第38練　概率的兩類(lèi)模型 [題型分析高考展望]　概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識(shí)點(diǎn).在高考中，概率部分的命題主要有三個(gè)方面的特點(diǎn)：一是以古典概型的概率公式為考查對(duì)象，二是以幾何概型的概率公式為考查對(duì)象，三是古典概型與其他知識(shí)相交匯，題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn). ?？碱}型精析 題型一　古典概型問(wèn)題 例1　(1)(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這 3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　) A. B. C. D. (2)某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率： ①選取的2位學(xué)生都是男生； ②選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生. 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　求解古典概型問(wèn)題的三個(gè)步驟 (1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的，設(shè)出所求事件A. (2)分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m. (3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率.若直接求解比較困難，則可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率. 變式訓(xùn)練1　(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為(　　) A. B. C. D. 題型二　幾何概型問(wèn)題 例2　(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(　　) A. B. C. D. (2)節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是(　　) A. B. C. D. 點(diǎn)評(píng)　(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決. (2)幾何概型的概率求解，一般要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問(wèn)題.在轉(zhuǎn)化中，面積問(wèn)題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域.幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān). 變式訓(xùn)練2　(1)(2014遼寧)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1) 分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________________________________________________. (2)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi)_____. 高考題型精練 1.(2015山東)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤≤1”發(fā)生的概率 為(　　) A. B. C. D. 2.(2015廣東)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(　　) A. B. C. D.1 3.(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 4.(2014遼寧)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 5.從標(biāo)有1,2,3，…，7的7個(gè)小球中取出一球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一球，記下它上面的數(shù)字，然后把兩數(shù)相加得和，則取得的兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率是(　　) A. B. C. D. 6.已知實(shí)數(shù)a，b滿足x1，x2是關(guān)于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的兩個(gè)實(shí)根，則不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐標(biāo)系如圖. 滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分， 故所求概率P＝＝.] 7.B [擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)有以下情況： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為＝.] 8.B [設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝＝＝，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P2＝1－＝.] 9. [設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足x－y≥5.如圖，原點(diǎn)O表示7：30，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515＝，故所求概率P＝＝.] 10. 解析　若該機(jī)器人移動(dòng)6次恰好到點(diǎn)(3,3)，則機(jī)器人在移動(dòng)過(guò)程中沿x軸正方向移動(dòng)3次、沿y軸正方向移動(dòng)3次，因此機(jī)器人移動(dòng)6次后恰好位于點(diǎn)(3,3)的概率為P＝C33＝20＝. 11.解　(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種. 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種. 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種. 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 12.解　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是 ＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是 50＝1,150＝3,100＝2. 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2. (2)設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為 A；B1，B2，B3；C1，C2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè). 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有： {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè). 所以P(D)＝，即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為.