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【高考前三個月復習數(shù)學理科不等式與線性劃】專題2 第4練

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【高考前三個月復習數(shù)學理科不等式與線性劃】專題2 第4練

第4練用好基本不等式題型分析高考展望基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具,在高考中經(jīng)常考查,有時也會對其單獨考查.題目難度為中等偏上.應用時,要注意“拆、拼、湊”等技巧,特別要注意應用條件,只有具備公式應用的三個條件時,才可應用,否則可能會導致結(jié)果錯誤.常考題型精析題型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意點(1)在運用基本不等式求最值時,必須保證“一正,二定,三相等”,湊出定值是關(guān)鍵.(2)若兩次連用基本不等式,要注意等號的取得條件的一致性,否則就會出錯.2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應用基本不等式基本不等式在解題時一般不能直接應用,而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”,即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有(1)xxaa (x>a).(2)若1,則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù)).例1(1)(2015山東)定義運算“”:xy(x,yR,xy0),當x0,y0時,xy(2y)x的最小值為_.(2)函數(shù)y的最大值為_.點評求條件最值問題一般有兩種思路:一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值;二是利用基本不等式.在利用基本不等式時往往都需要變形,變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件,即“和”或“積”為定值.等號能夠取得.變式訓練1(2015重慶)設(shè)a,b0,ab5,則的最大值為_.題型二基本不等式的綜合應用例2(1)(2015深圳模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準備費用為800元,若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元,為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件(2)如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P(1,)到拋物線C:y22px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB的中點Q(m,n)在直線OM上.求曲線C的方程及t的值;記d,求d的最大值.點評基本不等式及不等式性質(zhì)應用十分廣泛,在最優(yōu)化實際問題,平面幾何問題,代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式,應用時一定要注意檢驗“三個條件”是否具備.變式訓練2(2015陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab,若pf(),qf,r(f(a)f(b),則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrp B.qrpC.prq D.prq高考題型精練1.(2014重慶)若log4(3a4b)log2,則ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.742.(2015濟南模擬)已知x>1,y>1,且ln x,ln y成等比數(shù)列,則xy()A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則()A.a<v< B.vC.<v< D.v4.若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值,則a等于()A.1 B.1C.3 D.45.(2015蘭州模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a、b、c(0,1),已知他投籃一次得分的均值為2,則的最小值為()A. B. C. D.6.(2015北京海淀區(qū)模擬)已知a>0,b>0,若不等式0恒成立,則m的最大值為()A.4 B.16C.9 D.37.已知ma(a>2),nx2(x),則m與n之間的大小關(guān)系為_.8.已知x,y(0,),2x3y,若 (m>0)的最小值為3,則m的值為_.9.(2015天津)已知a0,b0,ab8,則當a的值為_時,log2alog2(2b)取得最大值.10.(2014湖北)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù),單位:輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒),平均車長l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F .(1)如果不限定車型,l6.05,則最大車流量為_輛/時;(2)如果限定車型,l5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時.11.(1)已知0<x<,求y2x5x2的最大值;(2)求函數(shù)y (x>1)的最小值.12.如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米,某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.答案精析第4練用好基本不等式常考題型精析例1 (1)(2)解析(1)由題意,得xy(2y)x,當且僅當xy時取等號.(2)令t0,則xt21,所以y.當t0,即x1時,y0;當t>0,即x>1時,y,因為t24(當且僅當t2時取等號),所以y,即y的最大值為(當t2,即x5時y取得最大值).變式訓練13 a,b0,ab5,()2ab42ab4()2()2ab4ab418,當且僅當a,b時,等號成立,則3,即最大值為3.例2(1) B 平均每件產(chǎn)品的費用為y220,當且僅當,即x80時取等號.所以每批應生產(chǎn)產(chǎn)品80件,才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小.(2)解y22px(p>0)的準線x,1(),p,拋物線C的方程為y2x.又點M(t,1)在曲線C上,t1.由知,點M(1,1),從而nm,即點Q(m,m),依題意,直線AB的斜率存在,且不為0,設(shè)直線AB的斜率為k(k0).且A(x1,y1),B(x2.y2),由得(y1y2)(y1y2)x1x2,故k2m1,直線AB的方程為ym(xm),即x2my2m2m0.由消去x,整理得y22my2m2m0,4m4m2>0,y1y22m,y1y22m2m.從而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1,當且僅當m1m,即m時,上式等號成立,又m滿足4m4m2>0.d的最大值為1.變式訓練2C 0ab,又f(x)ln x在(0,)上為增函數(shù),故ff(),即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.高考題型精練1.D 由題意得所以又log4(3a4b)log2,所以log4(3a4b)log4ab,所以3a4bab,故1.所以ab(ab)()77274,當且僅當時取等號.故選D.2.C x>1,y>1,且ln x,ln y成等比數(shù)列,ln xln y2,ln xln yln xy1xye.3.A 設(shè)甲、乙兩地相距s,則小王往返兩地用時為,從而v.0<a<b,<,>a,<,即<,a<v<.4.C f(x)xx22.x>2,x2>0.f(x)x222 24,當且僅當x2,即x3時,“”成立.又f(x)在xa處取最小值.a3.5.D 由已知得,3a2b0c2,即3a2b2,其中0<a<,0<b<1.又32,當且僅當,即a2b時取“等號”,又3a2b2,即當a,b時,的最小值為,故選D.6.B 因為a>0,b>0,所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因為2 6,當且僅當ab時等號成立,所以1016,所以m16,即m的最大值為16,故選B.7.mn ma(a2)24(a>2),當且僅當a3時,等號成立.由x得x2,nx24即n(0,4,mn.)8.4解析由2x3y得xy3,則(xy)(1m2),(1m2)3,即(1)29,解得m4.9.4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224,當且僅當log2a1log2b,即a2b時,等號成立,此時a4,b2.10.(1)1 900(2)100解析(1)當l6.05時,F(xiàn)1 900.當且僅當v11 米/秒時等號成立,此時車流量最大為1 900輛/時.(2)當l5時,F(xiàn)2 000.當且僅當v10 米/秒時等號成立,此時車流量最大為2 000 輛/時.比(1)中的最大車流量增加100 輛/時.11.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0<x<,0<5x<2,25x>0,5x(25x)()21,y,當且僅當5x25x,即x時,ymax.(2)設(shè)x1t,則xt1 (t>0),yt5259.當且僅當t,即t2,且此時x1時,取等號,ymin9.12.解(1)令y0,得kx(1k2)x20,由實際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0,故x10,當且僅當k1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標存在k>0,使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當a不超過6千米時,可擊中目標.

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