【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科不等式與線性劃】專題2 第4練

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第4練　用好基本不等式 [題型分析高考展望]　基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具，在高考中經(jīng)?？疾椋袝r也會對其單獨(dú)考查.題目難度為中等偏上.應(yīng)用時，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只有具備公式應(yīng)用的三個條件時，才可應(yīng)用，否則可能會導(dǎo)致結(jié)果錯誤. ?？碱}型精析 題型一　利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意點(diǎn) (1)在運(yùn)用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵. (2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯. 2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式 基本不等式在解題時一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有 (1)x＋＝x－a＋＋a (x>a). (2)若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)1＝(mx＋ny)≥ma＋nb＋2(字母均為正數(shù)). 例1(1)(2015山東)定義運(yùn)算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________. (2)函數(shù)y＝的最大值為________. 點(diǎn)評　求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值.等號能夠取得. 變式訓(xùn)練1　(2015重慶)設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________. 題型二　基本不等式的綜合應(yīng)用 例2　(1)(2015深圳模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 (2)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，)到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上. ①求曲線C的方程及t的值； ②記d＝，求d的最大值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評　基本不等式及不等式性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，在最優(yōu)化實(shí)際問題，平面幾何問題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應(yīng)用時一定要注意檢驗(yàn)“三個條件”是否具備. 變式訓(xùn)練2　(2015陜西)設(shè)f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q 高考題型精練 1.(2014重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A.6＋2 B.7＋2 C.6＋4 D.7＋4 2.(2015濟(jì)南模擬)已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比數(shù)列，則xy(　　) A.有最大值e B.有最大值 C.有最小值e D.有最小值 3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 5.(2015蘭州模擬)一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 6.(2015北京海淀區(qū)模擬)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A.4 B.16 C.9 D.3 7.已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，則m與n之間的大小關(guān)系為________. 8.已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y(tǒng)，若＋ (m>0)的最小值為3，則m的值為________. 9.(2015天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為________時，log2alog2(2b)取得最大值. 10.(2014湖北)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝ . (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時. 11.(1)已知0－1)的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 12.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程； (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由. 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第4練　用好基本不等式 ?？碱}型精析 例1 (1)　(2) 解析　(1)由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng) x＝y(tǒng)時取等號. (2)令t＝≥0，則x＝t2＋1， 所以y＝＝. 當(dāng)t＝0，即x＝1時，y＝0； 當(dāng)t>0，即x>1時，y＝， 因?yàn)閠＋≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時取等號)， 所以y＝≤， 即y的最大值為(當(dāng)t＝2，即x＝5時y取得最大值). 變式訓(xùn)練1　3 [∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時，等號成立，則＋≤3，即＋最大值為3.] 例2　(1) B [平均每件產(chǎn)品的費(fèi)用為y＝＝＋≥2＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80時取等號.所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小.] (2)解?、賧2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線x＝－， ∴1－(－)＝，p＝， ∴拋物線C的方程為y2＝x. 又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，∴t＝1. ②由①知，點(diǎn)M(1,1)，從而n＝m，即點(diǎn)Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0， 設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0). 且A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2， 故k2m＝1， ∴直線AB的方程為y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， ∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 從而|AB|＝ |y1－y2| ＝ ＝2 ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－m，即m＝時，上式等號成立， 又m＝滿足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值為1. 變式訓(xùn)練2　C [∵0＜a＜b，∴＞， 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 故f＞f()，即q＞p. 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b) ＝ln a＋ln b＝ln(ab) ＝f()＝p. 故p＝r＜q.選C.] 高考題型精練 1.D [由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號.故選D.] 2.C [∵x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比數(shù)列， ∴l(xiāng)n xln y＝≤2， ∴l(xiāng)n x＋ln y＝ln xy≥1?xy≥e.] 3.A [設(shè)甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時為＋，從而v＝＝. ∵0＝a， ∴<，即<，∴a2，∴x－2>0. ∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時，“＝”成立. 又f(x)在x＝a處取最小值.∴a＝3.] 5.D [由已知得，3a＋2b＋0c＝2， 即3a＋2b＝2，其中00，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立. 因?yàn)椋? ＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以10＋＋≥16， 所以m≤16，即m的最大值為16，故選B.] 7.m≥n [m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時，等號成立.由x≥得x2≥， ∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.) 8.4 解析　由2x－3＝y(tǒng)得x＋y＝3， 則＋＝(x＋y) ＝≥(1＋m＋2)， ∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4. 9.4 解析　log2alog2(2b)＝log2a(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)log2a＝1＋log2b，即a＝2b時，等號成立，此時a＝4，b＝2. 10.(1)1 900　(2)100 解析　(1)當(dāng)l＝6.05時，F(xiàn)＝ ＝≤＝＝1 900. 當(dāng)且僅當(dāng)v＝11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時. (2)當(dāng)l＝5時，F(xiàn)＝＝≤＝＝2 000. 當(dāng)且僅當(dāng)v＝10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時.比(1)中的最大車流量增加100 輛/時. 11.解　(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝5x(2－5x). ∵00， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2－5x，即x＝時，ymax＝. (2)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1 (t>0)， ∴y＝ ＝t＋＋5≥2＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2，且此時x＝1時，取等號， ∴ymin＝9. 12.解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時取等號. 所以炮的最大射程為10千米. (2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當(dāng)a不超過6千米時，可擊中目標(biāo).