【高考前三個月復習數學理科不等式與線性劃】專題2 第4練

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第4練　用好基本不等式 [題型分析高考展望]　基本不等式是解決函數值域、最值、不等式證明、參數范圍問題的有效工具，在高考中經?？疾?，有時也會對其單獨考查.題目難度為中等偏上.應用時，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結果錯誤. 常考題型精析 題型一　利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意點 (1)在運用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關鍵. (2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯. 2.結構調整與應用基本不等式 基本不等式在解題時一般不能直接應用，而是需要根據已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式.常見的轉化方法有 (1)x＋＝x－a＋＋a (x>a). (2)若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)1＝(mx＋ny)≥ma＋nb＋2(字母均為正數). 例1(1)(2015山東)定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________. (2)函數y＝的最大值為________. 點評　求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數單調性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件，即“和”或“積”為定值.等號能夠取得. 變式訓練1　(2015重慶)設a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________. 題型二　基本不等式的綜合應用 例2　(1)(2015深圳模擬)某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品(　　) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 (2)如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P(1，)到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)在直線OM上. ①求曲線C的方程及t的值； ②記d＝，求d的最大值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　基本不等式及不等式性質應用十分廣泛，在最優(yōu)化實際問題，平面幾何問題，代數式最值等方面都要用到基本不等式，應用時一定要注意檢驗“三個條件”是否具備. 變式訓練2　(2015陜西)設f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(　　) A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q 高考題型精練 1.(2014重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A.6＋2 B.7＋2 C.6＋4 D.7＋4 2.(2015濟南模擬)已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比數列，則xy(　　) A.有最大值e B.有最大值 C.有最小值e D.有最小值 3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 5.(2015蘭州模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 6.(2015北京海淀區(qū)模擬)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A.4 B.16 C.9 D.3 7.已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，則m與n之間的大小關系為________. 8.已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y(tǒng)，若＋ (m>0)的最小值為3，則m的值為________. 9.(2015天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當a的值為________時，log2alog2(2b)取得最大值. 10.(2014湖北)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝ . (1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時； (2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時. 11.(1)已知0－1)的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 12.如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標. (1)求炮的最大射程； (2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由. 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第4練　用好基本不等式 ?？碱}型精析 例1 (1)　(2) 解析　(1)由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，當且僅當 x＝y(tǒng)時取等號. (2)令t＝≥0，則x＝t2＋1， 所以y＝＝. 當t＝0，即x＝1時，y＝0； 當t>0，即x>1時，y＝， 因為t＋≥2＝4(當且僅當t＝2時取等號)， 所以y＝≤， 即y的最大值為(當t＝2，即x＝5時y取得最大值). 變式訓練1　3 [∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當且僅當a＝，b＝時，等號成立，則＋≤3，即＋最大值為3.] 例2　(1) B [平均每件產品的費用為y＝＝＋≥2＝20，當且僅當＝，即x＝80時取等號.所以每批應生產產品80件，才能使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小.] (2)解?、賧2＝2px(p>0)的準線x＝－， ∴1－(－)＝，p＝， ∴拋物線C的方程為y2＝x. 又點M(t,1)在曲線C上，∴t＝1. ②由①知，點M(1,1)，從而n＝m，即點Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0， 設直線AB的斜率為k(k≠0). 且A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2， 故k2m＝1， ∴直線AB的方程為y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， ∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 從而|AB|＝ |y1－y2| ＝ ＝2 ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 當且僅當m＝1－m，即m＝時，上式等號成立， 又m＝滿足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值為1. 變式訓練2　C [∵0＜a＜b，∴＞， 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上為增函數， 故f＞f()，即q＞p. 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b) ＝ln a＋ln b＝ln(ab) ＝f()＝p. 故p＝r＜q.選C.] 高考題型精練 1.D [由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 當且僅當＝時取等號.故選D.] 2.C [∵x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比數列， ∴l(xiāng)n xln y＝≤2， ∴l(xiāng)n x＋ln y＝ln xy≥1?xy≥e.] 3.A [設甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時為＋，從而v＝＝. ∵0＝a， ∴<，即<，∴a2，∴x－2>0. ∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4， 當且僅當x－2＝，即x＝3時，“＝”成立. 又f(x)在x＝a處取最小值.∴a＝3.] 5.D [由已知得，3a＋2b＋0c＝2， 即3a＋2b＝2，其中00，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立. 因為＋≥2 ＝6， 當且僅當a＝b時等號成立，所以10＋＋≥16， 所以m≤16，即m的最大值為16，故選B.] 7.m≥n [m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)， 當且僅當a＝3時，等號成立.由x≥得x2≥， ∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.) 8.4 解析　由2x－3＝y(tǒng)得x＋y＝3， 則＋＝(x＋y) ＝≥(1＋m＋2)， ∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4. 9.4 解析　log2alog2(2b)＝log2a(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，當且僅當log2a＝1＋log2b，即a＝2b時，等號成立，此時a＝4，b＝2. 10.(1)1 900　(2)100 解析　(1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝ ＝≤＝＝1 900. 當且僅當v＝11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時. (2)當l＝5時，F(xiàn)＝＝≤＝＝2 000. 當且僅當v＝10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時.比(1)中的最大車流量增加100 輛/時. 11.解　(1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝5x(2－5x). ∵00， ∴5x(2－5x)≤()2＝1， ∴y≤，當且僅當5x＝2－5x，即x＝時，ymax＝. (2)設x＋1＝t，則x＝t－1 (t>0)， ∴y＝ ＝t＋＋5≥2＋5＝9. 當且僅當t＝，即t＝2，且此時x＝1時，取等號， ∴ymin＝9. 12.解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由實際意義和題設條件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號. 所以炮的最大射程為10千米. (2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當a不超過6千米時，可擊中目標.