【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第20練

第20練平面向量中的線性問題題型分析高考展望平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識(shí)聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點(diǎn).多與其他知識(shí)聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.?？碱}型精析題型一平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用例1(1)(2015課標(biāo)全國)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A. B.C. D.(2)如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)a，b，試用a，b表示向量.點(diǎn)評(píng)平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(3)(，為實(shí)數(shù))，若A、B、C三點(diǎn)共線，則1.變式訓(xùn)練1(1)(2015杭州模擬)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若k，則k等于()A.1 B.2C.2 D.2(2)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則_.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)(2015江蘇)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_.(2)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請(qǐng)解答下列問題：求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.點(diǎn)評(píng)(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(a0)，則ba.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.變式訓(xùn)練2(1)(2014湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_.高考題型精練1.(2015四川)設(shè)向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x等于()A.2 B.3C.4 D.62.(2015安徽)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab)3.(2015長春調(diào)研)已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，|OC|2，且AOC，設(shè) (R)，則的值為()A.1 B.C. D.4.(2014課標(biāo)全國)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則等于()A. B.C. D.5.(2015濰坊模擬)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，則“a(4,2)”是“ab”成立的()A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件6.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n (m，n>0)，則的最小值為()A.2 B.4C.D.97.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則_.8.已知A(3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且AOC30，則實(shí)數(shù)的值為_.9.(2014北京)已知向量a，b滿足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，則|_.10.(2014陜西)設(shè)0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.11.(2015北京)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_，y_.12.(2015常州模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；(3)若t1a2，求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí)a的值.答案精析第20練平面向量中的線性問題?？碱}型精析例1A 3，3()，即43，.(2)解由D，O，C三點(diǎn)共線，可設(shè)k1k1()k1k1ak1b(k1為實(shí)數(shù))，k2k2()k2(ba)k2ak2b(k2為實(shí)數(shù))，又a(k1ak1b)(1k1)ak1b，由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共線，所以所以ab.所以a(ab).變式訓(xùn)練1(1)A(2)解析根據(jù)向量的基本定理可得()()().所以，k1.所以k1.故選A.(2)依題意得，；又，于是有；又與不共線，因此有由此解得，2，所以.例2(1)3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.(2)解由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.設(shè)d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由題意得解得或d(3，1)或d(5,3).變式訓(xùn)練2(1)1(2)m解析(1)設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓.又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)間距離的最大值.圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.(2)因?yàn)?3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線時(shí)，有，解得m，故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是m.高考題型精練1.B a(2,4)，b(x,6)，ab，4x260，x3.2.D 在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故選D.3.D 過C作CEx軸于點(diǎn)E(圖略).由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.C 如圖，()2.5.C 若a(4,2)，則|a|2，且ab都成立；ab，設(shè)ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2).因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要條件.6.C .同理，又M，O，N三點(diǎn)共線，故，即0，由于，不共線，根據(jù)平面向量基本定理得0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).(當(dāng)且僅當(dāng)n2m時(shí)，等號(hào)成立)7.4解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系(圖略)，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根據(jù)cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.8.1解析由題意知(3,0)，(0，)，則(3，)，由AOC30知以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個(gè)角為150，tan 150，即，1.9.解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.10.解析因?yàn)閍b，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因?yàn)?<<，所以cos >0，得2sin cos ，tan .11.解析()，x，y.12.(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t2<0且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2,4t22).(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)共線.(3)解當(dāng)t1a2時(shí)，(4t2,4t22a2).又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2).又|4，點(diǎn)M到直線AB：xy20的距離d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值為2.