【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第20練

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第20練　平面向量中的線性問題 [題型分析高考展望]　平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點.多與其他知識聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. ?？碱}型精析 題型一　平面向量的線性運算及應(yīng)用 例1　(1)(2015課標全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ (2)如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，BF與CD交于點O，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示向量. 　 　 　 　 　 　 　 點評　平面向量的線性運算應(yīng)注意三點： (1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件. (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線. (3)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A、B、C三點共線，則λ＋μ＝1. 變式訓(xùn)練1　(1)(2015杭州模擬)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，則λ＋k等于(　　) A.1＋ B.2－ C.2 D.＋2 (2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 題型二　平面向量的坐標運算 例2　(1)(2015江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則 m－n的值為_______________________________________________________________. (2)平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請解答下列問題： ①求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； ②若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k； ③若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 　 　 點評　(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，則b＝λa. (2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解. (3)向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則. 變式訓(xùn)練2　(1)(2014湖南)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________. (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________. 高考題型精練 1.(2015四川)設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實數(shù)x等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.|b|＝1 B.a⊥b C.ab＝1 D.(4a＋b)⊥ 3.(2015長春調(diào)研)已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝，設(shè)＝ λ＋(λ∈R)，則λ的值為(　　) A.1 B. C. D. 4.(2014課標全國Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋等 于(　　) A. B. C. D. 5.(2015濰坊模擬)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，則“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的(　　) A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件 6.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n (m，n>0)，則＋的最小值為(　　) A.2 B.4 C. D.9 7.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 8.已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標原點，C在第二象限，且∠AOC＝30，＝λ＋，則實數(shù)λ的值為______. 9.(2014北京)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________. 10.(2014陜西)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝________. 11.(2015北京)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________，y＝________. 12.(2015常州模擬)已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線； (3)若t1＝a2，求當⊥且△ABM的面積為12時a的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第20練　平面向量中的線性問題 ?？碱}型精析 例1　A [∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋.] (2)解　由D，O，C三點共線，可設(shè) ＝k1＝k1(－)＝k1 ＝－k1a＋k1b(k1為實數(shù))， ＝k2＝k2(－)＝k2(b－a) ＝－k2a＋k2b(k2為實數(shù))，① 又＝＋＝－a＋(－k1a＋k1b) ＝－(1＋k1)a＋k1b，② 由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b， 即(1＋k1－2k2)a＋b＝0. 又a，b不共線，所以 ? 所以＝－a＋b. 所以＝＋＝a＋＝(a＋b). 變式訓(xùn)練1　(1)A　(2) 解析　根據(jù)向量的基本定理可得 ＝＋＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋－(－) ＝＋. 所以λ＝，k＝1＋.所以λ＋k＝1＋.故選A. (2)依題意得 ＝＋＋＝＋－ ＝＋， ＝＋＝＋； 又＝λ＋μ， 于是有＝λ＋μ ＝＋； 又與不共線，因此有 由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝. 例2　(1)－3 解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得 故m－n＝2－5＝－3. (2)解?、儆深}意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， ∴得 ②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， ∴k＝－. ③設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 解得或 ∴d＝(3，－1)或d＝(5,3). 變式訓(xùn)練2　(1)＋1　(2)m≠ 解析　(1)設(shè)D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓. 又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝. 問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－)間距離的最大值. ∵圓心C(3,0)與點P(1，－)之間的距離為＝， 故的最大值為＋1. (2)因為＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m). 由于點A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線， 而當與共線時，有＝，解得m＝， 故當點A、B、C能構(gòu)成三角形時實數(shù)m滿足的條件是m≠. 高考題型精練 1.B [a＝(2,4)，b＝(x,6)，∵a∥b，∴4x－26＝0， ∴x＝3.] 2.D [在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2. 又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1，所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝4(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.] 3.D [過C作CE⊥x軸于點E(圖略). 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.] 4.C [如圖，＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝2＝.] 5.C [若a＝(4,2)，則|a|＝2，且a∥b都成立； ∵a∥b，設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知 4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝2， ∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2). 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要條件.] 6.C [＝－ ＝－＝＋. 同理＝＋，又M，O，N三點共線， 故＋＝λ， 即＋＝0，由于，不共線，根據(jù)平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2， 故＋＝(m＋n) ＝≥(5＋4)＝.(當且僅當n＝2m時，等號成立)] 7.4 解析　以向量a和b的交點為原點建直角坐標系(圖略)，則a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根據(jù)c＝λa＋μb?(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4. 8.1 解析　由題意知＝(－3,0)，＝(0，)， 則＝(－3λ，)，由∠AOC＝30知以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150， ∴tan 150＝，即－＝－，∴λ＝1. 9. 解析　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b， ∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝， ∴|λ||a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝. 10. 解析　因為a∥b， 所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ. 因為0<θ<，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. 11.?。? 解析　＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝－， ∴x＝，y＝－. 12.(1)解?。絫1＋t2 ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2). 當點M在第二或第三象限時， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明　當t1＝1時， 由(1)知＝(4t2,4t2＋2). ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點共線. (3)解　當t1＝a2時，＝(4t2,4t2＋2a2). 又＝(4,4)，⊥， ∴4t24＋(4t2＋2a2)4＝0， ∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2). 又||＝4， 點M到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|d＝4|a2－1|＝12， 解得a＝2，故所求a的值為2.