【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科】第二篇 第3講

第3講概率與統(tǒng)計(jì)離散型隨機(jī)變量分布列及均值、方差的綜合問(wèn)題例題(12分)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？規(guī)范解答解(1)依題意，得p1P(40<X<80)0.2，p2P(80X120)0.7，p3P(X>120)0.1.3分由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p3()44()30.947 7.6分(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元).安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 00015 000.7分安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.9分安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 00028009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X>120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.11分綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).12分評(píng)分細(xì)則第(1)問(wèn)得分點(diǎn)1.求出各段的概率得3分，每求對(duì)一個(gè)得1分.2.求出未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率得3分.第(2)問(wèn)得分點(diǎn)1.求出概率分布列得2分；分布列錯(cuò)，求對(duì)所有概率得1分.2.求對(duì)均值得1分，公式對(duì)結(jié)果錯(cuò)誤不得分.第一步：分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的取值；第二步：根據(jù)概率類型選擇公式求解變量取每一個(gè)值的概率；第三步：列出分布列的表格；第四步：根據(jù)均值的定義式或計(jì)算公式求解其值；第五步：反思回顧，根據(jù)分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，計(jì)算是否正確.跟蹤訓(xùn)練1.甲、乙兩人參加某電視臺(tái)舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對(duì)其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功.已知在6道備選題中，甲能答對(duì)其中的4道題，乙答對(duì)每道題的概率都是.(1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；(2)設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2.某師范大學(xué)地理學(xué)院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生(包括x位女學(xué)生，3位男學(xué)生)中選派2位學(xué)生到某貧困山區(qū)的一所中學(xué)擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師，每一位學(xué)生被選派的機(jī)會(huì)是相同的.(1)若選派的2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的概率為，試求出n與x的值；(2)在(1)的條件下，記X為選派的2位學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，寫出X的分布列.答案精析第3講概率與統(tǒng)計(jì)跟蹤訓(xùn)練1.解(1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，則P()，P()(1)3C(1)2，則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是1P()1P()P()1.(2)由題意知的可能取值是1,2.P(1)，P(2)，則的分布列為12PE()12.2.解(1)若選派的2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的概率為，而從n位優(yōu)秀畢業(yè)生中選派2位學(xué)生擔(dān)任第三批頂崗實(shí)習(xí)教師的總方法數(shù)為C，2位學(xué)生中恰有1位女學(xué)生的方法數(shù)為CC(n3)3.依題意可得，化簡(jiǎn)得n211n300，解得n15，n26.當(dāng)n5時(shí)，x532；當(dāng)n6時(shí)，x633.故所求的值為或(2)當(dāng)時(shí)，X可能的取值為0,1,2，X0表示只選派2位男生，這時(shí)P(X0)，X1表示選派1位男生與1位女生，這時(shí)P(X1)，X2表示只選派2位女生，這時(shí)P(X2).X的分布列為X012P當(dāng)時(shí)，X可能的取值為0,1,2，X0表示只選派2位男生，這時(shí)P(X0)，X1表示選派1位男生與1位女生，這時(shí)P(X1)，X2表示只選派2位女生，這時(shí)P(X2).X的分布列為X012P