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第3講 概率與統(tǒng)計
離散型隨機變量分布列及均值、方差的綜合問題
例題 (12分)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的頻率，并假設各年的入流量相互獨立.
(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：
年入流量X
40
120
發(fā)電機最多
可運行臺數(shù)
1
2
3
若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？
規(guī)范解答
解 (1)依題意，得p1＝P(40120)＝＝0.1.[3分]
由二項分布，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3
＝()4＋4()3＝0.947 7.[6分]
(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).
①安裝1臺發(fā)電機的情形.
由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 0001＝5 000.[7分]
②安裝2臺發(fā)電機的情形.
依題意，當40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 0003＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3 4000.2＋9 2000.7＋15 0000.1＝8 620.[11分]
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺.[12分]
評分細則
第(1)問得分點
1.求出各段的概率得3分，每求對一個得1分.
2.求出未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率得3分.
第(2)問得分點
1.求出概率分布列得2分；分布列錯，求對所有概率得1分.
2.求對均值得1分，公式對結果錯誤不得分.
第一步：分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的取值；
第二步：根據概率類型選擇公式求解變量取每一個值的概率；
第三步：列出分布列的表格；
第四步：根據均值的定義式或計算公式求解其值；
第五步：反思回顧，根據分布列的性質檢驗結果是否正確，計算是否正確.
跟蹤訓練
1.甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關成功.已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是.
(1)求甲、乙至少有一人闖關成功的概率；
(2)設甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望.
2.某師范大學地理學院決定從n位優(yōu)秀畢業(yè)生(包括x位女學生，3位男學生)中選派2位學生到某貧困山區(qū)的一所中學擔任第三批頂崗實習教師，每一位學生被選派的機會是相同的.
(1)若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為，試求出n與x的值；
(2)在(1)的條件下，記X為選派的2位學生中女學生的人數(shù)，寫出X的分布列.
答案精析
第3講 概率與統(tǒng)計
跟蹤訓練
1.解 (1)設甲、乙闖關成功分別為事件A、B，
則P()＝＝＝，
P()＝(1－)3＋C(1－)2＝＋＝，
則甲、乙至少有一人闖關成功的概率是
1－P()＝1－P()P()＝1－＝.
(2)由題意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
則ξ的分布列為
ξ
1
2
P
∴E(ξ)＝1＋2＝.
2.解 (1)若選派的2位學生中恰有1位女學生的概率為，而從n位優(yōu)秀畢業(yè)生中選派2位學生擔任第三批頂崗實習教師的總方法數(shù)為C＝，2位學生中恰有1位女學生的方法數(shù)為CC＝(n－3)3.
依題意可得＝＝，
化簡得n2－11n＋30＝0，解得n1＝5，n2＝6.
當n＝5時，x＝5－3＝2；當n＝6時，x＝6－3＝3.
故所求的值為或
(2)當時，X可能的取值為0,1,2，
X＝0表示只選派2位男生，這時P(X＝0)＝＝，
X＝1表示選派1位男生與1位女生，這時P(X＝1)＝＝，
X＝2表示只選派2位女生，這時P(X＝2)＝＝.
X的分布列為
X
0
1
2
P
當時，X可能的取值為0,1,2，
X＝0表示只選派2位男生，這時P(X＝0)＝＝，
X＝1表示選派1位男生與1位女生，這時P(X＝1)＝＝，
X＝2表示只選派2位女生，這時P(X＝2)＝＝.
X的分布列為
X
0
1
2
P
【高考前三個月復習數(shù)學理科】第二篇 第3講
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