【高考前三個月復習數(shù)學理科函數(shù)與導數(shù)】專題3 第10練

第10練重應用函數(shù)的實際應用題型分析高考展望函數(shù)的實際應用也是高考?？碱}型，特別是基本函數(shù)模型的應用，在選擇題、填空題、解答題中都會出現(xiàn)，多以實際生活、常見的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問題時，應從實際問題中分析涉及的數(shù)學知識，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質(zhì)或相應的數(shù)學方法，使問題得以解決.?？碱}型精析題型一基本函數(shù)模型的應用例1(1)(2014北京)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A.3.50分鐘 B.3.75分鐘C.4.00分鐘 D.4.25分鐘(2)為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償.當x200,300時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？點評解決實際應用問題關(guān)鍵在于讀題，讀題必須細心、耐心，從中分析出數(shù)學“元素”，確定該問題涉及的數(shù)學模型，一般程序如下：.變式訓練1(1)(2015北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期間某商人購進一批家電，每臺進價以按原價a扣去20%，他希望對貨物定一新價，以使每臺按新價讓利25%銷售后，仍可獲得售價20%的純利，則此商人經(jīng)營這種家電的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是_.題型二分段函數(shù)模型的應用例22015年4月，某地自來水苯超標，當?shù)刈詠硭緦λ|(zhì)檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足ymf(x)，其中f(x)當藥劑在水中的濃度不低于4(毫克/升)時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時稱為最佳凈化.(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m4，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？(2)如果投放藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天(從投放藥劑算起包括7天)之內(nèi)的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值.點評函數(shù)有關(guān)應用題的常見類型及解題關(guān)鍵(1)常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應用題，經(jīng)常涉及物價、 路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題.(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.變式訓練2季節(jié)性服裝當季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢，設(shè)某服裝開始時定價為10元，并且每周(7天)漲價2元，5周后開始保持20元價格平穩(wěn)銷售；10周后當季節(jié)即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售.(1)試建立價格P與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若此服裝每件進價Q與周次t之間的關(guān)系為Q0.125(t8)212，t0,16，tN，試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大？最大值是多少？(注：每件銷售利潤售價進價)高考題型精練1.(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油2.(2014湖南)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A. B.C. D.13.(2014陜西)如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()A.yx3x B.yx3xC.yx3x D.yx3x4.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為yalog2(x1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A.300只 B.400只C.600只 D.700只5.如果在今后若干年內(nèi)，我國國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長9%的水平，那么要達到國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1092.037 4，lg 0.092.954 3)()A.2015年 B.2011年C.2016年 D.2008年6.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單元：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()A.45.606萬元 B.45.6萬元C.45.56萬元 D.45.51萬元7.(2014福建)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_.(單位：元)8.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害.為保護環(huán)境，環(huán)保部門應給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是_年.9.一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_ min，容器中的沙子只有開始時的八分之一.10.(2015四川)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時.11.為了保護學生的視力，課桌椅子的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計的.研究表明：假設(shè)課桌的高度為y cm，椅子的高度為x cm，則y應是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0課桌高度y(cm)75.070.2(1)請你確定y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍).(2)現(xiàn)有一把高42.0 cm的椅子和一張高78.2 cm的課桌，它們是否配套？為什么？12.某企業(yè)實行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元，據(jù)評估在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)純收益0.01萬元，但每年需付給每位下崗工人0.4萬元的生活費，并且企業(yè)正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)當140<a280時，該企業(yè)應裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟效益？(注：在保證能取得最大經(jīng)濟效益的情況下，能少裁員，應盡量少裁員)答案精析第10練重應用函數(shù)的實際應用?？碱}型精析例1(1)B 根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以當t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘.(2)解當x200,300時，設(shè)該項目獲利為S，則S200xx2400x80 000(x400)2，所以當x200,300時，S<0，因此該單位不會獲利.當x300時，S取得最大值5 000，所以國家每月至少補貼5 000元才能使該項目不虧損.由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為()當x120,144)時，x280x5 040(x120)2240，所以當x120時，取得最小值240.()當x144,500時，x2002 200200，當且僅當x，即x400時，取得最小值200.因為200<240，所以當每月的處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.變式訓練1(1)B(2)yx (xN*)解析(1)由表知：汽車行駛路程為35 60035 000600千米，耗油量為48升，每100千米耗油量8升.(2)設(shè)每臺新價為b，則售價b(125%)，讓利b25%，由于原價為a，則進價為a(120%)，根據(jù)題意，得每件家電利潤為b(125%)20%b(125%)a(120%)，化簡得ba.yb25%xa25%xx (xN*)，即yx(xN*).例2解(1)由題意，得當藥劑質(zhì)量m4時，y當0<x4時，84，顯然符合題意.當x>4時，4，解得4<x16.綜上0<x16.所以自來水達到有效凈化一共可持續(xù)16天.(2)由ymf(x)得當0<x4時，y2m在區(qū)間(0,4上單調(diào)遞增，即2m<y3m；當x>4時，y<0，所以函數(shù)在區(qū)間(4,7上單調(diào)遞減，即y<3m，綜上知，y3m，為使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以應該投放的藥劑量m的最小值為.變式訓練2解(1)P(2)設(shè)該服裝每件銷售利潤為L元.由題意，得L當t0,5時，Lmax9.125，此時t5；當t(5,10時，Lmax8.5，此時t6或10；當t(10,16時，Lmax7.125，此時t11；第五周每件銷售利潤最大，最大值為9.125元.高考題型精練1.D 根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對.2.D 設(shè)年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)，x1.3.A 函數(shù)在5,5上為減函數(shù)，所以在5,5上y0，經(jīng)檢驗只有A符合.故選A.4.A 將x1，y100代入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100，所以x7時，y100log2(71)300.5.B 設(shè)1995年生產(chǎn)總值為a，經(jīng)過x年翻兩番，則a(19%)x4a.x16.6.B 依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15x)輛，所以總利潤S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 (x0)，所以當x10時，S有最大值為45.6(萬元).7.160解析設(shè)該長方體容器的長為x m，則寬為 m.又設(shè)該容器的造價為y元，則y2042(x)10，即y8020(x)(x>0).因為x24(當且僅當x，即x2時取“”)，所以ymin80204160(元).8.7解析設(shè)第n(nN*)年的年產(chǎn)量為an，則a11233；當n2時，anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2.又a13也符合an3n2，所以an3n2(nN*).令an150，即3n2150，解得5n5，所以1n7，nN*，故最長的生產(chǎn)期限為7年.9.16解析當t0時，ya，當t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.10.24解析由題意得e22k，e11k，x33時，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.11.解(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系為ykxb.將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)關(guān)系式，得y與x的函數(shù)關(guān)系式是y1.6x11.(2)把x42代入上述函數(shù)關(guān)系式中，有y1.6421178.2.給出的這套課桌椅是配套的.12.解(1)由題意可知，y(ax)(10.01x)0.4xx2xa.axa，xa，即x的取值范圍是中的自然數(shù).(2)y22a，且140<a280，當a為偶數(shù)時，x70，y取最大值.當a為奇數(shù)時，x70，y取最大值(盡可能少裁人，舍去x70).當員工人數(shù)為偶數(shù)時，裁員人，才能獲得最大的經(jīng)濟效益；當員工人數(shù)為奇數(shù)時，裁員人，才能獲得最大的經(jīng)濟效益.