【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第10練

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第10練　重應(yīng)用——函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 [題型分析高考展望]　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用也是高考?？碱}型，特別是基本函數(shù)模型的應(yīng)用，在選擇題、填空題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)，多以實(shí)際生活、常見(jiàn)的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問(wèn)題中分析涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質(zhì)或相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，使問(wèn)題得以解決. ?？碱}型精析 題型一　基本函數(shù)模型的應(yīng)用 例1　(1)(2014北京)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為(　　) A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘 (2)為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國(guó)家將給予補(bǔ)償. ①當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？ ②該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？ 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于讀題，讀題必須細(xì)心、耐心，從中分析出數(shù)學(xué)“元素”，確定該問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)模型，一般程序如下： ???. 變式訓(xùn)練1　(1)(2015北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況. 加油時(shí)間 加油量(升) 加油時(shí)的累計(jì)里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600 注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程. 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(　　) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 (2)2015年“五一”期間某商人購(gòu)進(jìn)一批家電，每臺(tái)進(jìn)價(jià)以按原價(jià)a扣去20%，他希望對(duì)貨物定一新價(jià)，以使每臺(tái)按新價(jià)讓利25%銷售后，仍可獲得售價(jià)20%的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)這種家電的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是______________. 題型二　分段函數(shù)模型的應(yīng)用 例2　2015年4月，某地自來(lái)水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠?lái)水公司對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足y＝mf(x)，其中f(x)＝當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于4(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化. (1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m＝4，試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？ (2)如果投放藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天(從投放藥劑算起包括7天)之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 點(diǎn)評(píng)　函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見(jiàn)類型及解題關(guān)鍵 (1)常見(jiàn)類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、 路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題. (2)解題關(guān)鍵：解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答. 變式訓(xùn)練2　季節(jié)性服裝當(dāng)季節(jié)即將來(lái)臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服裝開(kāi)始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周(7天)漲價(jià)2元，5周后開(kāi)始保持20元價(jià)格平穩(wěn)銷售；10周后當(dāng)季節(jié)即將過(guò)去時(shí)，平均每周削價(jià)2元，直到16周末，該服裝已不再銷售. (1)試建立價(jià)格P與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)若此服裝每件進(jìn)價(jià)Q與周次t之間的關(guān)系為Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，試問(wèn)該服裝第幾周每件銷售利潤(rùn)最大？最大值是多少？(注：每件銷售利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)) 　 　 高考題型精練 1.(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是(　　) A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多 C.甲車以80千米/時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油 D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 2.(2014湖南)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為(　　) A. B. C. D.－1 3.(2014陜西)如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處開(kāi)始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A.y＝x3－x B.y＝x3－x C.y＝x3－x D.y＝－x3＋x 4.某地為了抑制一種有害昆蟲(chóng)的繁殖，引入了一種以該昆蟲(chóng)為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到(　　) A.300只 B.400只 C.600只 D.700只 5.如果在今后若干年內(nèi)，我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長(zhǎng)9%的水平，那么要達(dá)到國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.954 3)(　　) A.2015年 B.2011年 C.2016年 D.2008年 6.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單元：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為(　　) A.45.606萬(wàn)元 B.45.6萬(wàn)元 C.45.56萬(wàn)元 D.45.51萬(wàn)元 7.(2014福建)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________.(單位：元) 8.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門(mén)審批后方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門(mén)應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是______年. 9.一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)______ min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一. 10.(2015四川)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系 y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 ℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí). 11.為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌椅子的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的.研究表明：假設(shè)課桌的高度為y cm，椅子的高度為x cm，則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度x(cm) 40.0 37.0 課桌高度y(cm) 75.0 70.2 (1)請(qǐng)你確定y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出x的取值范圍). (2)現(xiàn)有一把高42.0 cm的椅子和一張高78.2 cm的課桌，它們是否配套？為什么？ 12.某企業(yè)實(shí)行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬(wàn)元，據(jù)評(píng)估在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)純收益0.01萬(wàn)元，但每年需付給每位下崗工人0.4萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬(wàn)元. (1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍； (2)當(dāng)1404時(shí)，≥4，解得44時(shí)，y′＝<0， 所以函數(shù)在區(qū)間(4,7]上單調(diào)遞減， 即≤y<3m，綜上知，≤y≤3m， 為使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可， 即≤m≤. 所以應(yīng)該投放的藥劑量m的最小值為. 變式訓(xùn)練2　解　(1)P＝ (2)設(shè)該服裝每件銷售利潤(rùn)為L(zhǎng)元. 由題意，得 L＝ ＝ ①當(dāng)t∈[0,5]時(shí)，Lmax＝9.125，此時(shí)t＝5； ②當(dāng)t∈(5,10]時(shí)，Lmax＝8.5，此時(shí)t＝6或10； ③當(dāng)t∈(10,16]時(shí)，Lmax＝7.125，此時(shí)t＝11； ∴第五周每件銷售利潤(rùn)最大，最大值為9.125元. 高考題型精練 1.D [根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì).] 2.D [設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1.] 3.A [函數(shù)在[－5,5]上為減函數(shù)，所以在[－5,5]上y′≤0，經(jīng)檢驗(yàn)只有A符合.故選A.] 4.A [將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.] 5.B [設(shè)1995年生產(chǎn)總值為a，經(jīng)過(guò)x年翻兩番，則a(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.] 6.B [依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，所以總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)，所以當(dāng)x＝10時(shí)，S有最大值為45.6(萬(wàn)元).] 7.160 解析　設(shè)該長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為x m，則寬為 m.又設(shè)該容器的造價(jià)為y元，則y＝204＋2(x＋)10，即y＝80＋20(x＋)(x>0).因?yàn)閤＋≥2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)取“＝”)，所以ymin＝80＋204＝160(元). 8.7 解析　設(shè)第n(n∈N*)年的年產(chǎn)量為an，則a1＝123＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2.又a1＝3也符合an＝3n2，所以an＝3n2(n∈N*).令an≤150，即3n2≤150，解得－5≤n≤5，所以1≤n≤7，n∈N*，故最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限為7年. 9.16 解析　當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)， 即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b， 則t＝24，所以再經(jīng)過(guò)16 min. 10.24 解析　由題意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33時(shí)，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3eb＝192＝24. 11.解　(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系為y＝kx＋b. 將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)關(guān)系式， 得　∴ ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝1.6x＋11. (2)把x＝42代入上述函數(shù)關(guān)系式中， 有y＝1.642＋11＝78.2. ∴給出的這套課桌椅是配套的. 12.解　(1)由題意可知， y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x ＝－x2＋x＋a. ∵a－x≥a，∴x≤a， 即x的取值范圍是中的自然數(shù). (2)∵y＝－2＋2＋a， 且140

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