2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第66講 曲線與方程練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第66講 曲線與方程 1.已知點(diǎn)A(-2,0)、B(3,0),動點(diǎn)P(x,y)滿足·=x2,則點(diǎn)P的軌跡是(D) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 =(-2-x,-y),=(3-x,-y),因?yàn)椤ぃ絰2,所以(-2-x)·(3-x)+y2=x2,即y2=x+6. 2.已知F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng),則動點(diǎn)P的軌跡是(A) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.線段 由于|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2,所以P點(diǎn)軌跡為橢圓. 3.曲線f(x,y)=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱曲線的方程

2、是(D) A.f(x+2,y)=0 B.f(x-2,y)=0 C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0 設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0上任一點(diǎn),它關(guān)于x-y+2=0的對稱點(diǎn)為(x,y),則 解得 又f(x0,y0)=0,所以f(y-2,x+2)=0. 4.設(shè)A1、A2是橢圓+=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn),P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn),則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為(C) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 設(shè)交點(diǎn)為P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0). 因?yàn)锳1、P1

3、,P三點(diǎn)共線,所以=,① 因?yàn)锳2、P2,P三點(diǎn)共線,所以=,② 解①②得x0=,y0=,代入+=1, 化簡得-=1. 5.在圓x2+y2=9中,過已知點(diǎn)P(1,2)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為 (x-)2+(y-1)2= . 設(shè)弦的中點(diǎn)為M,則OM⊥PM. 所以M在以O(shè)P為直徑的圓上, 故所求軌跡方程為(x-)2+(y-1)2=. 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓在x軸上截得的線段長為2,在y軸上截得的線段長為2,則圓心P的軌跡方程為 y2-x2=1 . 設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r. 由題意y2+2=r2,x2+3=r2,從而y2+2=x2+3, 所以P點(diǎn)的軌跡方

4、程為y2-x2=1. 7.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足= . (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且·=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0), 則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由= 得x0=x,y0=y(tǒng). 因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則 =(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m

5、-tn, =(m,n),=(-3-m,t-n). 由·=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以·=0,即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 8.點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn),過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線,垂足為點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是(D) A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓 連接OM,延長F2M交F1P的延長線于點(diǎn)Q, 則|PQ|=|PF2|. 所以|QF1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a. 因?yàn)镺M

6、為△F1F2Q的中位線, 所以|OM|=|QF1|=a. 因此點(diǎn)M的軌跡是圓.故選D. 9.(2016·廣東佛山六校聯(lián)考)已知A(3,2),B(1,0),P(x,y)滿足=x1+x2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若x1+x2=1,則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程為 x-y-1=0 . 因?yàn)椋絰1+x2, 所以(x,y)=(3x1,2x1)+(x2,0)=(3x1+x2,2x1), 所以x=3x1+x2,y=2x1,所以x-y=x1+x2=1, 故P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程為x-y-1=0. 10.(2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交

7、C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn). (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程. 由題意知F(,0), 設(shè)直線l1的方程為y=a,直線l2的方程為y=b, 則ab≠0,且A(,a),B(,b),P(-,a), Q(-,b),R(-,). 記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則 k1=====-b==k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0), 則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a||x1-|, S△PQF=. 由題意可得|b-a||x1-|=, 所以x1=0(舍去),x1=1. 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí), 由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y(tǒng),所以y2=x-1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),滿足方程y2=x-1. 所以所求的軌跡方程為y2=x-1. 5

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