中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型五 圓的綜合題試題

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題型五　圓的綜合題 針對(duì)演練 1. 如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，過圓心O的直線垂直AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C和點(diǎn)E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB＝，延長OE到點(diǎn)F，使EF＝2OE. (1)求證：∠BOE＝∠ACB; (2)求⊙O的半徑； (3)求證：BF是⊙O的切線． 第1題圖 2. 如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓外一點(diǎn)，連接AC、 BC，分別與⊙O相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，且，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接BD、DE、AE. (1)求證：DF是⊙O的切線； (2)試判斷△DEC的形狀，并說明理由； (3)若⊙O的半徑為5，AC＝12，求sin∠EAB的值． 第2題圖 3. (2016長沙9分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度數(shù)； (2)求證：DF是⊙O的切線； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 第3題圖 4. (2016德州10分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作直線l∥BC. (1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE＝EF; (3)在(2)的條件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的長． 第4題圖 5. (2015永州)如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是OE上的一點(diǎn)，使CF∥BD. (1)求證：BE＝CE； (2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由； (3)若BC＝8，AD＝10，求CD的長． 第5題圖 6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D，連接AG，CP，PB. (1)如圖①，若D是線段OP的中點(diǎn)，求∠BAC的度數(shù)； (2)如圖②，在DG上取一點(diǎn)K，使DK＝DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形； (3)如圖③，取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長ED交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：PH⊥AB. 第6題圖 7. (2017原創(chuàng))如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AD交⊙O于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接OE交CD于點(diǎn)F，連接BE交CD于點(diǎn)G. (1)求證：AB＝AG； (2)若DG＝DE，求證：GB2＝GCGA； (3)在(2)的條件下，若tanD＝，EG＝，求⊙O的半徑． 第7題圖 8. (2015達(dá)州)在△ABC的外接圓⊙O中，△ABC的外角平分線CD交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)為上一點(diǎn)，且，連接DF，并延長DF交BA的延長線于點(diǎn)E. (1)判斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)求證：△BCD≌△AFD； (3)若∠ACM＝120，⊙O的半徑為5，DC＝6，求DE的長． 第8題圖 9. 如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為點(diǎn)D. (1)求證：△ACD∽△ABC； (2)求證：∠PCA＝∠ABC； (3)過點(diǎn)A作AE∥PC交⊙O于點(diǎn)E，交CG于點(diǎn)F，連接BE，若sinP＝，CF＝5，求BE的長． 第9題圖 10. (2016大慶9分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH. (1)求證：MH為⊙O的切線； (2)若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑； (3)在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與⊙O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長度． 第10題圖 11. 如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點(diǎn)，∠PAC＝∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G. (1)判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)求證：AG2＝AFAB； (3)若⊙O的直徑為10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面積． 第11題圖 12. (2016鄂州10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O. (1)求證：AB是⊙O的切線； (2)已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD＝，求的值； (3)在(2)的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長． 第12題圖 【答案】 1．(1)證明：如解圖，連接OA， 第1題解圖 ∵CE⊥AB， ∴AD＝BD＝2，， ∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE， 又∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠BOE＝∠ACB； (2)解：∵cos∠ACB＝， ∴cos∠BOD＝， 在Rt△BOD中，設(shè)OD＝x，則OB＝3x， ∵OD2＋BD2＝OB2， ∴x2＋22＝(3x)2，解得x＝， ∴OB＝3x＝， 即⊙O的半徑為； (3)證明：∵FE＝2OE， ∴OF＝3OE＝， ∴＝， ∵＝， ∴＝， ∵∠BOF＝∠DOB， ∴△OBF∽△ODB， ∴∠OBF＝∠ODB＝90，即OB⊥BF， ∵OB是⊙O的半徑， ∴BF是⊙O的切線． 2．(1)證明：如解圖，連接DO，交AE于點(diǎn)G，則DO＝BO， 第2題解圖 ∴∠ABD＝∠ODB， ∵， ∴∠ABD＝∠EBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴DO∥BC， ∴∠ODF＝∠CFD， ∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝90， ∴∠ODF＝90，即OD⊥DF， 又∵OD為⊙O的半徑， ∴DF是⊙O的切線； (2)解：△DEC是等腰三角形，理由如下： ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝∠CDB＝90， 又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD， ∴△ABD≌△CBD(ASA)， ∴AD＝CD. ∵， ∴AD＝DE， ∴CD＝DE， ∴△DEC是等腰三角形； (3)解：由(2)可知AD＝AC＝6， ∵， ∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE， ∴sin∠DAE＝. 在Rt△ADB中，sin∠ABD＝＝， ∴＝， ∴DG＝3.6， ∴OG＝OD－DG＝1.4， ∴在Rt△AGO中，sin∠EAB＝＝＝. 3．(1)解：∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC＝90， ∴∠CDE＝90；………………………………………………(2分) 第3題解圖 (2)證明：如解圖，連接OD， ∵∠CDE＝90，F(xiàn)為CE中點(diǎn)， ∴DF＝CE＝CF， ∴∠FDC＝∠FCD. 又∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD， ∴∠ODF＝∠OCF， ∵EC⊥AC， ∴∠OCF＝90， ∴∠ODF＝90，即OD⊥DF， 又∵OD為⊙O的半徑， ∴DF為⊙O的切線；…………………………………………(5分) (3)解：在△ACD與△ECA中， ∵∠ADC＝∠ACE＝90，∠EAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEC， ∴＝ ∴AC2＝ADAE， 又∵AC＝2DE， ∴20DE2＝(AE－DE)AE ∴AE＝5DE， ∴AD＝4DE， ∵在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2， ∴CD＝2DE， 又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD， ∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2. …………………………(9分) 4．(1)解：直線l與⊙O相切．理由如下： 如解圖，連接OE、OB、OC. 第4題解圖 ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴， ∴∠BOE＝∠COE， 又∵OB＝OC， ∴OE⊥BC， ∵l∥BC， ∴OE⊥l， 又∵OE為⊙O的半徑， ∴直線l與⊙O相切；…………………………………………(3分) (2)證明：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， 又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE， ∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF. 又∵∠EBF＝∠CBE＋∠CBF，∠EFB＝∠BAE＋∠ABF， ∴∠EBF＝∠EFB， ∴BE＝EF；……………………………………………………(6分) (3)解：∵BE＝EF，DE＝4，DF＝3， ∴BE＝EF＝DE＋DF＝7， ∵， ∴∠DBE＝∠BAE， ∵∠DEB＝∠BEA， ∴△BED∽△AEB， ∴＝，即＝， 解得AE＝，…………………………………………………(9分) ∴AF＝AE－EF＝－7＝.………………………………(10分) 5．(1)證明：∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD＝∠ACD＝90， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE； (2)解：四邊形BFCD是菱形．理由如下： ∵AD是⊙O的直徑，AB＝AC， ∴AD⊥BC，BE＝CE， ∵CF∥BD， ∴∠FCE＝∠DBE， 在△BED和△CEF中， ， ∴△BED≌△CEF(ASA)， ∴BD＝CF， ∴四邊形BFCD是平行四邊形， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD， ∴四邊形BFCD是菱形； (3)解：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，BE＝CE， ∴∠ECD＝∠CAE， ∵∠AEC＝∠DEC＝90， ∴Rt△CDE∽R(shí)t△ACE， ∴＝， ∴CE2＝DEAE， 設(shè)DE＝x，則AE＝AD－DE＝10－x， ∵BC＝8， ∴CE＝BC＝4， ∴42＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)， 在Rt△CED中， CD＝＝＝2. 6．(1)解：∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，PG為⊙O的直徑， ∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD， ∴∠ODB＝90， ∵D為OP的中點(diǎn)， ∴OD＝OP＝OB， ∴∠OBD＝30， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠BAC＝60；………………………………………………(3分) (2)證明：由(1)知，CD＝BD， 在△PDB和△KDC中， ， ∴△PDB≌△KDC(SAS)， ∴BP＝CK，∠BPO＝∠CKD， ∵∠AOG＝∠BOP， ∴AG＝BP， ∴AG＝CK， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠BPO， 又∵∠G＝∠OBP， ∴∠G＝∠BPO＝∠CKD， ∴AG∥CK， ∴四邊形AGKC是平行四邊形；……………………………(6分) (3)證明：∵CE＝PE，CD＝BD， ∴DE∥PB，即DH∥PB， ∵∠G＝∠BPO， ∴PB∥AG，∴DH∥AG， ∴∠OAG＝∠OHD，∠G＝∠ODH. ∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G， ∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH， 在△OBD和△OPH中， ， ∴△OBD≌△OPH(SAS)， ∴∠OHP＝∠ODB＝90， ∴PH⊥AB. ……………………………………………………(9分) 7．(1)證明：如解圖，連接OB， 第7題解圖 ∵AB為⊙O的切線， ∴OB⊥AB， ∴∠ABG＋∠OBG＝90， ∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)， ∴OE⊥CD， ∴∠OEG＋∠FGE＝90， 又∵OB＝OE， ∴∠OBG＝∠OEG， ∴∠ABG＝∠FGE， ∵∠BGA＝∠FGE， ∴∠ABG＝∠BGA， ∴AB＝AG； (2)證明：如解圖，連接BC， ∵DG＝DE， ∴∠DGE＝∠DEG， 由(1)得∠ABG＝∠BGA， 又∵∠BGA＝∠DGE， ∴∠A＝∠GDE， ∵∠GBC＝∠GDE， ∴∠GBC＝∠A， ∵∠BGC＝∠AGB， ∴△GBC∽△GAB， ∴＝， ∴GB2＝GCGA； (3)解：如解圖，連接OD， ∵在Rt△DEF中，tan∠EDF＝＝， ∴設(shè)EF＝3x，則DF＝4x，由勾股定理得DE＝5x， ∵DG＝DE， ∴DG＝5x， ∴GF＝DG－DF＝x. 在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2＋EF2＝EG2， 即x2＋(3x)2＝()2，解得x＝1， 設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△ODF中，OD＝r，OF＝r－3，DF＝4， 由勾股定理得OF2＋FD2＝OD2，即(r－3)2＋42＝r2， 解得r＝， ∴⊙O的半徑為. 8．(1)解：DB＝DA. 理由如下：∵CD平分∠ACM， ∴∠MCD＝∠ACD， ∵∠ACD和∠ABD都是所對(duì)的圓周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴∠MCD＝∠ABD， 又∵∠MCD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∴DB＝DA； (2)證明：如解圖，連接AF， 第8題解圖 ∵AD＝BD， ∴， ∵， ∴， ∴AF＝BC，DF＝DC， 在△BCD和△AFD中， ， ∴△BCD≌△AFD(SSS)； (3)解：∵∠ACM＝120， ∴∠MCD＝∠ACD＝60， ∴∠ABD＝∠BAD＝∠BDA＝60， ∴△ABD是等邊三角形， 如解圖，連接DO并延長與AB交于點(diǎn)G，則∠ADO＝30， 過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，則AD＝2DH＝2ODcos30＝5， ∵∠ADF＋∠DAF＝∠AFE＝∠ACD＝60，∠ADE＋∠E＝∠BAD＝60， ∴∠DAF＝∠E， ∵∠ADF＝∠EDA， ∴△ADF∽△EDA， ∴＝， ∴DE＝， ∵DF＝DC＝6，DA＝5， ∴DE＝. 9．(1)證明：∵AB是⊙O直徑， ∴∠ACB＝90， ∵CG⊥AB， ∴∠ADC＝∠ACB＝90， ∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC； (2)證明：如解圖，連接OC. 第9題解圖 ∵PC切⊙O于點(diǎn)C， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO＝90， ∴∠PCA＋∠OCA＝90， ∵∠ACB＝90， ∴∠ABC＋∠OAC＝90， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠PCA＝∠ABC； (3)解：∵AE∥PC， ∴∠PCA＝∠CAF， ∵AB⊥CG， ∴， ∴∠ABC＝∠ACF， ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABC， ∴∠ACF＝∠CAF， ∴FA＝FC， ∵CF＝5， ∴AF＝5， ∵AE∥PC， ∴∠FAD＝∠P， ∵sinP＝， ∴sin∠FAD＝， ∴FD＝3，AD＝4，CD＝8， 在Rt△COD中，設(shè)CO＝r，則有r2＝(r－4)2＋82， ∴r＝10， ∴AB＝2r＝20， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB＝90， ∴sin∠EAB＝， ∴＝， ∴＝， ∴BE＝12. 10．(1)證明：如解圖①，連接OM、CM， 第10題解圖① ∵BC為⊙O的直徑， ∴∠AMC＝∠BMC＝90， ∵H是AC的中點(diǎn)， ∴HC＝HM＝AC， ∴∠HMC＝∠HCM， ∵OM＝OC， ∴∠OMC＝∠OCM， ∴∠OMH＝∠OCH， ∵∠ACB＝90＝∠OCH， ∴∠OMH＝90，即OM⊥MH， 又∵OM為⊙O的半徑， ∴MH為⊙O的切線；…………………………………………(3分) (2)解：∵M(jìn)H＝， ∴AC＝2MH＝3， 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝， ∴BC＝4， 故⊙O的半徑為2；……………………………………………(5分) (3)解：如解圖②，過點(diǎn)D作DP⊥AC于點(diǎn)P，連接ON， 第10題解圖② 則DP＝BC＝4，BD＝PC， 設(shè)DB＝DN＝x，則AP＝3－x， ∵AN＝AC＝3， ∴AD＝x＋3. 在Rt△ADP中，由勾股定理得， (x＋3)2－(3－x)2＝42， 解得x＝， ∴DN＝BD＝，AD＝， ∵QN⊥BC，AC⊥BC，BD⊥BC， ∴AC∥NQ∥DB， ∴＝，即＝， ∴BE＝， ∴OE＝OB－BE＝， ∴EN＝＝， ∴NQ＝2EN＝.……………………………………………(9分) 11．(1)解：直線PA與⊙O相切．理由如下： ∵AD為⊙O的直徑， CG⊥AD ， ∴AD垂直且平分CG， ∴AC＝AG， ∴∠ACG＝∠AGC， ∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B， ∴∠PAC＝∠ACG， ∴PA∥CG， ∵CG⊥AD， ∴PA⊥AD， 又∵AD為⊙O的直徑 ∴直線PA是⊙O的切線； 【一題多解】如解圖①，連接DC， 第11題解圖① 則∠B＝∠ADC， ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ACD＝90， ∴∠ADC＋∠DAC＝90. 又∵∠PAC＝∠B， ∴∠ADC＝∠PAC， ∴∠PAC＋∠DAC＝90，即DA⊥PA， ∴PA是⊙O的切線． (2)證明：由垂徑定理得， ∴∠ACG＝∠B， ∵∠CAB＝∠FAC， ∴△ABC∽△ACF， ∴＝， ∴AC2＝AFAB， 又∵AC＝AG， ∴AG2＝AFAB； 【一題多解】此題還可以通過連接BG，證明△GAB∽△FAG，從而證得AG2＝AFAB. (3)解：由(2)得AG2＝AFAB， ∵AG＝AC＝2，AB＝4， ∴(2)2＝4AF， ∴AF＝， 如解圖②，連接BD，則∠ABD＝90， 第11題解圖② 由勾股定理得BD＝＝＝2， ∵∠AEF＝∠ABD＝90，∠EAF＝∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴AE＝2，EF＝1， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2， ∴CE＝ ＝4， ∵CE＝EG， ∴EG＝4， ∴FG＝EG－EF＝ 4－1＝3， ∴. 12．(1)證明：如解圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F， 第12題解圖 ∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，垂足為點(diǎn)F， ∴OF＝OC，即OF為⊙O的半徑， ∴AB是⊙O的切線；…………………………………………(3分) (2)解：如解圖，過點(diǎn)D作DP⊥AC交AC延長線于點(diǎn)P， ∵∠ACB＝90，DP⊥AC， ∴CO∥DP， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠CDP， ∵tan∠CDO＝， ∴tan∠OCD＝. 連接DQ，設(shè)DQ＝a，則CD＝2a，CQ＝a， ∴CO＝OD＝OE＝， 在Rt△CPD中，設(shè)CP＝b，則DP＝2b，CD＝b， ∴b＝a，則PC＝a ，PD＝a， ∵CO∥DP，∴△ACO∽△APD， ∴＝＝，即＝＝， 解得AC＝a，AO＝a， ∴AE＝AO－OE＝a－＝a， ∴＝＝；……………………………………………(7分) (3)解：由(2)知＝， 設(shè)AE＝c，則AC＝2c， 在Rt△ACO中，(2c)2＋32＝(c＋3)2， 解得c＝2， ∴AF＝AC＝2c＝4， 在△BFO和△BCA中， ，∴△BFO∽△BCA， ∴＝＝， 設(shè)BF＝x，BO＝y(tǒng)， ∴＝＝ ，解得：x＝，y＝， ∴AB＝AF＋BF＝4＋＝. ……………………………(10分)