高三數(shù)學二輪復習 專題限時集訓5 專題2 突破點5 數(shù)列的通項與求和 理
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專題限時集訓(五) 數(shù)列的通項與求和 建議A、B組各用時:45分鐘] A組 高考達標] 一、選擇題 1.(2016石家莊二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),則an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 A 由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2),兩式相減可得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以數(shù)列{an}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an=42n-1=2n+1,故選A.] 2.數(shù)列{an}滿足a1=1,且當n≥2時,an=an-1,則a5=( ) A. B. C.5 D.6 A 因為a1=1,且當n≥2時,an=an-1,則=,所以a5=a1,即a5=1=.故選A.] 3.+++…+的值為( ) A. B.- C.- D.-+ C ∵== =, ∴+++…+= = =-.] 4.在等差數(shù)列{an}中,a1=-2 012,其前n項和為Sn,若-=2 002,則S2 014的值等于( ) A.2 011 B.-2 012 C.2 014 D.-2 013 C 等差數(shù)列中,Sn=na1+d,=a1+(n-1),即數(shù)列是首項為a1=-2 012,公差為的等差數(shù)列.因為-=2 002,所以(2 012-10)=2 002,=1,所以S2 014 =2 014(-2 012)+(2 014-1)1] =2 014,選C.] 5.數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,則+++…+等于( ) A. B. C. D. A 令m=1,得an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,于是a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,上述n-1個式子相加得an-a1=2+3+…+n, 所以an=1+2+3+…+n=, 因此==2, 所以+++…+ =2 =2=.故選A.] 二、填空題 6.(2016西安模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,an=4Sn-3,則S4=__________. 【導學號:85952025】 ∵an=4Sn-3,∴當n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1,當n≥2時,∵4Sn=an+3,∴4Sn-1=an-1+3,∴4an=an-an-1,∴=-,∴{an}是以1為首項,-為公比的等比數(shù)列,∴S4===.] 7.(2016廣州二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),則數(shù)列的前n項和為__________. 令n=1得a1=S1=k-1,令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得k=4,所以Sn=4n2-1,===,則數(shù)列的前n項和為++…+==.] 8.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+1(n∈N*),且a1=1,則通項公式an=________. n∈N* 由Sn=2an+1(n∈N*)可得Sn-1=2an(n≥2,n∈N*)兩式相減得: an=2an+1-2an,即=(n≥2,n∈N*). 又由a1=1及Sn=2an+1(n∈N*)可得a2=, 所以數(shù)列{an}從第二項開始成一個首項為a2=,公比為的等比數(shù)列, 故當n>1,n∈N*時有an=n-2, 所以有an=n∈N*.] 三、解答題 9.(2016鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}中a2=5,前4項和S4=28. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n. 解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由已知條件得 2分 ∴4分 ∴an=a1+(n-1)d=4n-3(n∈N*).6分 (2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3),8分 T2n=-1+5-9+13-17+…+(8n-3)=4n=4n(n∈N*).12分 10.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解] (1)因為a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,① 所以當n≥2時,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=,②2分 ①-②得3n-1an=,所以an=(n≥2).4分 在①中,令n=1,得a1=,滿足an=,所以an=(n∈N*).6分 (2)由(1)知an=,故bn==n3n. 則Sn=131+232+333+…+n3n,③ 3Sn=132+233+334+…+n3n+1,④8分 ③-④得-2Sn=3+32+33+34+…+3n-n3n+1=-n3n+1,11分 所以Sn=+(n∈N*).12分 B組 名校沖刺] 一、選擇題 1.已知函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)所過定點的橫、縱坐標分別是等差數(shù)列{an}的第二項與第三項,若bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T10等于( ) A. B. C. D. B y=loga(x-1)+3恒過定點(2,3), 即a2=2,a3=3,又{an}為等差數(shù)列, ∴an=n,∴bn=, ∴T10=1-=,故選B.] 2.已知數(shù)列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( ) A.445 B.765 C.1 080 D.3 105 B ∵an+1=an+3,∴an+1-an=3,∴{an}是以-60為首項,3為公差的等差數(shù)列, ∴an=-60+3(n-1)=3n-63. 令an≤0,得n≤21,∴前20項都為負值. ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30. ∵Sn=n=n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765,故選B.] 3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,{Sn+nan}為常數(shù)列,則an=( ) A. B. C. D. B 由題意知,Sn+nan=2,當n≥2時,(n+1)an=(n-1)an-1, 從而…=…,有an=,當n=1時上式成立,所以an=.故選B.] 4.(2016湖北七校2月聯(lián)考)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 B 由題意,知每天所走路程形成以a1為首項,公比為的等比數(shù)列,則=378,解得a1=192,則a2=96,即第二天走了96里.故選B.] 二、填空題 5.(2016山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則S2 016=__________. 【導學號:85952026】 321 008-3 ∵數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n①,∴n=1時,a2=2,n≥2時,anan-1=2n-1②,∵①②得=2,∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,∴S2 016=+=321 008-3.] 6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=__________,S5=__________. 1 121 ∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1, ∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3, ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列, ∴=3. 又S2=4,∴S1=1,∴a1=1, ∴S5+=34=34=, ∴S5=121.] 三、解答題 7.(2016太原二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3),求數(shù)列的前n項和Tn. 解] (1)∵,an,Sn成等差數(shù)列,∴2an=Sn+,1分 當n=1時,2a1=S1+,∴a1=,2分 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴=2,4分 ∴數(shù)列{an}是首項為,公比為2的等比數(shù)列,an=2n-2(n∈N*).6分 (2)∵bn=log2a2n+1log2a2n+3=log222n+1-2log222n+3-2 =(2n-1)(2n+1),8分 ∴==,10分 ∴Tn=1-+-+…+- ==.12分 8.已知首項都是1的兩個數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn=,求數(shù)列{cn}的通項公式; (2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解] (1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*), 所以-=2,2分 即cn+1-cn=2.3分 又c1==1, 所以數(shù)列{cn}是以首項c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.5分 (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,7分 于是數(shù)列{an}的前n項和 Sn=130+331+532+…+(2n-1)3n-1,8分 3Sn=131+332+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,9分 相減得-2Sn=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,11分 所以Sn=(n-1)3n+1.12分- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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