高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)5 專題2 突破點(diǎn)5 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 理

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專題限時(shí)集訓(xùn)(五)　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．(2016石家莊二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n＋1　　　　 B．2n C．2n－1 D．2n－2 A　由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A.] 2．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1，則a5＝(　　) A. B． C．5 D．6 A　因?yàn)閍1＝1，且當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1，則＝，所以a5＝a1，即a5＝1＝.故選A.] 3.＋＋＋…＋的值為(　　) A.　　　　　　 B.－ C.－ D.－＋ C　∵＝＝ ＝， ∴＋＋＋…＋＝ ＝ ＝－.] 4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 012，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2 002，則S2 014的值等于(　　) A．2 011 B．－2 012 C．2 014 D．－2 013 C　等差數(shù)列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即數(shù)列是首項(xiàng)為a1＝－2 012，公差為的等差數(shù)列．因?yàn)椋? 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014 ＝2 014(－2 012)＋(2 014－1)1] ＝2 014，選C.] 5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于(　　) A. B． C. D. A　令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1個(gè)式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n， 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 因此＝＝2， 所以＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.故選A.] 二、填空題 6．(2016西安模擬)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＝4Sn－3，則S4＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952025】 　∵an＝4Sn－3，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4a1－3，解得a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列，∴S4＝＝＝.] 7．(2016廣州二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________． 　令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝＝.] 8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，則通項(xiàng)公式an＝________. n∈N*　由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)兩式相減得： an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)． 又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝， 所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始成一個(gè)首項(xiàng)為a2＝，公比為的等比數(shù)列， 故當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)有an＝n－2， 所以有an＝n∈N*.] 三、解答題 9．(2016鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}中a2＝5，前4項(xiàng)和S4＝28. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知條件得 2分 ∴4分 ∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3(n∈N*).6分 (2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，8分 T2n＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(8n－3)＝4n＝4n(n∈N*).12分 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分 ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2).4分 在①中，令n＝1，得a1＝，滿足an＝，所以an＝(n∈N*).6分 (2)由(1)知an＝，故bn＝＝n3n. 則Sn＝131＋232＋333＋…＋n3n，③ 3Sn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1，④8分 ③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n3n＋1＝－n3n＋1，11分 所以Sn＝＋(n∈N*).12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所過定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)，若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T10等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. B　y＝loga(x－1)＋3恒過定點(diǎn)(2,3)， 即a2＝2，a3＝3，又{an}為等差數(shù)列， ∴an＝n，∴bn＝， ∴T10＝1－＝，故選B.] 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　) A．445 B．765 C．1 080 D．3 105 B　∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63. 令an≤0，得n≤21，∴前20項(xiàng)都為負(fù)值． ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30. ∵Sn＝n＝n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故選B.] 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an＝(　　) A. B． C. D. B　由題意知，Sn＋nan＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，(n＋1)an＝(n－1)an－1， 從而…＝…，有an＝，當(dāng)n＝1時(shí)上式成立，所以an＝.故選B.] 4．(2016湖北七校2月聯(lián)考)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了(　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 B　由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．故選B.] 二、填空題 5．(2016山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則S2 016＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952026】 321 008－3　∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n①，∴n＝1時(shí)，a2＝2，n≥2時(shí)，anan－1＝2n－1②，∵①②得＝2，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，∴S2 016＝＋＝321 008－3.] 6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝__________，S5＝__________. 1　121　∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列， ∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝34＝34＝， ∴S5＝121.] 三、解答題 7．(2016太原二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}滿足bn＝(log2a2n＋1)(log2a2n＋3)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解]　(1)∵，an，Sn成等差數(shù)列，∴2an＝Sn＋，1分 當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝S1＋，∴a1＝，2分 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，4分 ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，an＝2n－2(n∈N*).6分 (2)∵bn＝log2a2n＋1log2a2n＋3＝log222n＋1－2log222n＋3－2 ＝(2n－1)(2n＋1)，8分 ∴＝＝，10分 ∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ＝＝.12分 8．已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解]　(1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)， 所以－＝2，2分 即cn＋1－cn＝2.3分 又c1＝＝1， 所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1.5分 (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，7分 于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 Sn＝130＋331＋532＋…＋(2n－1)3n－1，8分 3Sn＝131＋332＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，9分 相減得－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n＝－2－(2n－2)3n，11分 所以Sn＝(n－1)3n＋1.12分