高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)6 專題3 突破點6 古典概型與幾何概型 理

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專題限時集訓(xùn)(六)　古典概型與幾何概型 建議A、B組各用時：45分鐘] A組　高考達標(biāo)] 一、選擇題 1．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝.] 2．(2016福州模擬)在某次全國青運會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選2人，則選出的火炬手的編號相連的概率為(　　) A. B． C. D. D　由題意得從5人中選出2人，有10種不同的選法，其中滿足2人編號相連的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4種不同的選法，所以所求概率為＝，故選D.] 3．(2016大連雙基檢測)在區(qū)間0，π]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“sin x≤”發(fā)生的概率為(　　) A. B． C. D. D　由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)x∈∪時，sin x≤，所以所求概率為＝，故選D.] 4．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到三個不同的社區(qū)參加公益活動．若每個社區(qū)至少分一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為(　　) A. B． C. D. B　依題意得，甲、乙、丙、丁到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分一名義工的方法數(shù)是CA，其中甲、乙兩人被分到同一社區(qū)的方法數(shù)是CA，因此甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率等于1－＝.] 5．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是(　　) A. B． C. D. C　如圖所示，設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x，y，x，y相互獨立，由題意可知所以兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.] 二、填空題 6．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝__________. 　將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.] 7．(2016河南市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈，b∈{3,5,7}，則該函數(shù)有兩個零點的概率為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：85952028】 　要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個零點，即方程x2－2ax＋b2＝0要有兩個實根，則Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有33＝9種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為＝.] 圖62 8．如圖62，向邊長為2的正方形中隨機投入一粒黃豆，若圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝，則黃豆落入陰影部分的概率為________． 1－　由題意可知黃豆落入陰影部分的概率為＝1－.] 三、解答題 9. 圖63 甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下： 甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖63所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15，邊界忽略不計)即為中獎． 乙商場：從裝有3個白球，3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外，不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎． 問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？ 解]　如果顧客去甲商場，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圓盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝. 所以，在甲商場中獎的概率為 P1＝＝.4分 如果顧客去乙商場，記盒子中3個白球為a1，a2，a3,3個紅球為b1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種，8分 摸到的2個球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3個，所以在乙商場中獎的概率為P2＝＝.10分 由于P10的概率； (2)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab＝－1的概率． 解]　(1)用B表示事件“ab>0”，即x－2y>0.1分 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，2分 構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，3分 如圖所示． 所以所求的概率為P(B)＝＝.6分 (2)設(shè)(x，y)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個.9分 用A表示事件“ab＝－1”，即x－2y＝－1. 則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個.11分 ∴P(A)＝＝.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是(　　) A. B． C. D. A　基本事件的總數(shù)為10，其中能構(gòu)成三角形三邊長的數(shù)組為(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率為.] 2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：85952029】 A. B． C. D. C　如圖所示，取邊BC上的中點D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P為AD的中點，則S△ABC＝2S△PBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故選C.] 3．(2016濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx2＋x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f′(x)在x＝1處取得最值的概率是(　　) A.　　　　 B. C. D. C　由題意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因為f′(x)在x＝1處取得最值，所以＝1，符合的點數(shù)(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情況．又因為拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)(a，b)共有36種情況，所以所求概率為＝，故選C.] 4．在區(qū)間0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝＝.] 圖64 6．如圖64，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為__________． 　∵y＝ex與y＝ln x互為反函數(shù)，故直線y＝x兩側(cè)的陰影部分面積相等，只需計算其中一部分即可． 如圖，S1＝∫10exdx＝ex＝e1－e0＝e－1. ∴S總陰影＝2S陰影＝2(e1－S1)＝2e－(e－1)]＝2， 故所求概率為P＝.] 三、解答題 7．現(xiàn)有8名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B1，B2，B3物理成績優(yōu)秀，C1，C2化學(xué)成績優(yōu)秀，從中選出數(shù)學(xué)、物量、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學(xué)校參加競賽． (1)求C1被選中的概率； (2)求A1和B1不全被選中的概率． 解]　(1)從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為 Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18個基本事件組成.4分 由于每一個基本事件被抽取的機會均等．因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“C1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}.6分 事件M由9個基本事件組成，因而P(M)＝＝.8分 (2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一事件， 則其對立事件表示“A1，B1全被選中”這一事件． 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件由2個基本事件組成，所以P()＝＝.11分 由對立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝.12分 8．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)若直線l：x＋y－5＝0，求點P(b，c)恰好在直線l上的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 解]　(1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個，4分 當(dāng)b＋c＝5時，(b，c)的所有取值為(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率為P1＝＝.6分 (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立.7分 ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以8分 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以9分 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以10分 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分 所以方程為“漂亮方程”的概率為P2＝.12分