高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)6 專題3 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型 理

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專題限時(shí)集訓(xùn)(六)　古典概型與幾何概型 建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，∴P＝.] 2．(2016福州模擬)在某次全國(guó)青運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選2人，則選出的火炬手的編號(hào)相連的概率為(　　) A. B． C. D. D　由題意得從5人中選出2人，有10種不同的選法，其中滿足2人編號(hào)相連的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4種不同的選法，所以所求概率為＝，故選D.] 3．(2016大連雙基檢測(cè))在區(qū)間0，π]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x≤”發(fā)生的概率為(　　) A. B． C. D. D　由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)x∈∪時(shí)，sin x≤，所以所求概率為＝，故選D.] 4．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)．若每個(gè)社區(qū)至少分一名義工，則甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率為(　　) A. B． C. D. B　依題意得，甲、乙、丙、丁到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分一名義工的方法數(shù)是CA，其中甲、乙兩人被分到同一社區(qū)的方法數(shù)是CA，因此甲、乙兩人被分到不同社區(qū)的概率等于1－＝.] 5．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹(shù)上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是(　　) A. B． C. D. C　如圖所示，設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x，y，x，y相互獨(dú)立，由題意可知所以兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過(guò)2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.] 二、填空題 6．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過(guò)2”，則P(A＋B)＝__________. 　將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.] 7．(2016河南市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈，b∈{3,5,7}，則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952028】 　要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x2－2ax＋b2＝0要有兩個(gè)實(shí)根，則Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有33＝9種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為＝.] 圖62 8．如圖62，向邊長(zhǎng)為2的正方形中隨機(jī)投入一粒黃豆，若圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝，則黃豆落入陰影部分的概率為_(kāi)_______． 1－　由題意可知黃豆落入陰影部分的概率為＝1－.] 三、解答題 9. 圖63 甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下： 甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖63所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)． 乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外，不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)． 問(wèn)：購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？ 解]　如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝. 所以，在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為 P1＝＝.4分 如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種，8分 摸到的2個(gè)球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3個(gè)，所以在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P2＝＝.10分 由于P10的概率； (2)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab＝－1的概率． 解]　(1)用B表示事件“ab>0”，即x－2y>0.1分 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，2分 構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，3分 如圖所示． 所以所求的概率為P(B)＝＝.6分 (2)設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個(gè).9分 用A表示事件“ab＝－1”，即x－2y＝－1. 則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個(gè).11分 ∴P(A)＝＝.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則取出的3個(gè)數(shù)可作為三角形的三邊邊長(zhǎng)的概率是(　　) A. B． C. D. A　基本事件的總數(shù)為10，其中能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)組為(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率為.] 2．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952029】 A. B． C. D. C　如圖所示，取邊BC上的中點(diǎn)D，由＋＋2＝0，得＋＝2.又＋＝2，故＝，即P為AD的中點(diǎn)，則S△ABC＝2S△PBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求概率P＝＝，故選C.] 3．(2016濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx2＋x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f′(x)在x＝1處取得最值的概率是(　　) A.　　　　 B. C. D. C　由題意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因?yàn)閒′(x)在x＝1處取得最值，所以＝1，符合的點(diǎn)數(shù)(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情況．又因?yàn)閽仈S兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種情況，所以所求概率為＝，故選C.] 4．在區(qū)間0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝＝.] 圖64 6．如圖64，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi)_________． 　∵y＝ex與y＝ln x互為反函數(shù)，故直線y＝x兩側(cè)的陰影部分面積相等，只需計(jì)算其中一部分即可． 如圖，S1＝∫10exdx＝ex＝e1－e0＝e－1. ∴S總陰影＝2S陰影＝2(e1－S1)＝2e－(e－1)]＝2， 故所求概率為P＝.] 三、解答題 7．現(xiàn)有8名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2，B3物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，從中選出數(shù)學(xué)、物量、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽． (1)求C1被選中的概率； (2)求A1和B1不全被選中的概率． 解]　(1)從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為 Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18個(gè)基本事件組成.4分 由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等．因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“C1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}.6分 事件M由9個(gè)基本事件組成，因而P(M)＝＝.8分 (2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一事件， 則其對(duì)立事件表示“A1，B1全被選中”這一事件． 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件由2個(gè)基本事件組成，所以P()＝＝.11分 由對(duì)立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝.12分 8．一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)若直線l：x＋y－5＝0，求點(diǎn)P(b，c)恰好在直線l上的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 解]　(1)因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件(b，c)為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)，4分 當(dāng)b＋c＝5時(shí)，(b，c)的所有取值為(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率為P1＝＝.6分 (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立.7分 ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以8分 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以9分 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以10分 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分 所以方程為“漂亮方程”的概率為P2＝.12分