高考數(shù)學(xué)(精講+精練+精析)專題3_2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題 文(含解析)
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專題3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】若函數(shù)在單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( ) (A)(B)(C)(D) 【答案】C 2【2016高考四川文科】已知函數(shù)的極小值點(diǎn),則=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】,令得或,易得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故極小值為,由已知得,故選D. 3.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】已知函數(shù). (I)討論的單調(diào)性; (II)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍. 4.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù). (I)討論的單調(diào)性; (II)證明當(dāng)時(shí),; (III)設(shè),證明當(dāng)時(shí),. 5.【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分13分) 設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x,a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)由 可得,則,當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增, 時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,.①當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.所以在處取得極小值,不合題意.②當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)知在內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)當(dāng)時(shí),,時(shí),,所以在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),即時(shí),在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在 內(nèi)單調(diào)遞減, 所以當(dāng)時(shí),, 單調(diào)遞減,不合題意.④當(dāng)時(shí),即 ,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 6. 【2015高考福建,文12】“對(duì)任意,”是“”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 7.【2015高考北京,文19】設(shè)函數(shù),. (I)求的單調(diào)區(qū)間和極值; (II)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 【解析】(Ⅰ)由,()得.由解得. 與在區(qū)間上的情況如下: 所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;在處取得極小值. 8.【2015高考山東,文20】設(shè)函數(shù). 已知曲線 在點(diǎn)處的切線與直線平行. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)是否存在自然數(shù),使得方程在內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (Ⅲ)設(shè)函數(shù)(表示,中的較小值),求的最大值. 【解析】(I)由題意知,曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,所以,又所以. (II)時(shí),方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè) 當(dāng)時(shí),.又所以存在,使. 因?yàn)樗援?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以時(shí),方程在內(nèi)存在唯一的根. 9.【2015高考天津,文20】已知函數(shù) (I)求的單調(diào)區(qū)間; (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有; (III)若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且,求證:. 【解析】(I)由,可得,當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是. (II)設(shè) ,則 , 曲線 在點(diǎn)P處的切線方程為 ,即,令 即 則. 由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有. (III)由(II)知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因?yàn)樵?單調(diào)遞減,又由(II)知 ,所以 .類似的,設(shè)曲線 在原點(diǎn)處的切線為 可得 ,對(duì)任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因?yàn)?在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 . 10.【2014高考湖南卷文第9題】若,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 11. 【2014高考遼寧卷文第12題】當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】不等式變形為.當(dāng)時(shí),,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是;當(dāng)時(shí),,記,,故函數(shù)遞增,則,故;當(dāng)時(shí),,記,令,得或(舍去),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故,則.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 12.【2014高考全國(guó)1文第21題】設(shè)函數(shù),曲線處的切線斜率為0 (1) 求b; (2) 若存在使得,求a的取值范圍. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn),年年都出題,題型既有選擇題、填空題,又有解答題,難度中檔左右,解答題作為把關(guān)題存在,在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上,又注重考查解析幾何的相關(guān)知識(shí). 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具,導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后,給函數(shù)問(wèn)題注入了生機(jī)和活力,開(kāi)辟了許多解題新途徑,拓展了高考對(duì)函數(shù)問(wèn)題的命題空間.所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情,對(duì)函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)等,對(duì)研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性,對(duì)稱性,周期性等,而是把高次多項(xiàng)式函數(shù),分式函數(shù),指數(shù)型,對(duì)數(shù)型函數(shù),以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對(duì)象,試題的命制往往融函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式,方程等知識(shí)于一體,通過(guò)演繹證明,運(yùn)算推理等理性思維,解決單調(diào)性,極值,最值,切線,方程的根,參數(shù)的范圍等問(wèn)題,這類題難度很大,綜合性強(qiáng),內(nèi)容新,背景新,方法新,是高考命題的豐富寶藏.解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.因此在2017年高考備考中應(yīng)狠下功夫,抓好基礎(chǔ),提高自己的解題能力,掌握好解題技巧,特別是構(gòu)造函數(shù)的靈活運(yùn)用. 預(yù)測(cè)2017年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)的綜合題為主要考點(diǎn).也有可能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出一道中等難度試題,如求切線,或求參數(shù)值,重點(diǎn)考查運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能力,以及構(gòu)造新函數(shù)等能力.也有可能考查恒成立與存在性問(wèn)題. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,求最值,證明不等式,證明恒成立,以及存在性問(wèn)題等,難度較大,往往作為把關(guān)題存在. 考點(diǎn)一、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【備考知識(shí)梳理】一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減; 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)令解不等式,得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式,得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間(3)對(duì)照定義域得出結(jié)論. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校第三次聯(lián)考】已知函數(shù),若對(duì)任意,,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2016年山西四市高三四模】設(shè)函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)若為整數(shù),且當(dāng)時(shí),恒成立,其中為的導(dǎo)函數(shù),求的最 大值. 【解析】(1)函數(shù)f(x)=ex-ax-2的定義域是R,f′(x)=ex-a, 若a≤0,則f′(x)=ex-a≥0,所以函數(shù)f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增 ,若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f′(x)=ex-a<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由于a=1,,, 令,,,令,在單調(diào)遞增,且在上存在唯一零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,由,又,所以的最大值為2 . 考點(diǎn)二、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【備考知識(shí)梳理】若滿足,且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則是的極值點(diǎn),是極值,并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則是的極大值點(diǎn),是極大值;如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則是的極小值點(diǎn),是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2015-2016學(xué)年度唐山市高三第一?!恳阎瘮?shù)的極大值為m,極小值為n,則m+n=( ) (A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2 【答案】D 2. 【2016年榆林二?!恳阎瘮?shù),(且). (1)當(dāng)時(shí),若已知是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),且滿足:,求證:; (2)當(dāng)時(shí),①求實(shí)數(shù)的最小值;②對(duì)于任意正實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),求證:. 【解析】(1)當(dāng)時(shí),,已知是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn),則是方程的兩根點(diǎn),由,∴,即,,或線性規(guī)劃可得. 考點(diǎn)三、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 【備考知識(shí)梳理】求函數(shù)最值的步驟:(1)求出在上的極值.(2)求出端點(diǎn)函數(shù)值. (3)比較極值和端點(diǎn)值,確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題是要養(yǎng)成列表的習(xí)慣,這樣能使解答過(guò)程直觀條理; 2、會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的圖象提取相關(guān)信息; 3、極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn),最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn),但若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則這個(gè)極值點(diǎn)也一定是最值點(diǎn). 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年安徽淮南市高三二?!亢瘮?shù)在區(qū)間上的最大值是 . 【答案】 【解析】由題意得,,令,因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,也是最大值,此時(shí)最大值為. 2. 【2016屆邯鄲市一中高三第十次研】已知函數(shù),其中.(提示:) (1)若是的極值點(diǎn),求的值; (2)求的單調(diào)區(qū)間; (3)若在上的最大值是0,求的取值范圍. (2)①當(dāng)時(shí),,故的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是. ②當(dāng)時(shí),令,得,或.當(dāng)時(shí),與的情況如下: - 0 + 0 + 所以,的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是和.當(dāng)時(shí),的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),,與的情況如下: - 0 + 0 + 所以,的單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)減區(qū)間是和. ③當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是; 單調(diào)減區(qū)間是 .綜上,當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是 ,減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是,減區(qū)間是和;當(dāng)時(shí),的減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的增區(qū)間是;,減區(qū)間是和. (3)由(2)知時(shí),在上單調(diào)遞增,由,知不合題意.當(dāng)時(shí),在的最大值是.由,知不合題意.當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減.可得在上的最大值是,符合題意,所以,在上的最大值是0時(shí),的取值范圍是. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用:(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時(shí),需要這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不改變符號(hào)(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零),當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時(shí),這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定變號(hào),如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線,這個(gè)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在變號(hào)的零點(diǎn),可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的研究. (2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類討論,這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行,其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行,如果這樣的點(diǎn)不止一個(gè),則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí),導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論,最后在分類解決問(wèn)題后要整合一個(gè)一般的結(jié)論.[易錯(cuò)提示] 在利用“若函數(shù)單調(diào)遞增,則”求參數(shù)的范圍時(shí),注意不要漏掉“等號(hào)”. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值:(1)確定定義域. (2)求導(dǎo)數(shù). (3)①若求極值,則先求方程的根,再檢驗(yàn)在方程根左、右值的符號(hào),求出極值.(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)) ②若已知極值大小或存在的情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況,從而求解. 3.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值; (2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. 4.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問(wèn)題 不等式在某區(qū)間的恒成立問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)解決,函數(shù)的最值問(wèn)題的求解,利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑,例如:①為增函數(shù)(為減函數(shù)).②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立;在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 5.利用導(dǎo)數(shù),如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中,每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況,基本的題目類型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式),研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍,研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等,這些問(wèn)題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無(wú)能為力,就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決.使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù).因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)問(wèn)題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚,但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí),往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn),不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下 (1)樹(shù)立服務(wù)意識(shí):所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(一般第一問(wèn)先讓解決出來(lái)),如函數(shù)的單調(diào)性、最值等,服務(wù)于第二問(wèn)要證明的不等式. (2)強(qiáng)化變形技巧:所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出的不等式直接證明無(wú)法下手,可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后,再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)(指數(shù)),移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向:因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì),力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式. (3)巧妙構(gòu)造函數(shù):所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣,注意積累經(jīng)驗(yàn),體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”. 二年模擬 1. 【2016年九江市三?!咳艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立.∵,∴,∴,∴. 2. 【2016屆榆林市二模擬】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)不相同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得三個(gè)不相同的零點(diǎn),又,因此從而,選D. 3. 【2016屆淮南市高三第二?!恳阎獮槎x在上的單調(diào)遞增函數(shù),是其導(dǎo)函數(shù),若對(duì)任意的總有,則下列大小關(guān)系一定正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 4. 【2016屆河南省南陽(yáng)一中高三第三次模擬】已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為( ) A.(-2,+) B.(0.+) C.(1,) D.(4,+) 【答案】B 【解析】為偶函數(shù),所以的圖象關(guān)于對(duì)稱,的圖象關(guān)于對(duì)稱,因此,設(shè),,在定義域上遞減,,,所以,故選B. 5. 【湖北省八校2016高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上均為增函數(shù),則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 6. 【2016年河南省商丘市高三第三?!吭O(shè)函數(shù).有下列五個(gè)命題: ①若對(duì)任意,關(guān)于的不等式恒成立,則; ②若存在,使得不等式成立,則; ③若對(duì)任意及任意,不等式恒成立,則; ④若對(duì)任意,存在,使得不等式成立,則; ⑤若存在及,使得不等式成立,則. 其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____. 【答案】①②③④⑤ 7. 【2016屆重慶一中高三5月模擬考試】設(shè)函數(shù),若不等式≤0有解,則實(shí)數(shù)a的最小值為( ) A.-1 B.2- C.1+2e2 D.1- 【答案】D 8. 【2016湖北省八校高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù). (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),若存在區(qū)間,使在上的值域是,求的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)函數(shù)的定義域是,,當(dāng)時(shí),,所以在上為減函數(shù), 當(dāng)時(shí),令,則,當(dāng)時(shí),,為減函數(shù), 當(dāng)時(shí),,為增函數(shù), ∴當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù). (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,由(Ⅰ)知:在上為增函數(shù),而,∴在上為增函數(shù),結(jié)合在上的值域是知:,其中,則在上至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,由得,記,,則,記,則,∴在上為增函數(shù),即在上為增函數(shù),而,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù), 而,,當(dāng)時(shí),,故結(jié)合圖像得:,∴的取值范圍是. 9. 【2016屆山西省榆林市二模試】已知函數(shù). (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較與的大小; (2)若正實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意都有,求正實(shí)數(shù)的最大值. 10. 【2016屆湖北省襄陽(yáng)五中高三5月高考模擬】設(shè)函數(shù). (Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)在處取得最小值,求證:. 【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以在單調(diào)遞增,且,因此當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)滿足且時(shí),,故存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,由條件可得,的最小值為 .由于,所以, ,設(shè),則,令,得;令,得,故在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,,故. 11.【2015屆湖南省長(zhǎng)瀏寧三一中高三5月模擬】已知都是定義在上的函數(shù),,,且,且,.若數(shù)列的前項(xiàng)和大于,則的最小值為( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 12.【2015屆黑龍江省哈爾濱九中高三第三次擬】已知函數(shù),對(duì),使得,則的最小值為 A . B. C. D. 【答案】A 【解析】由可得:,令,則, ,所以,所以,令 得,所以當(dāng)時(shí)為減函數(shù),當(dāng)時(shí)為增函數(shù),所以的最小值為 . 13.【2015屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三4月雙周測(cè)】已知函數(shù),不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________. 【答案】 14.【2015屆湖南省長(zhǎng)沙市高三5月】已知函數(shù). (1)當(dāng) 時(shí),與在定義域上單調(diào)性相反,求的最小值. (2)當(dāng)時(shí),求證:存在,使有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,且對(duì)任意且都有. (2)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,且一元二次方程的,所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根 當(dāng)時(shí),為增函數(shù);,當(dāng)時(shí),為減函數(shù); 當(dāng)時(shí),為增函數(shù);,所以當(dāng)時(shí),一定有3個(gè)不相等的實(shí)根,,,分別在內(nèi),不妨設(shè),因?yàn)?,所以即,即,即所以,所? ,令,則,由(1)知在上為減函數(shù),又,所以當(dāng),又所以即 15.【2015屆廣東省華南師大附中高三5月三?!恳阎菍?shí)數(shù),1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn). (Ⅰ)求和的值; (Ⅱ)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點(diǎn); (Ⅲ)設(shè),其中,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). ① 當(dāng)時(shí), ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而.此時(shí)在無(wú)實(shí)根. ② 當(dāng)時(shí).,于是是單調(diào)增函數(shù).又∵,,的圖象不間斷,∴ 在(1 , 2)內(nèi)有唯一實(shí)根.同理,在(一2 ,一1)內(nèi)有唯一實(shí)根. ③ 當(dāng)時(shí),,于是是單調(diào)減函數(shù).又∵, ,的圖象不間斷,∴在(一1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.因此,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同的根滿足;當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根,滿足. 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn): (Ⅰ)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,滿足. 而有三個(gè)不同的根,有兩個(gè)不同的根,故有5 個(gè)零點(diǎn). (ⅱ)當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,滿足. 而有三個(gè)不同的根,故有9個(gè)零點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有9個(gè)零點(diǎn). 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù),若,且,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A . 【入選理由】本題主要考查分段函數(shù)與方程的解,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值等,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題以及運(yùn)算求解能力及基本的邏輯推理能力.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn),此題運(yùn)用構(gòu)造法,靈活的利用導(dǎo)數(shù)求最小值,構(gòu)思很巧,故選此題. 2.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.0或 2 【答案】A 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn),考查構(gòu)造法以及函數(shù)與方程思想和邏輯推理能力,意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題以及運(yùn)算求解能力及基本的邏輯推理能力.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn),此題函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點(diǎn)巧妙地結(jié)合起來(lái),構(gòu)思很巧,故選此題. 3.已知,若至少存在一個(gè)使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于至少存在一個(gè)使成立,所以至少存在一個(gè)使成立,即至少存在一個(gè)使成立,所以.令,當(dāng)時(shí),恒成立,因此在上單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí),,即實(shí)數(shù)的取值范圍為. 【入選理由】本題考查函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力.充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,故選此題. 4.若直線與曲線:沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的最大值為( ?。? A.-1 B. C.1 D. 【答案】C 【入選理由】考查直線與函數(shù)圖象的位置關(guān)系、函數(shù)存在定理,意在考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力.此題難度不大,考查基礎(chǔ),故選此題. 5.已知函數(shù), ,若在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 【答案】 【解析】因?yàn)椋匀?,則,此時(shí)在上至多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,因此,從而由得,因?yàn)椋虼艘乖谏嫌腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根,須滿足,即,從而實(shí)數(shù)的取值范圍為 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程思想、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力.此題難度不大,綜合性較強(qiáng),體現(xiàn)高考小題綜合化的特點(diǎn),故選此題. 6. 當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象不在函數(shù)的下方,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力.此題難度不大,出題角度新,符合高考考試題型,故選此題. 7. 已知函數(shù)(). (Ⅰ)若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式 恒成立,求的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?. (1)當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增; (2)當(dāng)時(shí),若在上單調(diào)遞減,則,即恒成立.故有,所以. 因?yàn)?,所以(?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),故.所以. 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立以及函數(shù)的定義域等,考查分離參數(shù)法、函數(shù)與方程的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及基本的運(yùn)算能力和邏輯推理能力等,此題難度較大,綜合性較強(qiáng),符合高考試題特征,故選此題. 8. 已知函數(shù),. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),若不等式在上恒成立,求的取值范圍; (Ⅱ)已知且,求證:. (2)由上可知在上單調(diào)遞增,∵,∴,即 ①, 同理 ②. 兩式相加得,∴. 【入選理由】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值、證明不等式等知識(shí),考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力.(1) 利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解;(2) 將不等式的證明合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解.此題難度較大,綜合性較強(qiáng),符合高考試題特征,故選此題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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