高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題3_2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題 文（含解析）

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專題3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考新課標1文數(shù)】若函數(shù)在單調(diào)遞增,則a的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 2【2016高考四川文科】已知函數(shù)的極小值點，則=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 【解析】，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，由已知得，故選D. 3．【2016高考新課標1文數(shù)】已知函數(shù)． (I)討論的單調(diào)性； (II)若有兩個零點,求的取值范圍. 4．【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù)． （I）討論的單調(diào)性； （II）證明當時，； （III）設(shè)，證明當時，. 5．【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分13分) 設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】(Ⅰ)由 可得，則，當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增， 時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，.①當時，，單調(diào)遞減.所以當時，，單調(diào)遞減.當時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，不合題意.②當時，，由(Ⅰ)知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當當時，，時，，所以在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意.③當時，即時，在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減， 所以當時，， 單調(diào)遞減，不合題意.④當時，即 ，當時，，單調(diào)遞增,當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，合題意.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為. 6. 【2015高考福建，文12】“對任意，”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C． 充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 7.【2015高考北京，文19】設(shè)函數(shù)，． （I）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （II）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點． 【解析】（Ⅰ）由，（）得.由解得. 與在區(qū)間上的情況如下： 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值. 8.【2015高考山東，文20】設(shè)函數(shù). 已知曲線 在點處的切線與直線平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示，中的較小值），求的最大值. 【解析】（I）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，又所以. （II）時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè) 當時，.又所以存在，使. 因為所以當時，，當時，， 所以當時，單調(diào)遞增.所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根. 9.【2015高考天津，文20】已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間; （II）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有; （III）若方程有兩個正實數(shù)根且,求證:. 【解析】（I）由,可得,當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞增;當 ,即 時,函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是. （II）設(shè) ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 即 則. 由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因為,所以當時,,所以當時,,所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對任意的實數(shù)x, ,對于任意的正實數(shù),都有. （III）由（II）知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因為在 單調(diào)遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設(shè)曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因為 在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 . 10．【2014高考湖南卷文第9題】若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 11. 【2014高考遼寧卷文第12題】當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式變形為．當時，，故實數(shù)a的取值范圍是；當時，，記，，故函數(shù)遞增，則，故；當時，，記，令，得或（舍去），當時，；當時，，故，則．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是． 12.【2014高考全國1文第21題】設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0 （1） 求b; （2） 若存在使得，求a的取值范圍． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的熱點，年年都出題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，解答題作為把關(guān)題存在，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間．所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對研究函數(shù)的目標也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對象，試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏．解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．因此在2017年高考備考中應(yīng)狠下功夫,抓好基礎(chǔ),提高自己的解題能力,掌握好解題技巧,特別是構(gòu)造函數(shù)的靈活運用. 預(yù)測2017年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)的綜合題為主要考點．也有可能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出一道中等難度試題，如求切線，或求參數(shù)值，重點考查運算及數(shù)形結(jié)合能力，以及構(gòu)造新函數(shù)等能力．也有可能考查恒成立與存在性問題. 【2017年高考考點定位】 高考對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，證明不等式，證明恒成立，以及存在性問題等，難度較大，往往作為把關(guān)題存在． 考點一、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【備考知識梳理】一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對照定義域得出結(jié)論. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校第三次聯(lián)考】已知函數(shù),若對任意，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2016年山西四市高三四?！吭O(shè)函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若為整數(shù)，且當時，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最 大值. 【解析】（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a， 若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增 ,若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）=ex-a＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增. （2）由于a=1，,, 令，，,令，在單調(diào)遞增，且在上存在唯一零點，設(shè)此零點為，則,當時，，當時，,，由，又,所以的最大值為2 . 考點二、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【備考知識梳理】若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2015-2016學(xué)年度唐山市高三第一?！恳阎瘮?shù)的極大值為m，極小值為n，則m+n=（ ） (A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2 【答案】D 2. 【2016年榆林二?！恳阎瘮?shù)，（且）. （1）當時，若已知是函數(shù)的兩個極值點，且滿足：，求證：； （2）當時，①求實數(shù)的最小值；②對于任意正實數(shù)，當時，求證：. 【解析】（1）當時，，已知是函數(shù)兩個極值點，則是方程的兩根點,由，∴，即，,或線性規(guī)劃可得. 考點三、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 【備考知識梳理】求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點函數(shù)值. （3）比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題是要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，這樣能使解答過程直觀條理； 2、會利用導(dǎo)函數(shù)的圖象提取相關(guān)信息； 3、極值點不一定是最值點，最值點也不一定是極值點，但若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值點也一定是最值點. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016年安徽淮南市高三二模】函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 . 【答案】 【解析】由題意得，，令，因為，所以，當時，；當時，，所以當時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，此時最大值為． 2. 【2016屆邯鄲市一中高三第十次研】已知函數(shù)，其中．（提示：） （1）若是的極值點，求的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間； （3）若在上的最大值是0，求的取值范圍． （2）①當時，，故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． ②當時，令，得，或．當時，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和．當時，的單調(diào)減區(qū)間是．當時，，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． ③當時，的單調(diào)增區(qū)間是； 單調(diào)減區(qū)間是 ．綜上，當時，的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當時，的減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是；，減區(qū)間是和． （3）由（2）知時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意．當時，在的最大值是．由，知不合題意．當時，在單調(diào)遞減．可得在上的最大值是，符合題意，所以，在上的最大值是0時，的取值范圍是． 【應(yīng)試技巧點撥】 1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：(1)當函數(shù)在一個指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時，需要這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)不改變符號(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時，這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定變號，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)一定存在變號的零點，可以把問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)零點的研究． (2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時要進行分類討論，這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點在其定義域內(nèi)的情況進行，如果這樣的點不止一個，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個一般的結(jié)論．[易錯提示]　在利用“若函數(shù)單調(diào)遞增，則”求參數(shù)的范圍時，注意不要漏掉“等號”． 2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：(1)確定定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)． (3)①若求極值，則先求方程的根，再檢驗在方程根左、右值的符號，求出極值．(當根中有參數(shù)時要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)) ②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況，從而求解． 3．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 4.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題 不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 5.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)．因為導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下 （1）樹立服務(wù)意識：所謂“服務(wù)意識”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式. （2）強化變形技巧：所謂“強化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式. （3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗，體現(xiàn)一個“巧妙”. 二年模擬 1. 【2016年九江市三?！咳艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.∵，∴，∴，∴. 2. 【2016屆榆林市二模擬】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不相同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得三個不相同的零點，又，因此從而，選D. 3. 【2016屆淮南市高三第二?！恳阎獮槎x在上的單調(diào)遞增函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，若對任意的總有，則下列大小關(guān)系一定正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 4. 【2016屆河南省南陽一中高三第三次模擬】已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為（ ） A．（-2,+） B．（0．+） C．（1,） D．（4,+） 【答案】B 【解析】為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于對稱，因此，設(shè)，，在定義域上遞減，，，所以，故選B. 5. 【湖北省八校2016高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)，當時，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6. 【2016年河南省商丘市高三第三?！吭O(shè)函數(shù).有下列五個命題： ①若對任意，關(guān)于的不等式恒成立，則； ②若存在，使得不等式成立，則； ③若對任意及任意，不等式恒成立，則； ④若對任意，存在，使得不等式成立，則； ⑤若存在及，使得不等式成立，則. 其中，所有正確結(jié)論的序號為______. 【答案】①②③④⑤ 7. 【2016屆重慶一中高三5月模擬考試】設(shè)函數(shù),若不等式≤0有解,則實數(shù)a的最小值為（ ） A．-1 B．2- C．1+2e2 D．1- 【答案】D 8. 【2016湖北省八校高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù). （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）當時，若存在區(qū)間，使在上的值域是，求的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，，當時，，所以在上為減函數(shù)， 當時，令，則，當時，，為減函數(shù)， 當時，，為增函數(shù)， ∴當時，在上為減函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù). （Ⅱ）當時，，由（Ⅰ）知：在上為增函數(shù)，而，∴在上為增函數(shù)，結(jié)合在上的值域是知：，其中，則在上至少有兩個不同的實數(shù)根，由得，記，，則，記，則，∴在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)，而，∴當時，，當時，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 而，，當時，，故結(jié)合圖像得：，∴的取值范圍是. 9. 【2016屆山西省榆林市二模試】已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??； （2）若正實數(shù)滿足對任意都有，求正實數(shù)的最大值. 10. 【2016屆湖北省襄陽五中高三5月高考模擬】設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）當時，討論的單調(diào)性； （Ⅱ）當時，設(shè)在處取得最小值，求證：． 【解析】（Ⅰ）當時， ，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，且，因此當時，；當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （Ⅱ）當時，，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增．又，當滿足且時，，故存在唯一零點，設(shè)零點為，當時，；當時，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，由條件可得，的最小值為 ．由于，所以， ，設(shè)，則，令，得；令，得，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故． 11.【2015屆湖南省長瀏寧三一中高三5月模擬】已知都是定義在上的函數(shù)，，，且，且，．若數(shù)列的前項和大于，則的最小值為（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 12.【2015屆黑龍江省哈爾濱九中高三第三次擬】已知函數(shù)，對，使得，則的最小值為 A ． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得：，令，則， ，所以，所以，令 得，所以當時為減函數(shù)，當時為增函數(shù)，所以的最小值為 ． 13.【2015屆江蘇省揚州中學(xué)高三4月雙周測】已知函數(shù)，不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________. 【答案】 14.【2015屆湖南省長沙市高三5月】已知函數(shù)． （1）當 時，與在定義域上單調(diào)性相反，求的最小值． （2）當時，求證：存在，使有三個不同的實數(shù)解，且對任意且都有． （2）因為當時，，且一元二次方程的，所以有兩個不相等的實根 當時，為增函數(shù)；，當時，為減函數(shù)； 當時，為增函數(shù)；，所以當時，一定有3個不相等的實根，，，分別在內(nèi)，不妨設(shè)，因為，所以即，即，即所以，所以 ，令，則，由（1）知在上為減函數(shù)，又，所以當，又所以即 15.【2015屆廣東省華南師大附中高三5月三模】已知是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點； （Ⅲ）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)． ① 當時， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而．此時在無實根． ② 當時．，于是是單調(diào)增函數(shù)．又∵，，的圖象不間斷，∴ 在（1 ， 2）內(nèi)有唯一實根．同理，在（一2 ，一1）內(nèi)有唯一實根． ③ 當時，，于是是單調(diào)減函數(shù)．又∵， ，的圖象不間斷，∴在（一1，1）內(nèi)有唯一實根．因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時有三個不同的根，滿足． 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點： （Ⅰ）當時，有兩個根，滿足． 而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點． （ⅱ）當時，有三個不同的根，滿足． 而有三個不同的根，故有9個零點． 綜上所述，當時，函數(shù)有5個零點；當時，函數(shù)有9個零點． 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A . 【入選理由】本題主要考查分段函數(shù)與方程的解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值等，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點與難點，此題運用構(gòu)造法，靈活的利用導(dǎo)數(shù)求最小值，構(gòu)思很巧，故選此題. 2.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.0或 2 【答案】A 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點，考查構(gòu)造法以及函數(shù)與方程思想和邏輯推理能力，意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點與難點，此題函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點巧妙地結(jié)合起來，構(gòu)思很巧，故選此題. 3.已知，若至少存在一個使成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于至少存在一個使成立，所以至少存在一個使成立，即至少存在一個使成立，所以．令，當時，恒成立，因此在上單調(diào)遞增．故當時，，即實數(shù)的取值范圍為． 【入選理由】本題考查函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題與解決問題的能力以及運算求解能力．充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，故選此題． 4.若直線與曲線：沒有公共點，則實數(shù)的最大值為（　　　） A．－1　　　　B．　　　　C．1　　　　D． 【答案】C 【入選理由】考查直線與函數(shù)圖象的位置關(guān)系、函數(shù)存在定理，意在考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力．此題難度不大,考查基礎(chǔ)，故選此題. 5.已知函數(shù)， ，若在上有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 【答案】 【解析】因為，所以若，則，此時在上至多有兩個不同的實數(shù)根，因此，從而由得，因為，因此要使在上有三個不同的實數(shù)根，須滿足，即，從而實數(shù)的取值范圍為 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程思想、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題與解決問題的能力、基本運算能力及推理能力．此題難度不大，綜合性較強，體現(xiàn)高考小題綜合化的特點，故選此題. 6. 當時，函數(shù)的圖象不在函數(shù)的下方，則實數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查等價轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力、運算求解能力．此題難度不大，出題角度新，符合高考考試題型，故選此題. 7. 已知函數(shù)（）. （Ⅰ）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）當時，不等式 恒成立，求的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.. （1）當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）當時，若在上單調(diào)遞減，則，即恒成立.故有，所以. 因為，所以（當且僅當時，等號成立），故.所以. 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立以及函數(shù)的定義域等，考查分離參數(shù)法、函數(shù)與方程的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及基本的運算能力和邏輯推理能力等，此題難度較大，綜合性較強，符合高考試題特征，故選此題. 8. 已知函數(shù)，. （Ⅰ）當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍； （Ⅱ）已知且，求證：. （2）由上可知在上單調(diào)遞增，∵，∴，即 ①， 同理 ②. 兩式相加得，∴. 【入選理由】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值、證明不等式等知識，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力.（1） 利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解；（2） 將不等式的證明合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.此題難度較大，綜合性較強，符合高考試題特征，故選此題.