高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計學(xué)案 北師大版必修31

8最小二乘估計1了解最小二乘法的思想2能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程最小二乘法求線性回歸直線方程ybxa時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的_最小的方法叫做最小二乘法其中a，b的值由以下公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)線性回歸分析涉及大量的計算，形成操作上的一個難點，可以利用計算機(jī)非常方便地作散點圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程因此在學(xué)習(xí)過程中，要重視信息技術(shù)的應(yīng)用【做一做】已知某工廠在某年里每月生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間的回歸直線方程為y0.9741.215x，計算x2時，總成本y的估計值為_什么是最小二乘法？剖析：結(jié)合最小二乘法的發(fā)展過程和在實際生活中的應(yīng)用來了解最小二乘法最小二乘法的思想是通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是用最簡單的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小，是處理各種觀測數(shù)據(jù)，測量方差的一種基本方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)在統(tǒng)計中，主要是利用最小二乘法求線性回歸方程，這是最小二乘法思想的應(yīng)用最小二乘法不僅是數(shù)理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中也有廣泛應(yīng)用，比如洪水實時預(yù)報等等題型一 閱讀理解題【例題1】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料知，y與x線性相關(guān)(1)求回歸直線方程ybxa中a與b的值；(2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？分析：先求出回歸直線方程，若回歸直線方程為ybxa，則在xx0處的估計值為y0bx0a.反思：知道x與y線性相關(guān)，就無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗，否則，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，若兩個變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)測的量也是不可信的題型二信息提煉題【例題2】某產(chǎn)品的原料中兩種有效成分A和B的含量如下表所示：12345678910A(%)24152319161120161713B(%)67547264392258434634用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量(1)作出散點圖；(2)y與x是否線性相關(guān)？若線性相關(guān)，求出回歸直線方程(結(jié)果保留到小數(shù)點后4位小數(shù))分析：作出散點圖，可判斷y與x是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，可用計算器求a，b的值反思：求回歸直線方程，通常是用計算器來完成的在有的科學(xué)計算器中，可通過直接按鍵得出回歸直線方程中的a，b.如果用一般的計算器進(jìn)行計算，則要先列出相應(yīng)的表格，有了表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)，回歸直線方程中的a，b就容易求出來了題型三 線性回歸分析的應(yīng)用【例題3】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：32.5435464.566.5)分析：(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對應(yīng)的測量值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點圖；(2)應(yīng)用計算公式求得線性相關(guān)系數(shù)b，a的值；(3)實際上就是求當(dāng)x100時，對應(yīng)的y的值反思：求線性回歸直線方程的步驟如下：列表表示xi，yi，xiyi；計算，iyi；代入公式計算b，a的值；寫出線性回歸方程可以利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測變量的值1某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()Ay10x200 By10x200Cy10x200 Dy10x2002下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過點()x0123y1357A(2,2)B(1.5,2)C(1,2) D(1.5,4)3對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回歸直線方程yabx中，回歸系數(shù)b()A小于0 B大于0C等于0 D以上都有可能4給出下列說法：回歸方程適用于一切樣本和總體；回歸方程一般都有局限性；樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍；回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值其中正確的是_(將你認(rèn)為正確的序號都填上)5某個服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利潤y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見下表：x3456789y66697381899091已知：，(1)求，；(2)畫出散點圖；(3)求純利潤y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程答案：基礎(chǔ)知識梳理距離的平方和b【做一做】3.404由回歸直線方程y0.9741.215x得，當(dāng)x2時，總成本y的估計值為y0.9741.21523.404.典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.04，5xi290，xiyi112.3其中，b1.23，ab51.2340.08.所以a0.08，b1.23.(2)回歸直線方程為y1.23x0.08.當(dāng)x10時，y1.23100.0812.38，即使用年限為10年時，維修費(fèi)用約為12.38萬元【例題2】解：(1)散點圖如圖所示(2)因為散點圖中各點大致都分布在一條直線附近，所以y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系經(jīng)計算可得17.4，49.9，x3 182，xiyi9 228，故b3.532 383.532 4，ab49.93.532 3817.411.563 4，所以所求回歸直線方程為y3.532 4x11.563 4.【例題3】解：(1)散點圖如圖所示(2)由題意，得xiyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，x3242526286，b0.7，ab3.50.74.50.35.故線性回歸方程為y0.7x0.35.(3)根據(jù)回歸方程可預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.71000.3570.35(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)，故預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前減少了9070.3519.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)隨堂練習(xí)鞏固1A商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負(fù)相關(guān)，b0，排除選項B，D.又x0時，y0，答案為A.2D回歸直線方程必過中心點(，)，即(1.5,4)，故選D.3D4樣本或總體具有線性相關(guān)關(guān)系時，才可求回歸方程，而且由回歸方程得到的函數(shù)值是近似值，而非精確值，因此回歸方程有一定的局限性所以錯5解：(1)6(件)，79.86(元)(2)散點圖如下：(3)由散點圖知，y與x有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)回歸直線方程為ybxa.由x280，xiyi3 487，6，得b4.75，a64.7551.36，故回歸直線方程為y4.75x51.36.